Sistemas Trifásicos

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Fundamentos de Tecnología Eléctrica (2º ITIM)
Tema 3
Sistemas Trifásicos
Damián Laloux, 2003
Índice
T
Definiciones y diagramas vectoriales



Sistema trifásico equilibrado
Secuencia de fases
Conexión en estrella
†

Conexión en triángulo
†
T
T
T
Tensiones compuestas (de línea), corrientes de rama
Teorema de Kennelly:

T
Tensiones de fase (simples), corrientes de fase (de línea)
Equivalencia estrella-triángulo
Circuito monofásico equivalente
Conexión estrella-triángulo estandarizada
Potencia en sistemas trifásicos
Fundamentos de Tecnología Eléctrica (2º ITIM)
T3 - 1
M. Ventosa & D. Laloux, 2003
Índice (y II)
Red infinita con carga desequilibrada
T



Concepto de red infinita
Carga desequilibrada en triángulo
Carga desequilibrada en estrella
Medida de potencias y energía trifásicas
T

Métodos de medida de potencia activa
†
†
†


Un vatímetro (tetrafilar y trifilar)
Dos vatímetros (Aron)
Tres vatímetros (tetrafilar y trifilar)
Medida de reactiva
Medida de energía
Comparación entre el transporte en monofásica
y en trifásica
T
Fundamentos de Tecnología Eléctrica (2º ITIM)
T3 - 2
M. Ventosa & D. Laloux, 2003
Definición
T
Un sistema trifásico equilibrado de tensiones
(corrientes) está formado por:
e1
e1 ( t ) = 2 ⋅ E ⋅ sen (ω t + ψ )
2π

e2 ( t ) = 2 ⋅ E ⋅ sen  ω t + ψ −
3

2π

e3 ( t ) = 2 ⋅ E ⋅ sen  ω t + ψ +
3

Misma
pulsación
Mismo
valor
eficaz
+






Desfase
uniforme
de 120º
Fundamentos de Tecnología Eléctrica (2º ITIM)
2π
3
ωt
ψ e
2
−
ωt
2π
3
e3
−
−
2π
3
ωt
4π
3
T3 - 3
M. Ventosa & D. Laloux, 2003
Diagrama vectorial
T
Un sistema trifásico equilibrado de tensiones
(corrientes) se suele representar en su forma
vectorial simbólica:
JJG
E3
JJG
E1 = E ⋅ e jψ
2π 

JJG
j ψ −

3 

E2 = E ⋅ e
JJG
E3 = E ⋅ e
2π 

j ψ +

3 

Mismo
valor
eficaz
JJG
E1
2π
3
2π
3
ψ
ω
e j0
2π
3
JJG
E2
Desfase
uniforme
de 120º
Fundamentos de Tecnología Eléctrica (2º ITIM)
M. Ventosa & D. Laloux, 2003
T3 - 4
Secuencia de fases R S T
T
Los sistemas trifásicos de tensiones y corrientes
se suelen notar empleando las letras R, S y T:
JJG
ER
JJG
ER = E ⋅ e j 0
2π
JJG
−j
ES = E ⋅ e 3
2π
JJG
j
ET = E ⋅ e 3
2π
3
JJG
ET
2π
3
2π
3
JJG
ES
La secuencia de fases RST se denomina Secuencia Directa
Fundamentos de Tecnología Eléctrica (2º ITIM)
T3 - 5
M. Ventosa & D. Laloux, 2003
Conexión en estrella (Y)
T
Los tres elementos de una estrella se unen en un
punto común denominado habitualmente
“neutro” (N)


Sistema trifásico tetrafilar: 3 fases RST con neutro N
Sistema trifásico trifilar: 3 fases RST sin neutro
JJG
accesible
IR
R
JJJG
UR
JJJG
US
JJJG
UT
N
JJG
IT
T
S
JJG
IS
Fundamentos de Tecnología Eléctrica (2º ITIM)
T3 - 6
M. Ventosa & D. Laloux, 2003
Tensiones y corrientes en la estrella
T
Las tensiones que soportan cada uno de los tres
elementos de la estrella se denominan tensiones
de fase o simples
JJG
IR

R
JJJG
UR
JJJG
US
JJJG
UT
JJG
IT
N
Las corrientes que
circulan por cada uno
de los tres elementos
de la estrella se
denominan corrientes
de fase o de línea
T
JJG
IS
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S
T3 - 7
M. Ventosa & D. Laloux, 2003
Diagramas vectoriales en la estrella
T
Considerando que la corriente de cada fase
está retrasada un ángulo ϕ respecto de su
correspondiente tensión de fase:
e j0
JJJG
U R = U f ⋅ e j0
2π
JJJG
−j
US = U f ⋅ e 3
JJJG
UR
JJG
j −ϕ
IR = I ⋅ e ( )
ϕ JJG
IR
2π
JJJG
j
UT = U f ⋅ e 3
 2π

