TP Nº 4: Ley de gravitación

Cátedra de Geofı́sica General 2016
Trabajo práctico No 4 - Ley de gravitación - Fórmulas de gravedad
1.
a) Si un vehı́culo se mueve con una aceleración constante de 1,5 m/s2 , determinar qué
velocidad tendrá 3 min después de un instante en el que se encontraba moviéndose a
40 m/s. Repetir el cálculo en el caso de que el vehı́culo esté acelerado a 1,8 m/s2 .
b) Calcular cuánto tiempo demorará un vehı́culo para detenerse totalmente si moviéndose a 100 km/h se “desacelera” en forma constante a 10 m/s2 .
2. En Gravimetrı́a y en Geodesia suele usarse una unidad particular para cuantificar a la
aceleración de la gravedad en un determinado punto, el Gal (en honor a Galileo), cuya
equivalencia es: 1 Gal = 1 cm/s2 . Escribir el valor estándar de la gravedad en la Tierra
(g=9,80665 m/s2 ) en Gal, mGal y Gal.
3.
a) Calcular la fuerza resultante aplicada sobre un cuerpo de masa m=13 kg que se mueve
con una aceleración constante de 25 m/s2 . Representar el resultado en N y en dyn.
¿Qué relación hay entre dichas unidades?
b) Considerando el valor de g dado en el ejercicio 2, calcular cuál es el peso sobre la
Tierra de una persona cuya masa es m=67 kg y expresarlo en dyn.
4.
a) Dos masas de 4 kg y 3 kg se encuentran ubicadas respectivamente en las siguientes
coordenadas (x,y): (1,0 m; 0,0 m) y (0,0 m; -0,5 m). ¿Qué magnitud, dirección y
sentido tiene la fuerza gravitatoria experimentada por una masa de prueba de 0,01 kg
colocada en el origen de coordenadas?
b) Una pequeña esfera uniforme de masa m0 =0,1 kg está sobre la recta que une otras dos
esferas cuyas masas son m1 =5 kg y m2 =10 kg, respectivamente. La esfera pequeña
está ubicada 0,4 m a la derecha del centro de la masa m1 y 0,6 m a la izquierda del
centro de la masa m2 . ¿Qué magnitud, dirección y sentido tiene la fuerza sobre la
esfera de masa m0 ?
5.
a) Encontrar el punto sobre la recta que une los centros de dos esferas A y B, separadas
1 m, en el cuál la aceleración de gravedad es nula. Considerar que la masa de la esfera
A es 4 veces la masa de la esfera B, con mB =1 kg.
b) Repetir el cálculo realizado en el inciso a. considerando que mB =2 kg. ¿Se observa
algún cambio? Justificar la respuesta.
c) ¿Qué sucederı́a si colocamos una masa en el punto hallado en el inciso a.? ¿Y si la
colocamos a la izquierda de dicho punto? Justificar la respuesta.
6.
a) Suponiendo que toda la masa de la Tierra está concentrada en su centro y considerando que es igual a 5, 976 × 1024 kg, calcular el valor de la aceleración gravitacional
a una distancia del centro igual a un radio terrestre (este resultado nos da el valor
del módulo del vector a G en la superficie, ver Definiciones).
b) ¿A qué distancia sobre la superficie terrestre la aceleración gravitacional es igual a
4,9 m/s2 , si en la superficie tiene una magnitud de 9,8 m/s2 ?
7.
a) La masa de la Luna es cerca de 81 veces más chica que la masa de la Tierra mientras
que su radio es aproximadamente 1/4 del terrestre. Calcular la aceleración gravitacional en la superficie de la Luna.
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b) Calcular el peso (aproximado) de una persona en la Luna cuya masa es la dada en el
ejercicio 3. b. y compararlo con el valor hallado en dicho ejercicio. Repetir los cálculos
para el caso de una persona en el planeta Saturno.
