Calcular la Velocidad y la Aceleración...

Fundamentos Físicos de la Ingeniería
Primer Examen Parcial / 23 enero 1999
1. La masa M de la figura está atada con un hilo inextensible que pasa por una
polea B. Para acercar la masa hacia sí, un operario hace descender el extremo A
del hilo con una velocidad constante de 1 m/s. Calcular la velocidad y la
aceleración que tendrá la masa cuando pase por el punto C, indicado en la
figura, situado a 8 m del operario.
B
6m
A
C
M
8m
Consideramos el sistema de ejes de la figura y establecemos la
relación existente entre la distancia l y la distancia x:
y
l 2 = x 2 + 62
6m
y la derivamos respecto al tiempo
l
2l
x
x
dl
dx
dl
dx
= 2x
⇒ l
=x
dt
dt
dt
dt
Así, cuando x = 8 m y teniendo en cuenta que dl/dt es la
velocidad de decrecimiento de la longitud l, que coincide con la velocidad con que desciende el
extremo A del hilo (i.e., dl/dt = - 1 m/s), se obtiene
d x l dl
82 + 6 2
5
=
=−
1 = − m/s = - 1.25 m/s
dt
8
4
x dt
Derivamos de nuevo
2
2
2
2
⎛ d l ⎞⎟
⎛ ⎞
⎜⎜ ⎟ + l d l = ⎜⎜ d x ⎟⎟ + x d x
⎜⎝ d t ⎠⎟
d t 2 ⎝⎜ d t ⎠⎟
d t2
y teniendo en cuenta que
d2l
dx
5
= 0 y que para x = 8 m es
= − m/s , después de despejar se
2
dt
4
dt
obtiene
2
2
d 2 x 1 ⎢⎡⎛⎜ d l ⎟⎞ ⎛⎜ d x ⎞⎟ ⎥⎤ 1 ⎡ 2 25 ⎤
9
⎢
⎥
1
m/s 2 = − 0.0703 m/s 2
=
−
=
−
=
−
⎟
⎟
⎜
⎜
2
⎢
⎥
⎟
⎟
⎜
⎜
⎢
⎥
x ⎢⎣⎝ d t ⎠ ⎝ d t ⎠ ⎦⎥ 8 ⎣
16 ⎦
128
dt
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2. En el dispositivo que se muestra en la figura, el brazo tiene una
longitud l y está girando alrededor de un eje fijo que pasa por O.
En un instante dado, su velocidad angular es ωb y su aceleración
angular αb (sentido antihorario). El otro extremo del brazo
arrastra un piñón, de radio R, que rueda sin resbalar por el
interior de una corona fija. a) Determinar la velocidad angular
(ωp) y la aceleración angular (αp) del piñón en ese instante.
b) Determinar la velocidad y la aceleración de punto A del
piñón en ese instante. c) Ídem del punto B.
brazo
y
corona
ω bα b
x
O
A
C
B
piñón
a) Determinamos la velocidad y aceleración del punto C del brazo que serán también las del
punto C del piñón:
⎛ 0 ⎟⎞ ⎛ l ⎟⎞ ⎛ 0 ⎟⎞