JJG
j −
−ϕ 
IS = I ⋅ e  3 
 2π

JJG
j
−ϕ 
IT = I ⋅ e  3 
JJG
IT
JJJG
UT
JJJG
US
JJG
IS
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T3 - 8
M. Ventosa & D. Laloux, 2003
Tensión del neutro en la estrella
T
Al tratarse de un sistema trifásico equilibrado de
tensiones e intensidades, se verifica que:
2π
JJJG JJJG JJJG
j
 j 0 − j 23π

U R + U S + UT = U f ⋅  e + e
+e 3  = 0


JJG
JJG JJG JJG JJG
IR
R
I N = I R + I S + IT = 0
JJJG
UR
JJJG
US
JJJG
ZN
JJJG
UT
JJG
IT
JJG
IN
⇓
JJJG
UN = 0
JJJG JJJJG
U R = U RN
JJJG JJJJG
U S = U SN
JJJG JJJJG
U T = U TN
N
T
JJG
IS
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S
T3 - 9
M. Ventosa & D. Laloux, 2003
Conexión en triángulo (D o ∆)
T
Los tres elementos de un triángulo se conectan
en serie formando un circuito cerrado, por lo que
no existe neutro

Sistema trifásico trifilar: tres fases RST sin neutro
accesible
JJG
IR
R
JJJG
UR
JJJG
US
JJJG
UT
JJG
IT
T
S
JJG
IS
Fundamentos de Tecnología Eléctrica (2º ITIM)
T3 - 10
M. Ventosa & D. Laloux, 2003
Tensiones en el triángulo
T
Las tensiones que soportan cada uno de los
tres elementos del triángulo se denominan
tensiones de línea o compuestas
R
JJJJG
U RS
JJJJG
U TR
S
JJJJG
U ST
T
Las tensiones nominales siempre son tensiones de línea
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T3 - 11
M. Ventosa & D. Laloux, 2003
Tensiones en el triángulo (II)
e j0
JJJJG
URS
30º
JJJG
UT
2π
JJJJG JJJG JJJG
JJJG
−j


URS = UR − US = U f ⋅  e j 0 − e 3  = 3·U f ·e j 30º· ρ = 3·UR ·e j 30º· ρ


JJJG
UR
Las tensiones compuestas forman
otro sistema trifásico equilibrado
JJJG
−US
JJJJG
UST
JJJG
US
JJJJG
U
TR
JJJG
−UR
⇓
JJJJG JJJJG JJJJG
U RS + U ST + U TR = 0
JJJG
−UT
2π
JJJJG JJJG JJJG
JJJG
j
 − j 2π

UST = US − UT = U f ⋅  e 3 − e 3  = 3·U f ·e− j 90º· ρ = 3·US ·e j 30º· ρ


JJJJG JJJG JJJG
JJJG
 j 23π

UTR = UT − UR = U f ⋅  e − e j 0  = 3·U f ·e j150º· ρ = 3·UT ·e j 30º· ρ


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T3 - 12
M. Ventosa & D. Laloux, 2003
Tensiones en el triángulo (y III)
JJJJG JJJG JJJG
U RT = U R − UT = 3·U f ·e− j 30º· ρ
JJJJG JJJG JJJG
U SR = U S − U R = 3·U f ·e − j150º· ρ
JJJG JJJG JJJG
UTS = U T − U S = 3·U f ·e j 90º· ρ
JJJG
UR
T
JJJG
UR
R
JJJG
−U S
JJJJG
U SR
JJJJG
U RT
JJJG
UT
JJJG
e j 0 −U T
JJJG
U TS
JJJG
US
Fundamentos de Tecnología Eléctrica (2º ITIM)
S
JJJJG
U RT
JJJG
U TS
JJJG
UT
JJJJG
U SR
JJJG
US
JJJG
−U R
JJJJG JJJJG JJJG
U RT + U SR + U TS = 0
T3 - 13
M. Ventosa & D. Laloux, 2003
Corrientes en el triángulo
T
Las corrientes que circulan por cada uno de
los elementos del triángulo se denominan
corrientes de rama
JJG
IR
R JJJG
I RS
JJG
Z∆
JJJG
ITR
JJG
IT
JJG
Z∆
JJJG
I ST
T
JJG
IS
JJG
Z∆
S
JJJJG
JJJG U RS
I RS = JJG
Z∆
JJJJG
JJJG U ST
I ST = JJG
Z∆
JJJJG
JJJG U TR
ITR = JJG
Z∆
JJJG JJJG JJJG
I RS + I ST + ITR = 0
También forman un sistema trifásico equilibrado
Fundamentos de Tecnología Eléctrica (2º ITIM)
T3 - 14
M. Ventosa & D. Laloux, 2003
Corrientes en el triángulo (II)
T
Las corrientes de rama son 3 veces menores JJG
JJJG
IR
que las de línea:
JJG
IR
JJG
IT
JJG
IS
R
I RS
JJJG
I RS
JJJG
ITR
T
 JJJG 1
 I RS = 3
JJG JJJG JJJG
I R = I RS − ITR  
JJG JJJG JJJG   JJJG
I S = I ST − I RS  ⇒  I ST = 13
JJG JJJG JJJG  
IT = ITR − I ST   JJJG
 ITR = 13

