Cálculo Aplicado I - Universidad Metropolitana

Universidad Metropolitana
Departamento de
Matemáticas para FACES
GUÍA DE EJERCICIOS
COMPLEMENTARIOS
#5
Cálculo
Aplicado I
A continuación se presentan otros ejercicios complementarios a los del texto con la intención de
reforzar el concepto de función y la obtención de información a través de la lectura de sus gráficas,
incorporando el concepto de derivada.
1.
A continuación se da la gráfica de una función y = G(x) y además la recta tangente a la gráfica para
x= - 3:
A partir de la gráfica encuentre lo indicado. Justifique adecuadamente todas sus respuestas:
a. ¿Cuál es el valor de la derivada de la función G en x = -3?
b. ¿En cuáles valores de x la función G no es derivable?
c. ¿En cuál(es) valor(es) No es continua la función G? ¿Cómo son las discontinuidades, evitables o no
evitables?
d. Calcule la razón de cambio promedio entre x= -4 y x= -2,5
e. Resuelva G’ (x) > 0
f. ¿Cuáles son los números críticos de la función G? Justifique su respuesta.
g. ¿En cuáles intervalos la función G es creciente? ¿En cuáles decreciente?
2. Sea f la función cuya gráfica es la
siguiente:
Responda justificando todas sus respuestas
a)
Halle el dominio y el rango de la
función
b)
Resuelva f (x) ≥ 0
c) Halle la derivada de la función en el
intervalo (-3,1/2)
d) Diga en cuáles intervalos la razón de
cambio de la función es constante
e ) Halle
[ f ( x)  f (1 / 2)] 2

lim
3 f ( x)

x5
f) ¿Cuáles son los números críticos para esta función? Clasifíquelos, justificando su respuesta en cada caso.
g) Cuál es la razón de cambio promedio de entre x=1/2 y x=2?
h) Resuelva f´ (x) > 0
i) Resuelva f´´ (x) < 0
3. Si k es una constante positiva, ¿Coinciden los intervalos de crecimiento y decrecimiento para f(x), f(x+k), f(xk)? Ilustre con un ejemplo gráfico su explicación.
4.Si k es una constante positiva, ¿Coinciden los intervalos de crecimiento y decrecimiento para f(x), f(x) +k y
f(x)–k?. Ilustre con un ejemplo gráfico su explicación.
.
5. La siguiente es la gráfica de una función p que representa la población (en decenas de miles de habitantes)
de una pequeña ciudad entre los años 2000 y 2008. El descenso en la población a partir de comienzos de 2004
se debió a un virus que no se pudo controlar. La recta que se muestra es tangente a la gráfica en el punto
señalado.
a) ¿Cuál fue la tasa de crecimiento promedio de la población en el año 2002? ¿Y cuál fue entre el 1 de enero de
2001 y el 1 de enero de 2005? ¿Y entre el 1 de enero de 2003 y el 1 de enero de 2008?
b) ¿Cuál fue la tasa de cambio promedio de la población entre el 1 de enero de 2004 y el 1 de enero de 2008?
¿Cuál fue la tasa de cambio de la población el 15 de febrero de 2007?
c) ¿En qué momento la población creció más rápidamente?
d) ¿Pará qué valores de t la función p no es derivable?
e) ¿A qué razón cambió la tasa de crecimiento de la población el 25 de julio de 2005?
f) El 1 de enero de 2001, la tasa de crecimiento de la población, ¿estaba aumentando o disminuyendo? ¿Y el 10
de febrero de 2003? ¿Y el 1 de enero de 2006?
g) Usando la recta tangente que se muestra en la gráfica y sin hacer ningún cálculo, estime la población que
tenía la ciudad el 1 de enero de 2002? ¿Qué tal es la aproximación?
6. Sea y = U(p) una función que representa la utilidad (en miles de dólares) obtenida por una industria
cuando el precio de un producto es p dólares. Sea su gráfica la siguiente:
a. ¿Cuál es la utilidad obtenida cuando el precio
es de 2$ ?
b. ¿Qué significado tiene, en términos de razón
de cambio, que U '(2)  3 ?
p , U '( p0 )
c. Supongamos que para un cierto 0
sea menor que cero. ¿Se puede concluir que la
p
utilidad cuando el precio es 0 $ es menor que
cuando el precio es de 2$? Justifique su
respuesta.
d. Halle la razón de cambio porcentual de la
utilidad con respecto al precio cuando éste es
de 2$. ¿Qué significado tiene el resultado?
e. Si la recta dada es tangente a la gráfica de
y = U(p) en el punto (6,4), ¿a qué razón está
cambiando la utilidad con respecto al precio
cuando éste es de 6 dólares?
f. ¿Cuál es la máxima utilidad que puede tener
la industria?
7. Dibuje la gráfica de una función que tenga las siguientes
características
a) f (x)  0 si x  4,5 
b) f x   0 si x  - ,3 , 3,4 , 5,  
c) Lim f(x)   , Lim f(x)  3 , Lim f(x)  0 , Lim f(x)  Lim f(x)  1 , Lim f(x)  - 1
x
x-
x  3x  3+
x  4+
x  4d) f(4) = 0 ; f(3) = -3, f no es derivable en x = 5
e) f es continua en  - 3,4