⎜
⎜
⎜
v C = v O + ω b × OC = ⎜⎜ 0 ⎟⎟⎟×⎜⎜0⎟⎟⎟ = ⎜⎜ωb l ⎟⎟⎟
⎜⎜⎝ωb ⎟⎠ ⎝⎜⎜0⎟⎠ ⎝⎜⎜ 0 ⎟⎠
JJG
⎛ 0 ⎞⎟ ⎛ l ⎞⎟ ⎛ 0 ⎞⎟ ⎛ 0 ⎞⎟ ⎛⎜−ωb2 l ⎞⎟
⎜
⎜
⎜
⎜
aC = aO + α b × OC + ω b × (ω b × OC) = ⎜⎜ 0 ⎟⎟⎟×⎜⎜0⎟⎟⎟ + ⎜⎜ 0 ⎟⎟⎟×⎜⎜ωb l ⎟⎟⎟ = ⎜⎜ αb l ⎟⎟⎟
⎜⎝⎜α ⎟⎠ ⎜⎝⎜0⎟⎠ ⎜⎝⎜ω ⎠⎟ ⎜⎝⎜ 0 ⎠⎟ ⎜⎜ 0 ⎟⎟
⎝
⎠
b
b
JJG
JJG
La velocidad del punto B del piñón es nula (rodadura, CIR del piñón), de modo que podemos
escribir:
vC = ωp BC →
ωp =
vC
BC
=
ωb l
R
→ ωp = −
l
ωb
R
(horario)
αp = ω p = −
l
l
ω b = − αb
R
R
b) Determinamos la velocidad y la aceleración del punto A del piñón a partir del conocimiento
de la velocidad del punto B (CIR) y de la aceleración del punto C:
⎛ 0 ⎟⎞ ⎛−2 R⎞ ⎛ 0 ⎞⎟ ⎛ 0 ⎞⎟
⎜
⎜
⎟ ⎜
⎜
v A = v B + ω p × BA = ⎜⎜ 0 ⎟⎟⎟×⎜⎜ 0 ⎟⎟⎟ = ⎜⎜−2 Rωp ⎟⎟⎟ = ⎜⎜2ωp l ⎟⎟⎟ = 2 v C
⎜⎜ω ⎟⎟ ⎜⎜ 0 ⎟ ⎜⎜
⎜
⎠ ⎝ 0 ⎠⎟⎟ ⎝⎜ 0 ⎠⎟⎟
⎝ p⎠ ⎝
JJG
JJG
a A = a C + α p × CA + ω p × (ω p × CA) =
JJG
⎞
⎛ 2⎞
⎛
⎞ ⎛ 2 l2
⎜⎜−ωb l ⎟⎟ ⎛⎜ 0 ⎟⎟⎞ ⎛⎜−R⎟⎞⎟ ⎛⎜ 0 ⎟⎟⎞ ⎜⎜⎜⎛ 0 ⎟⎞⎟ ⎛⎜−R⎟⎟⎞⎟⎟ ⎜⎜ωb ( R − l )⎟⎟⎟
= ⎜+αb l ⎟⎟ + ⎜⎜ 0 ⎟⎟×⎜⎜ 0 ⎟⎟ + ⎜⎜ 0 ⎟⎟×⎜⎜⎜ 0 ⎟⎟×⎜⎜ 0 ⎟⎟⎟⎟ = ⎜⎜ 2αb l ⎟⎟
⎜ 0 ⎟⎟ ⎜⎜ l α ⎟ ⎜⎜ 0 ⎟ ⎜⎜ l ω ⎟ ⎜⎜⎜⎜− l ω ⎟ ⎜⎜ 0 ⎟⎟⎟ ⎜
⎟⎟
0
⎝⎜
⎠ ⎝− R b ⎠ ⎝ ⎠ ⎝− R b ⎠ ⎝⎝ R b ⎠ ⎝ ⎠⎠ ⎜⎝
⎠
c) La velocidad del punto B del piñón es nula (CIR) y su aceleración la determinamos a partir de
la del punto C (como en el apartado anterior):
JJG
JJG
vB = 0
a B = a C + α p × CB + ω p × (ω p × CB) =
⎞
⎛ 2⎞
⎛
⎞ ⎛ 2 l2
⎜⎜−ωb l ⎟⎟ ⎜⎛ 0 ⎟⎟⎞ ⎜⎛+ R⎟⎟⎞ ⎜⎛ 0 ⎟⎟⎞ ⎜⎜⎜⎛ 0 ⎟⎟⎞ ⎜⎛+ R⎟⎟⎞⎟⎟ ⎜⎜−ωb ( R + l )⎟⎟⎟
0
= ⎜+αb l ⎟⎟ + ⎜⎜ 0 ⎟⎟×⎜⎜ 0 ⎟⎟ + ⎜⎜ 0 ⎟⎟×⎜⎜⎜ 0 ⎟⎟×⎜⎜ 0 ⎟⎟⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜ 0 ⎟⎟ ⎜⎜− l α ⎟ ⎜⎜ 0 ⎟ ⎜⎜− l ω ⎟ ⎜⎜⎜⎜− l ω ⎟ ⎜⎜ 0 ⎟⎟⎟ ⎜
⎟⎟
0
⎝
⎠ ⎝ R b ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ R b ⎠ ⎝⎝ R b ⎠ ⎝ ⎠⎠ ⎜⎝
⎠
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3. Una viga AB, de 5 m de longitud y 60 kg de masa (distribuida
uniformemente), está apoyada en el suelo. Se levanta el
extremo B, a una altura de 3 m, mediante una fuerza aplicada
en B, siempre perpendicular a la viga. Hállense: la fuerza
aplicada en B, la reacción del suelo en A y el coeficiente de
rozamiento mínimo necesario para que A no deslice.