8. Un escritor de ciencia ficción narra en uno de sus libros la existencia de un planeta cuyo
radio es 2,7 veces más grande que el de la Tierra. Calcular su masa y su densidad media
sabiendo que en uno de los capı́tulos el escritor narra que desde una nave se arrojó un
martillo partiendo del reposo e impactando en la superficie de dicho planeta 17 s después
a una velocidad de 1254 km/h. Suponer que la gravedad en el todo el trayecto realizado
por el martillo es constante e igual al valor que se tiene en la superficie del planeta.
9. Si tenemos en cuenta que la Tierra gira en torno a su eje de rotación, resulta necesario
tener en cuenta la aceleración centrı́fuga para calcular la aceleración de la gravedad (ver
Definiciones).
a) Calcular el valor de ω para la Tierra, considerando como Trot =1 dı́a solar medio
(ω = ωsm ). ¿Cuánto vale si Trot =1 dı́a sidéreo (ω = ωsid )?
b) Comprobar que el módulo del vector ~aC es igual a ω 2 RT cos ϕ . ¿Cuánto varı́a este
valor entre el Ecuador y los polos? Utilizar los dos valores de ω obtenidos en el inciso
anterior, expresando los resultados en mGal.
c) Encontrar la expresión vectorial para ~g = (gx , gy , gz ) y calcular cada componente para
puntos ubicados a distintas latitudes: = 0o , 30o , 45o , 60o y 90o (utilizar ωsid ). ¿Dónde
se tienen los máximos valores para cada componente?
10. A partir de los resultados obtenidos en el ejercicio 9 puede observarse que la componente
gx es mucho menor a la componente gz . Por lo tanto, suponiendo que la Tierra puede
representarse por una esfera, la fórmula para obtener el valor de la gravedad (teórica) en
la superficie terrestre es:
γ(ϕ) =
GM
− ω 2 RT cos2 ϕ
RT2
Calcular la gravedad teórica en Londres (ϕ=50o ), Base Marambio (ϕ=-64o ) y Caracas
(ϕ=10o ). ¿Cómo varı́a el valor de la gravedad con respecto a la latitud?
11. Usando la expresión de la gravedad teórica dada en el ejercicio anterior, calcular el valor
de γ en el Ecuador y en los polos de los siguientes cuerpos del Sistema Solar:
Mercurio
Marte
Júpiter
Desnsidad (g/cm3 )
5,42
3,94
1,33
Diámetro (km)
4879
6794
142984
Trot (dı́as)
58,6462
1,0259
0,4135
Calcular el cociente entre los valores obtenidos para cada cuerpo y analizar las diferencias.
¿En qué casos es mayor? ¿Por qué?
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Definiciones
Segunda Ley de Newton: Está relacionada con el concepto de fuerza. Establece que la fuerza
que actúa sobre un cuerpo es directamente proporcional al producto de su masa y su aceleración:
F~ = m~a
Teniendo en cuenta que tanto la fuerza como la aceleración son vectores, esta ecuación establece
que ambas tienen la misma dirección y sentido, y la proporcionalidad entre sus magnitudes está
dada por la masa del cuerpo afectado. La unidad de fuerza en el SI es el newton (N), que es
igual a N = kg m/s2 . En el sistema CGS la unidad de fuerza es la dina (dyn= g cm/s2 ).
Ley de Gravitación Universal (Newton): establece que la fuerza que ejerce una partı́cula puntual con masa M sobre otra con masa m es directamente proporcional al producto de las masas,
e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa:
Mm
F~ = −G 2 r̂
r
siendo G la constante de gravitación universal (G = 6, 67 × 10−11 Nm2 /kg2 ).
Vector aceleración de la gravedad: Si se considera a la Tierra como un cuerpo esférico con
una distribución uniforme de masa, la aceleración de la gravedad es un vector en la dirección
radial y que depende de la masa de la Tierra y de la distancia al centro de la misma. Si además se
considera que la Tierra rota en el espacio aparece una componente de aceleración centrı́fuga, que
modifica al vector de gravedad de la Tierra y es perpendicular a la dirección del eje de rotación
terrestre. La relación vectorial entre el vector de la aceleración de la gravedad ~g (gravedad total)
y los vectores de aceleración gravitacional ~aG (debida a la masa de la Tierra) y centrı́fuga ~aC
(debida a la rotación de la Tierra) puede expresarse de la siguiente manera:
~g = ~aG + ~aC .
