M¶etodos Matem¶aticos V - Facultad de F¶³sica Problemas de Valores en la Frontera Hallar los valores y funciones caracter¶³sticas de cada uno de los siguientes problemas de SturmLiouville. 1. d2 y dx2 + ¸y = 0; y(0) = 0; y( ¼2 ) = 0: 2. d2 y dx2 + ¸y = 0; y(0) = 0; y(L) = 0; donde L > 0: 3. d2 y dx2 + ¸y = 0; y(0) = 0; y(¼) ¡ y 0 (¼) = 0: 4. dy d dx [x dx ] + ¸x y = 0; y(1) = 0; y(e¼ ) = 0: 5. d 2 dx [(x dy + 1) dx ]+ ¸ y x2 +1 = 0; y(0) = 0; y(1) = 0: (Sugerencia: Hacer x = tag t) Comprobar directamente la ortogonalidad de las autofunciones asociadas a autovalores diferentes de los siguientes problemas de Sturm-Liouville. 6. d2 y dx2 + ¸y = 0; y(0) = 0; y( ¼2 ) = 0: 7. d2 y dx2 + ¸y = 0; y 0 (0) = 0; y 0 (L) = 0; donde L > 0: 1 8. Consid¶erese el conjunto de funciones f©n g, siendo ©1 (x) = p1 ; ¼q ©n+1 (x) = 2 ¼ cos(n¼) (n = 1; 2; 3; ::::) en el intervalo 0 · x · ¼. Demostrar que este conjunto f©n g es un sistema ortonormal respecto de la funci¶ on peso que toma el valor constante igual a 1 en 0 · x · ¼. 9. Obtener el desarrollo formal de la funci¶ on f de¯nida por f (x) = x (0 · x · ¼), en serie de funciones caracter¶³sticas ortonormales f©n g del problema de Sturm-Liouville d2 y dx2 + ¸y = 0; y(0) = 0; y(¼) = 0: 10. Idem para la funci¶ on f (x) = 1 (1 · x · e¼ ) y el problema dy d dx [x dx ] + ¸x y = 0; y(1) = 0; y(e¼ ) = 0: Hallar las series trigonom¶etricas de Fourier, en el intervalo que se especif¶³ca, de las siguientes funciones: 11. f (x) = x; ¡¼ · x · ¼. 12. f (x) = x2 ; ¡¼ · x · ¼. 13. f (x) = ex ; ¡¼ · x · ¼. 14. f (x) = 8 > < ¡2; ¡4 · x < 0 0; x = 0 > : 2; 0 < x · 4 15. f (x) = ax + b; ¡L · x · L, donde a y b son constantes. 16. f (x) = 2x + 1; ¡1 · x · 1 17. f (x) = sen2 x cos2 x; ¡¼ · x · ¼ 18. f (x) = ( ¡x; ¡l · x < 0 x; 0 · x · l 19. f (x) = x ¡ 2; ¡1 · x · 1 2 Hallar para cada una de las funciones siguientes (a) la serie de Fourier de senos y (b) la serie de Fourier de cosenos, en los intervalos que se especi¯can. 20. f (x) = 1; 0 · x · ¼. 21. f (x) = sen x; 0 · x · ¼. 22. f (x) = ( 0; 0 · x < ¼2 2; ¼2 · x · ¼ 23. f (x) = 2L; 0 · x · L. 24. f (x) = ( 0; 0 · x < L2 2; L2 · x · L 3