Datos:
sen θ =
F θ
l
G
N
θ
m= 60 kg, l = 5 m, h = 3 m
A
B
h
P
f
h 3
= = 0.6 → θ = 36.87º
l
5
Escribimos las ecuaciones cardinales de la estática, tomando momentos en el punto A
⎧
2 3
6
⎪
⎧
⎪⎪⎪[3] f = F sen θ = 5 P 5 = 25 P = 14.4 kg = 141.1 N
⎪⎪⎪↔ f = F sen θ
⎪
⎪⎪
⎪
⎪
8
17
⎪⎪
⎪
+
θ
=
⇒
N
F
cos
P
P = 40.8 kg = 399.8 N
7
⎨
⎨[2] N = P − F cos θ = P − P =
⎪
⎪
25
25
⎪
⎪
⎪
⎪
l
⎪
⎪
1
2
Fl = P cos θ
⎪
⎪
⎪
⎪⎪[1] F = P cos θ = mg = 24 kg = 235.2 N
2
⎪⎩ A
2
5
⎪
⎩
z
Para que no exista deslizamiento en esta posición deberá ser
μ>
f
6
= = 0.353
N 17
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4. Tres cuerpos de masa m = 5 kg están unidos entre sí por dos cuerdas que pueden soportar una tensión máxima
2
1
3
F
T = 20 N. Los cuerpos se encuentran sobre una superficie horizontal y los coeficientes de rozamiento son:
μ1 = 0.3, μ2 = 0.2, μ3 = 0.1. Si aplicamos al cuerpo 3 una fuerza F que aumentamos lentamente, ¿Qué cuerda se
rompe y con qué fuerza mínima ocurrirá?
Cuando la magnitud de la fuerza aplicada sea tal que estemos en condiciones de movimiento
inminente, las fuerzas de rozamiento tendrán el valor máximo posible, i.e.:
f1 = μ1 m1 g = 0.3× 5 = 1.5 kg = 14.7 N
f 2 = μ2 m2 g = 0.2 × 5 = 1.0 kg = 9.8 N
f3 = μ3 m3 g = 0.1× 5 = 0.5 kg = 4.9 N
T1
1
f1
2
f2
T2
3
F
f3
y las tensiones de las cuerdas serán:
T1 = f1 = 14.7 N
T2 = f1 + f2 = 24.5 N
Como T2 sería superior a la tensión de rotura (20 N), no habrá movimiento de conjunto de las tres
masas, ya que la cuerda 2 se romperá antes de que eso ocurra. Así, las tres masas permanecerán
en reposo y la máxima fuerza que se puede ejercer sin romper la cuerda 2 será:
F = T2,máx + f3 = 20 + 4.9 = 24.9 N
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5. La barra uniforme de masa m y longitud L de la figura está articulada en su
extremo superior A. Inicialmente se halla en reposo en la posición vertical. Se
tira de la cuerda con una fuerza T. En el instante inicial, determinar la
aceleración angular de la barra y la reacción en el pasador en A.
3L/4
A
3L/4
T
Las fuerzas que actúan sobre la barra se indican en rojo en la figura
adjunta.
El movimiento de la barra consiste en una rotación pura alrededor del eje que pasa por A.
Aplicando la ecuación fundamental de la dinámica de la rotación, tomando momentos con
respecto al eje A, se sigue:
∑M
A
Ry
Rx
A
G
P
T
45º
= IA
}
3
1
9 2 T
LT cos 45º = mL2 α ⇒ α =
4
3
8 mL
El centro de masa de la barra describe una trayectoria circular. En
el instante indicado, el c.m. tiene una aceleración centrípeta nula
(por se nula su velocidad) y una aceleración tangencial
(horizontal) dada por
l 9 2T
ax = α ⋅ =
2
16 m
Aplicando la ecuación fundamental de la dinámica de traslación
al centro de masa de la barra, se obtienen las dos ecuaciones
siguientes:
∑ F = macm
⎧⎪→ T cos 45º + Rx = max
⇒ ⎪⎨
⎪↑
− P + T sen 45º + Ry = 0
⎪⎩
de donde
⎛9 2
2
2 ⎞⎟
⎟⎟T =
Rx = max − T cos 45º = ⎜⎜⎜
−
T
⎜⎝ 16
2 ⎠⎟
16
Ry = mg −
2
T
2
Las reacciones en el pasador A son iguales y opuestas a las calculadas y se indican en azul en la
figura.
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