JJJG
I ST
(
(
(
JJJG
− I ST
JJG
IT
S
JJG
JJJG
JJG JJG
I
I R − I S = R ·e j 30º ρ I TR
3
JJG
JJG JJG
I
I S − IT = S ·e j 30º ρ
3
JJG
JJG JJG
IT j 30º ρ
·e
IT − I R =
3
)
)
)
Fundamentos de Tecnología Eléctrica (2º ITIM)
T3 - 15
JJJG
− I TR
JJJG
− I RS
JJJG
I ST
JJG
IS
M. Ventosa & D. Laloux, 2003
Diagrama vectorial del triángulo
_
URS
Tensiones de línea
Corrientes de línea o fase
_
UR
ϕ
_
IT
ϕ
ϕ: retraso de las I
con respecto a sus
correspondientes U
_
_
IS
UT
_
UST
_
IST
ϕ
ϕ
UTR
Corrientes de rama
(circulan
_ por dentro del ∆)
ϕ
_ ϕ
ITR
_
Tensiones de fase
_
IR
_
IRS
US
Se considera carga equilibrada con Z∆ = Z∆
Fundamentos de Tecnología Eléctrica (2º ITIM)
JJG
IR
JJG
ZY
-
+
-
JJJG
I RS
JG
I1
JJG
ES
JJG
Z∆
+
+
JJG
ET
JJG
ZY
JJG
IS
S
JJG
ZY
JJG
IT
JJG JJG
JJG JJG
ER − ES = 2·Z Y + Z ∆
JJG JG
0 = − Z ∆ · I1 +
JJG JJG
JJG JG
ES − ET = − ZY ·I1 −
(
JG
JJG JJG
JJJG
I ST
S
R
JJG
Z∆
JJG
I2
JJG
Z∆
-
T
M. Ventosa & D. Laloux, 2003
T3 - 16
Ejemplo I
R
JJG
ER
ϕ
JJJG
ITR
T
JJG
I3
JJG JJG
JJG
JG
JJG
JJG
R
1
R
Y
S
3
JJG
)·I − ( Z )·I − ( Z )·I   I = I = E ( Z + ·Z )
JJG
JJG JJG JJG JJG
JJG JJG JG JJG JJG
( ) (3·Z )·I − ( Z )·I  ⇒  I = I − I = E ( Z + ·Z )
JJG JJG JJG
JJG
JJG JJG
JJG JJG JJG   JJG
( ) ( Z )·I + ( 2·Z + Z )·I   I = − I = E ( Z + ·Z )
∆
1
∆
∆
2
Y
2
∆
2
Fundamentos de Tecnología Eléctrica (2º ITIM)
Y
3
3
∆
3
R
T3 - 17
S
1
3
1
3
T
∆
1
3
Y
Y
1
3
∆
∆
M. Ventosa & D. Laloux, 2003
Teorema de Kennelly
A
A
JJJJG
Z AB
+
-
B
JJJJG
E BC
JJG
ZC
JJG
ZB
+
+
-
C
⇔
JJG
EA
+
-
JJG
EC
-
JJJJG
Z BC
JJJJG
E AB
-
+
JJJG
Z CA
JJG
ZA
+
-
JJJG
ECA
JJG
EB
B
C
JJG JJG JJG JJG JJG JJG
JJJJG Z A ⋅ Z B + Z B ⋅ Z C + Z C ⋅ Z A
JJG
Z AB =
ZC
JJG JJG JJG JJG JJG JJG
JJJJG Z A ⋅ Z B + Z B ⋅ Z C + Z C ⋅ Z A
JJG
Z BC =
ZA
JJG JJG JJG JJG JJG JJG
JJJG Z A ⋅ Z B + Z B ⋅ Z C + Z C ⋅ Z A
JJG
Z CA =
ZB
JJJJG JJG JJG
E AB = E A − EB
JJJJG JJG JJG
EBC = EB − EC
JJJG JJG JJG
ECA = EC − E A
JJJJG JJJG
JJG JJG  E AB ECA 
E A = Z A  JJJJG − JJJG 
Z

 AB Z CA 
JJJJG JJJJG
JJG JJG  EBC E AB 
EB = Z B  JJJJG − JJJJG 
 Z BC Z AB 
JJJG JJJJG
JJG JJG  ECA EBC 
EC = Z C  JJJG − JJJJG 
 Z CA Z BC 
JJJJG JJJG
JJG
Z ⋅Z
Z A = JJJJG ABJJJJG CA JJJG
Z AB + Z BC + Z CA
JJJJG JJJJG
JJG
Z ⋅Z
Z B = JJJJG ABJJJJG BC JJJG
Z AB + Z BC + Z CA
JJJJG JJJG
JJG
Z ⋅Z
Z C = JJJJG BCJJJJG CA JJJG
Z AB + Z BC + Z CA
Fundamentos de Tecnología Eléctrica (2º ITIM)
M. Ventosa & D. Laloux, 2003
T3 - 18
Equivalencia estrella-triángulo
Todo circuito trifásico conectado en triángulo
tiene una estrella equivalente y viceversa:
Esta equivalencia es extremadamente útil
+
JJJG
E ST
JJJG
I ST
S
Fundamentos de Tecnología Eléctrica (2º ITIM)
JJG
IT
T
+
-
JJG
ET
JJG
ZY
JJG
ER
JJG
ES
+
+
-
T
Z∆
JJG
ZY
-
JJJG
I TR
JJG
Z∆
R
JJG
IR
-
JJJG
ETR
JJG
 JJG Z ∆