Tomando un sistema de referencia ubicado en la superficie terrestre (considerando a la Tierra como una esfera) el eje z coincide con la dirección radial, el eje x con la dirección latitudinal
y el eje y con la dirección longitudinal. En este sistema de
coordenadas la aceleración centrı́fuga tiene las siguientes componentes:
~aC = (aCx , aCy , aCz ) = (ω 2 RT cos ϕ sin ϕ, 0, ω 2 RT cos2 ϕ).
donde es la velocidad angular de rotación de la Tierra ( ω = 2π/Trot , donde Trot es el perı́odo de
rotación terrestre), R es la distancia al centro de la Tierra (si estamos en la superficie terrestre
R =RT es el radio de la Tierra) y ϕ es la latitud. Por otra parte, en este mismo sistema de
coordenadas, las componentes de la aceleración gravitacional son:
−GM
.
~aG = (aGx , aGy , aGz ) = 0, 0,
R2
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Respuestas
1.
a) vf1 =310 m/s
/
vf2 =364 m/s
b) ∆t = 2,77 s
2. 9, 80665 m/s2 = 980, 665 Gal = 980665 mGal = 980665000 µGal
3.
a) FR = 325 N = 3, 25 × 107 dyn (1 N = 105 dyn)
b) P = 657,04 N = 6, 5704 × 107 dyn
4.
a) FR = 8, 437 × 10−12 N = 8, 437 × 10−7 dyn
dirección con respecto a x = -71o 33´ 54,18”
b) FR = −2,32 × 10−11 N (apunta hacia la masa de 5 kg)
5.
a) dmA-m0 = 0,67 m
/
dmB-m0 = 0,33 m
b) El resultado no depende del valor de las masas sino de la relación entre ellas.
c) Una masa colocada en este punto no se moverı́a. Si se coloca a la izquierda de dicho
punto siente mayor atracción por parte de la masa en A, por lo que se acelerará hacia
ella.
6.
a) g(RT ) = 9, 820219 m/s2
b) h = 0,414 RT = 2638, 95 km
7.
a) gL ≈ 1, 93979 m/s2
b) PL = 129, 83 N = 1, 2983 × 107 dyn
PS = 699, 82 N = 6, 9982 × 107 dyn
/
/
PT /PL = 5,0625
PT /PS = 0,9406
8. MP = 9, 089 × 1025 kg
δP = 4,26 g/cm3
9.
a) ωsm = 7, 272205 × 10−5 1/s
/
ωsid = 7, 292115 × 10−5 1/s
b) ωsm : acP = 0 mGal y acE = 3369 mGal / ωsid : acP = 0 mGal y acE = 3387 mGal
2 R cos2 ϕ
c) ~g = ω 2 RT cos ϕ sin ϕ, 0, − GM
+
ω
T
2
R
T
Latitud
ϕ=0o
ϕ=30o
ϕ=45o
ϕ=60o
ϕ=90o
gx [m/s2 ]
0
0,01466
0,01693
0,01466
0
gz [m/s2 ]
−9,78634
−9,79481
−9,80328
−9,81175
−9,82022
10. γLon = 9,80622 m/s2 / γCar = 9,78736 m/s2 / γBM ar = 9,81370 m/s2
γ aumenta de Ecuador a Polos y es simétrico respecto del ecuador (debido al cos2 )
11. gpM e = 3,69412 m/s2 ; geM e = 3,69411 m/s2 → gpM e /geM e = 1,0000027
gpM a = 3,73914 m/s2 ; geM a = 3.72197 m/s2 → gpM a /geM a = 1,0046131
gpJu = 26,55677 m/s2 ; geJu = 24,33342 m/s2 → gpJu /geJu = 1.0913702
Se observa que la diferencia entre polo y ecuador aumenta a medida que aumenta ω (es
decir, a medida que disminuye el perı́odo de rotación del planeta).
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