Regla de la Cadena Teorema: Si f : R3 → R es diferenciable, entonces todas las derivadas direccionales existen. La derivada direccional en x en la dirección v está dada por ∂f ∂f ∂f Dfv (x) = gradf (x) · v = ∇f (x) · v = (x) v1 + (x) v2 + (x) v3 ∂x ∂y ∂z Dem: Sea c(t) = x + tv de manera f (x + tv) = f (c(t)) aplicando el caso particular de la regla de la cadena df (c(t)) = ∇f (c(t)) · d(t) dt por otro lado c(0) = f (x), c0 (t) = v por lo tanto c0 (0) = v, ası́ que df (x + tv) = ∇f (x) · v Dfv (x) = dt t=0 Ejemplo: Sean f (x, y, z) = z 2 e−yz . Calcular la razón de cambio de f en la dirección del vector unitario v = ( √13 , √13 , √13 ) en (1, 0, 0) Solución: ∇f · v = (2xe−yz , −zx2 e−yz , −yx2 e−yz )(1,0,0) · ( √13 , √13 , √13 ) = (2, 0, 0)( √13 , √13 , √13 ) = √23 Teorema: Supongamos que 5f (x) 6= 0. Entonces ∇f (x) apunta en la dirección a lo largo de la cual f crece mas rapido. Dem: Si v es un vector unitario, la razón de cambio de f en la direccón de v esta dada por ∇f (x) · v y ∇f (x) · v = k∇f (x)kkvkCosθ = k∇f (x)kCosθ donde θ es el ángulo entre ∇f, v. Esta es máximo cuando θ = 0 y esto ocurre cuando v, ∇f son paralelos. En otras palabras , si queremos movernos en una direcciön en la cual f va a crecer más rapidamente, debemos proceder en la direcciön en la cual f decrece más rapido, habemos de proceder en la dirección ∇f . Caso particular de la regla de la cadena Supongamos que C : R → R2 es una trayectoria diferenciable y f : R→ R. Sea h(t) = f (c(t)) = f (x(t), y(t), z(t)) donde c(t) = (x(t), y(t), z(t)). Entonces ∂h ∂f ∂x ∂f ∂y ∂f ∂z = + + ∂t ∂x ∂t ∂y ∂t ∂z ∂t ∂h = ∇f (c(t)) · c0 (t) donde c0 (t) = (x0 (t), y 0 (t), z 0 (t)) ∂t h(t) − h(t0 ) h(t) − h(t0 ) f (c(t)) − f (c(t0 )) dh (t0 ) = lı́m sumando y restando = = Dem: Por definición t→0 dt t − t0 t − t0 t − t0 f (x(t), y(t), z(t)) − f (x(t0 ), y(t0 ), z(t0 )) f (x(t), y(t), z(t)) = t − t0 t − t0 −f (x(t0 ), y(t), z(t)) + f (x(t0 ), y(t), z(t)) − f (x(t0 ), y(t0 ), z(t)) + f (x(t0 )), y(t0 ), z((t)) − f (x(t0 ), y(t0 ), z(t0 )) + t − t0 Esto es 1 (∗) Aplicando el T.V.M. f (x(t), y(t), z(t)) − f (x(t0 ), y(t), z(t)) = ∂f (c, y(t), z(t))(x(t) − x(t0 )) ∂x f (x(t0 ), y(t), z(t)) − f (x(t0 ), y(t0 ), z(t)) = f (x(t0 ), y(t0 ), z(t)) − f (x(t0 ), y(t0 ), z(t0 )) = ∂f (x(t), d, z(t)(y(t) − y(t0 )) ∂y ∂f (x(t), y(t), e)(z(t) − z(t0 )) ∂y ∂f ∂f ∂f (c, y(t), z(t))(x(t)−x(t0 ))+ (x(t), d, z(t))(y(t)−y(t0 ))+ (x(t), y(t), e)(z(t)−z(t0 )) tomando ∂x ∂y ∂z lı́m t → t0 y por la continuidad de las parciales ∴∗= ∂h ∂f ∂x ∂f ∂y ∂f ∂z = + + ∂t ∂x ∂t ∂y ∂t ∂z ∂t Ejemplo: Verificar la regla de la cadena para f (u, v, w) = u2 +v 2 −w donde u(x, y, z) = x2 y, v(x, y, z) = n X ∂f ∂u ∂f ∂v ∂f ∂w y 2 , w(x, y, z) = e−xz ası́ + + = 2x2 y(2xy) + ze−xy ∂u ∂x ∂v ∂x ∂w ∂x 1=1 Ejemplo:¿En que dirección desde (0, 1) crece mas rapido f (x, y) = x2 − y 2 ? Sol: El gradiente es ∇f = (2x, −2y)(0,1) = (0, 2) 2 Ahora cuando hablamos de los conjuntos de nivel f (x, y = k), si tenemos que c(t)f f (c(t)) = K ∴ f 0 (c(t)) = 0 ∴ ∇f (c(0)) · v = 0 Si v es un vector tangente t=0 entonces ∇f es ortogonal a los conjuntos de nivel El gradiente es normal a las superficies de nivel. Sea f : R3 → R una aplicación C 1 y sea (x0 , y0 , z0 ) un punto sobre la superficie de nivel S definida por f (x, y, z) = k, k = cte. Entonces ∇f (x0 , y0 , z0 ) Es normal a la superficie de enivel en el siguiente sentido: si v es el vector tangente en t = 0 de una trayectoria c(t) con c(0) = (x0 , y0 , z0 ) entonces ∇f · v = 0. Dem: Sea c(f ) en S, entonces f (c(t)) = K. Sea v como en la hipotesis entonces d 0 0 ∇f (c(0)) · v f (c (t)) v = c (0) ∴ 0 = dt t=0 3 Caso particular de la regla de la cadena Supongamos que C : R → R3 es una trayectoria diferencias y f : R3 → R. Sea h(t) = f (c(t)) = f (x(t), y(t), z(t)) donde c(t) = x(t), y(t), z(t). Entonces ∂f ∂x ∂f ∂y ∂f ∂z ∂h = + + ∂t ∂x ∂t ∂y ∂t ∂z ∂t ∂h = ∇f (c(t)) · c0 (t) donde c0 (t) = (x0 (t), y 0 (t), z 0 (t)) ∂t ∂h h(t) − h(t0 ) Demostración: Por definición (t0 ) = lı́m sumando y restando t→0 ∂t t − t0 Esto es f (c(t)) − f (c(t0 )) h(t) − h(t0 ) = t − t0 t − t0 = f (x(t), y(t), z(t)) − f (x(t0 ), y(t0 ), z(t0 )) t − t0 f (x(t), y(t), z(t)) − f (x(t0 ), y(t), z(t)) + f (x(t0 ), y(t), z(t)) = −f (x(t0 ), y(t0 ), z(t)) + f (x(t0 ), y(t0 ), z(t)) − f (x(t0 ), y(t0 ), z(t0 )) t − t0 Aplicando el Teorema del Valor Medio ∂f (c, y(t), z(t))(x(t) − x(t0 )) ∂x ∂f f (x(t0 ), y(t), z(t)) − f (x(t0 ), y(t0 ), z(t)) = (x(t), d, z(t))(y(t) − y(t0 )) ∂y ∂f f (x(t0 ), y(t0 ), z(t)) − f (x(t0 ), y(t0 ), z(t0 )) = (x(t), y(t), e)(z(t) − z(t0 )) ∂z f (x(t), y(t), z(t)) − f (x(t0 ), y(t), z(t)) = ∴ (∗) = ∂f (c, y(t), z(t)) (x(t)−y(t)) + ∂x t−t0 ∂f 0 )) (x(t), d, z(t)) (y(t)−y(t + ∂y t−t0 ∂f 0 )) (x(t), y(t), e) (z(t)−z(t ∂z t−t0 tomando el lı́m y por la continuidad de las parciales t→t0 ∂f ∂x ∂f ∂y ∂f ∂z ∂h = + + ∂t ∂x ∂t ∂y ∂t ∂z ∂t 