Z
=
 Y

R JJJG
 JJJJG 3 JJJG

IT
U RS = 3·U R ·e j 30º ρ 
RS
⇐  JJJG
JJG
⇒
JJJG
ERS = 3·ER ·e j 30º ρ 

JJG
E RS
 JJJG JJG

Z∆
 I = I R ·e j 30º ρ

+
RS


3

JJG
+

-
T
JJG
ZY
JJG
IS
S
T3 - 19
M. Ventosa & D. Laloux, 2003
Circuito monofásico equivalente
Conectando cargas trifásicas equilibradas a
tensiones trifásicas equilibradas, el circuito sigue
siendo equilibrado y se desacopla en tres:
T
JJG
ER = E ⋅ e j 0
2π
JJG
−j
ES = E ⋅ e 3
2π
JJG
j
ET = E ⋅ e 3
JJG
j −ϕ
 I R = I ⋅ e ( ) 

 
 2π

JJG
j −
−ϕ  
  JJG
 3

 ⇒ IS = I ⋅ e
 ⇒ IN = 0
  JJG
 2π
 
  I = I ⋅ e j  3 −ϕ  
  T

Resolviendo una sola fase, típicamente la R,
se conocen todas las tensiones y corrientes:

JJJJG
JJJG
JJJG
 JJJG JJJG j  − 23π  JJJG JJJG j  23π 
U RS = 3·U R ⋅ e j 30º ρ
j0




U R = U ⋅ e  U S = U R ⋅ e
;U T = U R ⋅ e

JJG
⇒  JJJG I
JJG
⇒
j ( −ϕ )
 2π 
 2π 
R
G JJG j  − 3  JJG JJG j  3 
⋅ e j 30º ρ
IR = I ⋅ e
 I RS =
  JJ




;
=
⋅
=
⋅
I
I
e
I
I
e
3

R
T
R
 S
Fundamentos de Tecnología Eléctrica (2º ITIM)
T3 - 20
M. Ventosa & D. Laloux, 2003
Ejemplo II
T
Resolución del circuito del ejemplo I:
R
JJG
IR
JJG
ZY
+
JJG
ES
+
T
R
JJJG
I RS
JJG
Z∆
JJG
Z∆
-
-
JJG
ET
JJG
ZY
JJG
ER
+
-
JJG
ZY
S
JJG
IT
Fundamentos de Tecnología Eléctrica (2º ITIM)
JJG
IS
JJG
Z∆
S
JJJG
I ST
T3 - 21
JJJG
I TR
T
M. Ventosa & D. Laloux, 2003
Ejemplo II a
T
Los triángulos se transforman en sus estrellas
equivalentes:
R
JJG
ER
JJJG
ZN
+
-
JJG
ET
N
-
-
+
JJG
ZY
JJG
Z∆
3
JJG
IN = 0
JJG
ES
N’
+
T
R
JJG
IR
JJG
ZY
JJG
ZY
S
JJG
IS
JJG
Z∆
3
JJG
IT
Fundamentos de Tecnología Eléctrica (2º ITIM)
JJG
Z∆
3
T
M. Ventosa & D. Laloux, 2003
T3 - 22
Ejemplo II b
Se resuelve una fase fácilmente al conocer la
tensión de todos los neutros: UNN’= 0
R
JJG
ER
JJG
ET
-
N
-
JJG
I R JJG JJG JJG
JJG
I R = E R Z Y + 13 ·Z ∆
JJJG JJG JJG
U R = I R ⋅ 13 ·Z ∆
(
JJG
ES
JJG
ZY
)
R
JJJG
UR
JJJG
ZN
+
T
JJG
ZY
JJG
ZY
+
-
+
T
S
JJG
IT
Fundamentos de Tecnología Eléctrica (2º ITIM)
JJG
IS
JJG
Z∆
3
N’= N
JJG
Z∆
3
T3 - 23
JJG
Z∆
3
T
M. Ventosa & D. Laloux, 2003
Ejemplo II c
T
Se calculan, si es necesario, las corrientes y
tensiones de las otras fases:
JJJG
UR
JJG JJG
I R = ER
ϕ
JJG
IR
)
 JJJG JJJG − j 2π
JJJG JJG JJG U S = U R ⋅ e 3
U R = I R ⋅ 13 ·Z ∆ ⇒ 
JJJG JJJG j 2π
U
3
 T = UR ⋅ e
JJG
IT
JJG
IS
JJJG
UT
(
 JJG JJG − j 23π
JJG
JJG
IS = I R ⋅ e
ZY + 13 ·Z ∆ ⇒ 
G JJG j 2π
 JJ
3
 IT = I R ⋅ e
JJJG
US
Fundamentos de Tecnología Eléctrica (2º ITIM)
T3 - 24
M. Ventosa & D. Laloux, 2003
Ejemplo II d
T
Se calculan, si es necesario, las tensiones
compuestas:
JJJJG JJJG JJJG
JJJG
URS = UR − US = 3·UR ·e j 30º·ρ
JJJG JJG JJG JJJJG JJJG JJJG
JJJG
UR = I R ⋅ 13·Z∆ ⇒ UST = US − UT = 3·U R ·e− j 90º· ρ
JJJG j150º·ρ
JJJJG JJJG JJJG
UTR = UT − UR = 3·UR ·e
R
JJJJG
U TR
JJJG
UT
JJJG
UR
JJJJG
U ST
JJJJG
U RS
JJJG
US
T
Fundamentos de Tecnología Eléctrica (2º ITIM)
S
T3 - 25
M. Ventosa & D. Laloux, 2003
Ejemplo II e
T
Se calculan, si es necesario, las corrientes de
JJG
rama:
 JJJG I
 I RS =

