Formas Diferenciales Sea U ⊂ Rn un conjunto abierto de Rn . Una 0-forma (cero forma) definida en U es una función diferenciable f : U ⊂ Rn → R con valores reales. Si la función es de clase ck decimos que la 0-forma es de clase ck . Ejemplo.- La función f (x, y, z) = xy 2 + z 3 es una 0-forma de clase ck Una 1-forma (uno forma) definida en U es una expresión del tipo ω = f1 dx1 + f2 dx2 + ... + fn xn donde fi : U ⊂ Rn → R son funciones diferenciables con valores reales. Si las funciónes fi son de clase ck decimos que la 1-forma es de clase ck . Ejemplo.- La función ω = xy 2 dx + z 3 dy es una 1-forma de clase ck Una 2-forma (dos forma) definida en U es una expresión del tipo ω= n X fij dxi dxj i,j=1 donde fij : U ⊂ Rn → R son funciones diferenciables con valores reales. Si las funciónes fij son de clase ck decimos que la 2-forma es de clase ck . Ejemplo.- La función ω = xy 2 dxdy + z 3 dydz + x3 dzdx es una 2-forma de clase ck Una 3-forma (tres forma) definida en U es una expresión del tipo n X ω= fijk dxi dxj dxk i,j,k=1 donde fijk : U ⊂ Rn → R son funciones diferenciables con valores reales. Si las funciónes fijk son de clase ck decimos que la tres-forma es de clase ck . Ejemplo.- La función ω = xy 2 dxdydz + z 3 dydzdx es una 3-forma de clase ck Una p-forma (pe forma) definida en U es una expresión del tipo n X ω= fijk...p dxi dxj dxk ...dxp i,j,k,...,p=1 donde fijk...p : U ⊂ Rn → R son funciones diferenciables con valores reales. Si las funciónes fijk...p son de clase ck decimos que la p-forma es de clase ck . Operaciones con formas Sean ω, η dos p-formas en el conjunto abierto U ⊂ Rn n X ω= gijk...p dxi dxj dxk ...dxp i,j,k,...,p n X η= hijk...p dxi dxj dxk ...dxp i,j,k,...,p Se define la suma ω + η como la p-forma n X ω+η = (gijk...p + hijk...p ) dxi dxj dxk ...dxp i,j,k,...,p El producto de la p-forma ω por la 0-forma f en U, denotada por f ω esta dada por fω = n X f · (gijk...p ) dxi dxj dxk ...dxp i,j,k,...,p Más generalmente si se tiene una p-forma ω y una q-forma η en U. Se define el producto ωη como la (p+q)-forma en U dada por n X ω·η = (gijk...p · hijk...p ) dxi dxj dxk ...dxp dxi0 dxj 0 dxk0 ...dxq i,j,k,...,p Las expresiones dxi tienen un caracter anticonmutativo cuando se multiplican entre si, es decir dxi dxj = −dxj dxi ∀i, j Según lo anterior se tiene dxi dxi = −dxi dxi ⇒ dxi dxi + dxi dxi = 0 ⇒ 2(dxi dxi ) = 0 ⇒ dxi dxi = 0 En general se tiene que el producto de formas no es conmutativo, para ver esto consideremos las 1-formas en U ⊂ R2 ω = g1 dx1 + g2 dx2 η = h1 dx1 + h2 dx2 se tiene entonces que ω·η = (g1 dx1 + g2 dx2 )·(h1 dx1 + h2 dx2 ) = g1 h1 dx1 dx1 +g1 h2 dx1 dx2 +g2 h1 dx2 dx1 +g2 h2 dx2 dx2 = g1 h2 dx1 dx2 +g2 h1 dx2 dx1 = g1 h2 dx1 dx2 − g2 h1 dx1 dx2 = (g1 h2 − g2 h1 ) dx1 dx2 dx1 dx2 Mientras que η·ω = (h1 dx1 + h2 dx2 )·(g1 dx1 + g2 dx2 ) = h1 g1 dx1 dx1 +h1 g2 dx1 dx2 +h2 g1 dx2 dx1 +h2 g2 dx2 dx2 = h1 g2 dx1 dx2 +h2 g1 dx2 dx1 = h1 g2 dx1 dx2 − h2 g1 dx1 dx2 = (h1 g2 − h2 g1 ) dx1 dx2 dx1 dx2 en realidad se tiene que ω · η = −η · ω Una interpretación geometrica a las formas diferenciales Dado un subconjunto abierto K ⊂ R3 tenemos que: Las 0-formas ω = f (x, y, z) con f : R3 → R se aplica a puntos de K Las 1-formas ω = P dx + Qdy + Rdz se aplica a curvas simples C o curvas cerradas C 0 de K Las 2-formas ω = P dxdy + Qdydz + Rdzdx se aplica a superficies orientadas S de K Las 3-formas ω = P dxdydz se aplica a regiones R de K