1 . . . (∗) Ejemplo: Verificar la regla de la cadena para f (u, v, w) = u2 + v 2 − w donde u(x, y, z) = x2 y, v(x, y, z) = y 2 , w(x, y, z) = e−xz asi ∂f ∂u ∂f ∂v ∂f ∂w + + = 2x2 y(2xy) + ze−xz ∂u ∂x ∂v ∂x ∂w ∂x Teorema: Si f : R3 → R es diferenciable, entonces todas las derivadas direccionales existen. La derivada direccional v esta dada por Dfv (x) = gradf (x) · v = en x en la dirección ∂f ∂f ∂f ∇f (x) · v = (x) v1 + (x) v2 + (x) v3 ∂x ∂y ∂z Demostración: Sea c(t) = x + tv de manera f (x + tv) = f (c(t)) aplicando el caso df (c(t)) = ∇f (c(t)) · d(t) dt por otro lado c(0) = f (x), c0 (t) = v ∴ c0 (0) = v asi que df (x + tv Dfv (x) = = ∇f (x) · v dt t=0 particular de la regla de la cadena Ejemplo: Sean f (x, y, z) = z 2 e−yz . Calcular la razón de cambio de f en la dirección del vector unitario v = √1 , √1 , √1 3 3 3 en (1,0,0) Solución : ∇f · v = (2xe−yz , −zx2 e−yz , −yx2 e−yz )(1,0,0) · = (2, 0, 0) √13 , √13 , √13 = √1 , √1 , √1 3 3 3 √2 3 Teorema: ‘Supongamos que ∇f (x) 6= 0. Entonces ∇f (x) apunta en la dirección a lo largo de la cual f crece mas rapido. Demostración: Si v es una recta unitaria, la razón de cambio de f en la dirección v esta dada por ∇f (x) · v y ∇f (x) · v = k∇f (x)kkvk cos θ = k∇f (x)k cos θ donde θ es el ángulo entre ∇f (x), v. Este es máximo cuando θ = 0 y esto ocurre cuando v, ∇f (x), son paralelos. En otras palabras, si queremos movernos en una dirección en la cual f va a crecer más rapidamente, debemos proceder en la dirección en la cual f decrece más rápido, habremos de proceder en la dirección −∇f (x). 2 Ejemplo: ¿En que dirección desde (0, 1) crece más rápido f (x, y) = x2 − y 2 ? Solución: El gradiente es ∇f = (2x, −2y)(0,1) = (0, −2) Ahora cuando hablamos de los conjuntos φ niveles f (x, y) = k, si tenemos que c(t) ∈ f ∴ f 0 (c(t)) = 0 ∴ ∇f (c(0)) · v = 0 Si v es un vector tangente t = 0 entonces ∇f es ortogonal a los conjuntos de nivel. El gradiente es normal a las superficies de nivel. Sea f : R3 → R una aplicación C 1 y sea (x0 , y0 , z0 ) un punto sobre la superficie de nivel S definida por f (x, y, z) = k, k = cte. Entonces ∇f (x0 , y0 , z0 ) es normal a la superficie de nivel en el siguiente sentido: si v es el vector tangente en t = 0 de una trayectoria c(t) con c(0) = (x0 , y0 , z0 entonces ∇f · v = 0 Demostración: Sea c(t) en S, entonces f (c(t)) = k. Sea v como en la hipotesis entonces v = c0 (0) ∴ 0= d f (c(t)) ∇f (c(0)) · v df t=0 3 4