 JJJG
JJG JJG JJG
JJG
I R = ER ZY + 13 ·Z ∆ ⇒  I ST =

R
JJJG
 JJJG
I RS
 ITR =
JJG
JJG
Z∆

Z∆
(
JJG
IR
JJG
IT
JJG
IS
JJJG
I TR
)
JJG
Z∆
JJJG
I ST
T
S
R
3
JJG
IR
3
JJG
IR
3
·e j 30º ρ
·e − j 90º ρ
·e j150º ρ
En general hay varias
formas de llegar al JJJJG
mismo vector: JJJG U RS
I RS = JJG
Z∆
Fundamentos de Tecnología Eléctrica (2º ITIM)
M. Ventosa & D. Laloux, 2003
T3 - 26
Conexión Y-∆ estandarizada
U
V
U
W
X
Y
Z
X
Y
U
V
W
Z
W
V
Z U
W
Z
X
Y
Fundamentos de Tecnología Eléctrica (2º ITIM)
X
Y
T3 - 27
V
M. Ventosa & D. Laloux, 2003
Potencia instantánea trifásica
T
En trifásica, la potencia instantánea es la suma
de las potencias instantáneas de cada fase:
p(t) = p R (t) + pS (t) + p T (t) = u R (t)i R (t) + u S (t)iS (t) + u T (t)i T (t)
T
Y si es equilibrada, en las tres fases pasa lo
mismo:
p(t) = 2U f sen(ωt) ⋅ 2Isen ( ωt − ϕ ) +
2π 
2π 


+ 2U f sen  ωt −
 ⋅ 2Isen  ωt − ϕ −
+
3 
3 


2π 
2π 


+ 2U f sen  ωt +
 ⋅ 2Isen  ωt − ϕ +

3 
3 


Fundamentos de Tecnología Eléctrica (2º ITIM)
T3 - 28
M. Ventosa & D. Laloux, 2003
Potencia instantánea trifásica (y II)
T
Operando, resulta:
p(t) = U f I ( cosϕ − cos ( 2ωt − ϕ ) ) +

 

2π 
+ U f I  cosϕ − cos  2  ωt −  − ϕ   +
3 
 



 

2π 
+ U f I  cosϕ − cos  2  ωt +
 − ϕ
3 
 


T
¡La potencia instantánea NO depende del
tiempo!
p(t) = 3U f I cosϕ = 3 U I cosϕ = cte.

Es una de las ventajas de la trifásica
Fundamentos de Tecnología Eléctrica (2º ITIM)
T3 - 29
M. Ventosa & D. Laloux, 2003
Potencias activa, reactiva y aparente
T
Activa: valor medio de la instantánea:
P=

1
p(t)dt = p(t) = 3U f I cosϕ = 3 U I cosϕ
T∫
o suma de las activas de cada fase:
P = PR + PS + PT
T
Reactiva: Σ de las reactivas de cada fase:
Q = Q R + QS + QT = 3U f Isenϕ = 3UIsenϕ
T
Aparente: Σ de las aparentes de cada fase:
*
*
*
S = SR + SS + ST = U R I R + US IS + U T IT = 3UI e jϕ = P + jQ
Fundamentos de Tecnología Eléctrica (2º ITIM)
T3 - 30
M. Ventosa & D. Laloux, 2003
Concepto de red infinita
T
Una red (o nudo de potencia) infinita conserva
la tensión y la frecuencia independientemente
de la carga que se le conecte

Su dipolo de Thévenin equivalente es una fuente de
tensión ideal. (ZTh = 0)
_
E

Proviene de considerar infinitos generadores reales
de la misma tensión, en paralelo:
†
ZTh sería el paralelo de las infinitas impedancias internas
de los generadores ¤ 0
Fundamentos de Tecnología Eléctrica (2º ITIM)
T3 - 31
M. Ventosa & D. Laloux, 2003
Carga desequilibrada en triángulo
Caso general: cada rama del ∆ es un dipolo de
JJG
Thévenin:
IT
JJG
JJG
ER
+
-
JJG
ES
-
-
JJG
ET
+
+
JJG
E1
IR
JJG
Z1
JG
I1
JJG
IS
3
+
R
-
T
JJG
Z3
JJG
E2
+
JJG
Z2
+
-


-
JJG
I2
S
JJG
IT
T
JJG
E3
Las tensiones de las ramas del ∆ están determinadas:
¼ninguna dificultad especial
Nótese que NO se puede plantear un circuito
monofásico equivalente
Fundamentos de Tecnología Eléctrica (2º ITIM)
M. Ventosa & D. Laloux, 2003
T3 - 32
Carga desequilibrada en estrella
Caso general: cada rama de la estrella es un
dipolo de Thévenin y el neutro tiene ZN
S
JJG
ZS
JJG
ZT
-
-
-
JJG
IS
JJG
IN
N’
JJJG
ET '
JJJG
ES '
+

JJG
IT
JJG
ES
JJJG
ER ' +
-

+
T
N
-
JJG
ET
JJG
ER
+
-
JJG JJJJJG
ZR U
N 'N
JJJG
ZN
+
JJG
IR
R
+
T
Si ZN = 0, las tensiones de las ramas de la estrella
están determinadas: ¼ ninguna dificultad especial
Si ZN ≠ 0, en primer lugar hay que determinar UN’N (o IN)
Fundamentos de Tecnología Eléctrica (2º ITIM)
T3 - 33
M. Ventosa & D. Laloux, 2003
Método del desplazamiento del
centro de estrella
JJG JJG JJG JJJG JJGJJJJJG
JJG JJJG JJGJJG JJJJJG
 I = Y ( E − E ') − Y U
E = E ' + Z I +U 
 JJG JJG JJG JJJG JJGJJJJJG
JJG JJJG JJGJJG JJJJJG 

⇔
E = E ' + Z I +U

 I = Y ( E − E ') − Y U
JJG JJJG JJGJJG JJJJJG 
 JJG JJG JJG JJJG JJGJJJJJG
E = E ' + Z I +U

 I = Y ( E − E ') − Y U

R
R
R
R
N 'N
S
S
S
S
N 'N
T
T
T
T
N 'N
R
R
R
R
R
N 'N
S
S
S
S
S
N 'N
T
T
T
T
T
N 'N
JJGJJJJJG JJG JJG JJG JJG
Y como: YN U N ' N = I N = I R + I S + IT
JJG JJG JJJG
Yk Ek − Ek '
JJJJJG
S ,T
JJG
Resulta: U N ' N = k = R ,JJG
YN + ∑ Yk
(
∑
)
k = R , S ,T


1º) Calcular
JJJJJel
G “desplazamiento del centro de
estrella” U N ' N
JJG JJG JJG
2º) Obtener I R , I S , IT y el resto de incógnitas
Fundamentos de Tecnología Eléctrica (2º ITIM)
M. Ventosa & D. Laloux, 2003
T3 - 34
Desplazamiento del centro de estrella:
Diagrama vectorial
R
_
URN’
_
ER
_
N’
UN’N
_
UTN’
T
_
ET
Fundamentos de Tecnología Eléctrica (2º ITIM)
_
N
_
ES
USN’
S
T3 - 35
M. Ventosa & D. Laloux, 2003
Potencias en sist. desequilibrados
T
La potencia instantánea ya NO es constante
T
La potencia activa, ya no es igual a √3 U I cosϕ:
P = PR + PS + PT = U R I R cos ϕR + US IS cos ϕS + U T IT cos ϕT
T
La potencia reactiva tampoco es √3 U I senϕ:
Q = Q R + QS + QT = U R I R s enϕR + US IS s enϕS + U T IT s enϕT
T
Ni la potencia aparente es √3 U I :
*
*
*
S = SR + SS + ST = U R I R + US IS + U T IT = P + jQ
T
Y el factor de potencia (equivalente) es:
F.P. =
P
=
S
PR + PS + PT
( PR + PS + PT ) + ( QR + QS + QT )
Fundamentos de Tecnología Eléctrica (2º ITIM)
2
T3 - 36
2
M. Ventosa & D. Laloux, 2003
Medida de potencia activa trifásica
T
Los distintos métodos se basan en alguna de las
ecuaciones:
P = PR + PS + PT = 3U f Icosϕ = 3UIcosϕ
T
Hay que tener en cuenta distintos condicionantes:




T
Si son válidos con tensiones desequilibradas;
Si son válidos con corrientes desequilibradas;
Si se dispone de tres o cuatro hilos;
Cuántos vatímetros se necesitan
Aparecerán constantes de multiplicación:


Debidas al propio método
Debidas a los aparatos: trafos de intensidad, etc...
Fundamentos de Tecnología Eléctrica (2º ITIM)
T3 - 37
M. Ventosa & D. Laloux, 2003
Un vatímetro con tensión simple
*
R
S
T
N
*
Carga
Pmed = U R I R cos ϕR
T
T
P = K m Pmed = 3 U R I R cos ϕR
Válido si hay equilibrio en tensiones y en
intensidades
Necesita cuatro hilos
Fundamentos de Tecnología Eléctrica (2º ITIM)
T3 - 38
M. Ventosa & D. Laloux, 2003
Un vatímetro con tensiones simples
(trifilar)
*
R
S
T
Pmed
T
T
*
Rvolt
Rvolt
Carga
Rvolt
Neutro artificial
= U R I R cos ϕR
P = K m Pmed = 3 U R I R cos ϕR
Válido si hay equilibrio en tensiones y en
intensidades
En trifilar, se crea un neutro artificial con una
estrella equilibrada de resistencias con el valor
de la bobina voltimétrica
Fundamentos de Tecnología Eléctrica (2º ITIM)
T3 - 39
M. Ventosa & D. Laloux, 2003
Dos vatímetros. (Método de Aron)
*
R
S
T
*
Carga
*
*
p = u R i R + u Si S + u T i T = u R i R + u S ( −i R − i T ) + u T i T =
= ( u R − u S ) i R + ( u T − u S ) i T = u RSi R + u TSi T
P = Pmed1 + Pmed 2
T
T
Válido con desequilibrada
Sólo en sistemas trifilares (⇒ iS = - iR - iT)
Fundamentos de Tecnología Eléctrica (2º ITIM)
T3 - 40
M. Ventosa & D. Laloux, 2003
Tres vatímetros (tetrafilar)
*
R
S
T
N
*
*
*
*
Carga
*
Pmed1 = PR
Pmed 2 = PS
Pmed3 = PT
T
T
P = Pmed1 + Pmed 2 + Pmed3
Válido con desequilibrada
Necesita cuatro hilos
Fundamentos de Tecnología Eléctrica (2º ITIM)
T3 - 41
M. Ventosa & D. Laloux, 2003
Tres vatímetros (trifilar)
*
R
S
T
*
1
u RM i R dt
T∫
1
= ∫ u SM iSdt
T
1
= ∫ u TM i T dt
T
Pmed1 =
Pmed 2
Pmed3
T
T
*
Carga
*
*
*
M
Pmed1 + Pmed 2 + Pmed3 =
=
1
( pR + pS + pT − u M (i R + iS + iT ) ) dt
T∫
P = Pmed1 + Pmed 2 + Pmed3
Válido con desequilibrada. M cualquiera
Debe ser trifilar. Pero Aron lo supera
Fundamentos de Tecnología Eléctrica (2º ITIM)
T3 - 42
M. Ventosa & D. Laloux, 2003
Medida de potencia activa trifásica.
Resumen
Método
1 vatímetro
3 Hilos 4 Hilos Desequilibrada
Sí
(ntro. art.)
Sí
No válido
(Aron)
Sí
No
Válido
3 vatímetros
(Sí)
Sí
Válido
2 vatímetros
Fundamentos de Tecnología Eléctrica (2º ITIM)
T3 - 43
M. Ventosa & D. Laloux, 2003
Vatímetros trifásicos
T
T
T
T
En los casos anteriores, hay que sumar las
lecturas o multiplicarlas por constantes
Puede ocurrir que algún aparato indique al
revés y haya que cambiar su polaridad
Estos inconvenientes se evitan con vatímetros
trifásicos de dos o tres equipos vatimétricos,
pero un solo indicador
Suelen estar conectados internamente
siguiendo los métodos descritos:


2 equipos: método de Aron
3 equipos: método de los tres vatímetros
Fundamentos de Tecnología Eléctrica (2º ITIM)
T3 - 44
M. Ventosa & D. Laloux, 2003
Convertidores de potencia activa
T
Son instrumentos electrónicos de precisión:

Señal AC ➨ Señal DC ppnal. y fácilmente medible
†
†
T
Los convertidores de potencia activa monofásicos
tienen dos entradas independientes: U e I

T
Entrada: transformador + rectificador + filtro
Salida: fuente ideal de corriente (o tensión)
Presentan buena precisión y bajo consumo
Los convertidores polifásicos se componen de
dos o tres equipos monofásicos y aplican los
métodos vistos anteriormente
Fundamentos de Tecnología Eléctrica (2º ITIM)
T3 - 45
M. Ventosa & D. Laloux, 2003
Varímetro electrodinámico
monofásico
T
Se puede considerar que es un vatímetro
“trucado”:



Por la bobina voltimétrica (móvil) circula una i
proporcional a la u(t) de interés pero retrasada 90º
Con ello la desviación de la aguja es proporcional a Q:
α = K U Icos ( ϕ − 90º ) = K U Is enϕ = K Q
El desfase de 90º se consigue mediante bobinas o
condensadores
†
Las impedancias dependen de la frecuencia: sólo se consiguen
los 90º a la frecuencia de diseño
Fundamentos de Tecnología Eléctrica (2º ITIM)
T3 - 46
M. Ventosa & D. Laloux, 2003
Métodos de medida de potencia
reactiva
T
La potencia reactiva puede medirse:

Con los mismos montajes que para potencia activa,
sustituyendo los vatímetros por varímetros
†

(Salvo los que utilizan neutro artificial: Z volt. ≠ R volt. )
Midiendo la activa con vatímetros, la aparente con
voltímetros y amperímetros y deduciendo Q:
Q = S2 − P 2

Utilizando vatímetros con conexiones particulares
†
Típicamente retrasando las tensiones 90º
Fundamentos de Tecnología Eléctrica (2º ITIM)
T3 - 47
M. Ventosa & D. Laloux, 2003
Medida de energía en sistemas
trifásicos
T
Se suele medir con contadores de inducción de
dos o tres equipos:

Dos motores vatimétricos conectados según el método
de Aron para sistemas trifilares
†

Los dos motores y el freno de imán permanente actúan sobre
uno o dos discos, sumando sus efectos
Tres motores vatimétricos conectados uno a cada fase
para sistemas tetrafilares
†
Los tres motores y el freno de imán permanente se reparten
entre dos discos montados sobre un mismo eje
Fundamentos de Tecnología Eléctrica (2º ITIM)
T3 - 48
M. Ventosa & D. Laloux, 2003
Contador de inducción trifásico
Amperimétrica (R)
Amperimétrica (T)
Voltimétrica (RS)
Freno
Voltimétrica (TS)
Contador de 2 equipos
(Método de Aron)
Fundamentos de Tecnología Eléctrica (2º ITIM)
T3 - 49
M. Ventosa & D. Laloux, 2003
Comparación entre el transporte
en monofásica y en trifásica
T
Queremos transportar energía eléctrica:
 una potencia aparente S,
 a una distancia L,
 a una tensión fase-neutro U,
 utilizando un conductor de resistividad ρ,

T
que soporta una densidad de corriente máxima δ.
Realizamos un análisis muy simplificado,
pero cualitativamente significativo
Fundamentos de Tecnología Eléctrica (2º ITIM)
T3 - 50
M. Ventosa & D. Laloux, 2003
Monofásica vs. trifásica (II)
T
En monofásica:
SΙ = S 
S
 ⇒ IΙ =
UΙ = U 
U
IΙ
S
=
δ δ⋅U

Sección del conductor: A Ι =

Cantidad de material conductor (⇒ coste de inversión)
MΙ = 2 ⋅ AΙ ⋅ L =


2 ⋅S⋅ L
δ⋅U
Resistencia de 1 conductor:
RΙ = ρ ⋅
L ρ⋅L⋅δ⋅U
=
AΙ
S
Pérdidas (⇒ coste de explotación) :
2 ⋅S⋅ρ ⋅ δ ⋅ L
PΙ = 2 ⋅ R Ι ⋅ I 2I =
U
Fundamentos de Tecnología Eléctrica (2º ITIM)
T3 - 51
M. Ventosa & D. Laloux, 2003
Monofásica vs. trifásica (III)
T
En trifásica: SΙII = S



SIIΙ
S
=
 ⇒ I IIΙ =
3 ⋅ U IIΙ 3 ⋅ U
U ΙII = 3U 
I
S
Sección del conductor: A ΙII = ΙII =
δ 3⋅ δ ⋅ U
Cantidad de material conductor (⇒ coste de inversión)
M ΙII = 3 ⋅ A ΙII ⋅ L =


S ⋅ L MΙ
=
δ⋅U
2
Resistencia de 1 conductor: R ΙII = ρ ⋅
L
3⋅ρ ⋅ L ⋅ δ ⋅ U
=
A ΙII
S
Pérdidas (⇒ coste de explotación) :
S ⋅ ρ ⋅ δ ⋅ L PΙ
2
PΙII = 3 ⋅ R ΙII ⋅ I III
=
=
U
2
Fundamentos de Tecnología Eléctrica (2º ITIM)
T3 - 52
M. Ventosa & D. Laloux, 2003
Monofásica vs. trifásica (y IV)
T
Análisis de sensibilidad:

Era obvio que los costes aumentan con L y con S

Reducir ρ suele implicar un conductor más caro
†


Cobre frente a aluminio, por ejemplo
Aumentar δ depende del conductor y de su
refrigeración, que incrementa mucho el coste
Se observa que aumentar U sólo aporta beneficios
†
Por ello se realiza el transporte en alta tensión
†
Las limitaciones suelen ser de orden técnico
†
Este ejemplo no considera los costes que conlleva: mayor
aislamiento y tamaño de las torres, etc...
Fundamentos de Tecnología Eléctrica (2º ITIM)
T3 - 53
M. Ventosa & D. Laloux, 2003
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