Unidad 3 Integral de Supercie 3.3 Independencia de la Parametrización Independencia de la parametrización Denición 1. Sea f : D ⊂ R2 → R3 con S = f (D) una supercie parametrizada , y sea ϕ : D → D una función biyectiva denida en D ⊂ R2 la cual es tipo I y II a la vez, de clase c1 . Decimos que la función f ◦ g : D ⊂ R2 → R3 es una reparametrización de S Ejemplo Sea f : [a, b] × [c, d] ⊂ R2 → R3 la función dada por f (u, v) = (u, v, γ + αu + βv) que representa un plano en R3 Sea ϕ : [a0 , b0 ] × [c0 , d0 ] ⊂ R2 → R2 la función dada por ϕ(s, t) = b−a d−c 0 0 (s − a ) + a, 0 (t − c ) + c b0 − a0 d − c0 esta función manda el rectángulo [a0 , b0 ] × [c0 , d0 ] en el rectángulo [a, b] × [c, d] de manera biyectiva Facultad de Ciencias UNAM Cálculo Diferencial e Integral IV Prof. Esteban Rubén Hurtado Cruz 1 Unidad 3 Integral de Supercie 3.3 Independencia de la Parametrización La función g : f ◦ ϕ : [a0 , b0 ] × [c0 , d0 ] → R3 dada por b−a d−c 0 0 g(s, t) = (f ◦ ϕ)(s, t) = f (ϕ(s, t)) = f (s − a ) + a, 0 (t − c ) + c = b0 − a0 d − c0 b−a d−c b−a d−c 0 0 0 0 (s − a ) + a, (t − c ) + c, (s − a ) + a α + (t − c ) + c + γ b0 − a0 d 0 − c0 b0 − a 0 d0 − c0 tiene la misma imagen que f, es inyectiva de clase c1 . Se trata entonces de una función que parametriza a la supercie S, es decir S = f ([a, b] × [c, d]) = g([a0 , b0 ] × [c0 , d0 ]) Si g(s, t) = (f ◦ ϕ)(s, t) entonces g es una reparametrización de f en tal caso se tiene que ϕ(s, t) = (ϕ1 (s, t), ϕ2 (s, t)) en donde u = ϕ1 (s, t) y v = ϕ2 (s, t) ∴ se tiene que g 0 (s, t) = f 0 (ϕ(s, t)) · ϕ0 (s, t) es decir ∂g ϕ1 ∂f ϕ2 ∂f (s, t) = (s, t) · (ϕ(s, t)) + (s, t) · (ϕ(s, t)) ∂s ∂s ∂u ∂s ∂v Facultad de Ciencias UNAM Cálculo Diferencial e Integral IV Prof. Esteban Rubén Hurtado Cruz 2 Unidad 3 Integral de Supercie 3.3 Independencia de la Parametrización ∂g ϕ1 ∂f ϕ2 ∂f (s, t) = (s, t) · (ϕ(s, t)) + (s, t) · (ϕ(s, t)) ∂t ∂t ∂u ∂t ∂v ∴ ∂g ∂g ϕ1 ∂f ϕ2 ∂f ϕ1 ∂f ϕ2 ∂f (s, t)× (s, t) = (s, t)· (ϕ(s, t))+ (s, t)· (ϕ(s, t))× (s, t)· (ϕ(s, t))+ (s, t)· (ϕ(s, t)) ∂s ∂t ∂s ∂u ∂s ∂v ∂t ∂u ∂t ∂v ϕ ∂f ϕ2 ϕ1 ϕ2 ∂f 1 (s, t) · (s, t) − (s, t) · (s, t) (ϕ(s, t)) × (ϕ(s, t)) = |{z} ∂s ∂t ∂t ∂s ∂u ∂v → − → − → − − − − α→ a +β b ×γ → a +δ b =(αγ−βδ)(→ a×b) donde ∂g ∂g (s, t) × (s, t) = Ng ∂s ∂t ϕ ϕ2 ϕ1 ϕ2 (s, t) − (s, t) · (s, t) = Jg (s, t) ∂s ∂t ∂t ∂s ∂f ∂f (ϕ(s, t)) × (ϕ(s, t)) = Nf ∂u ∂v 1 (s, t) · ∴ Z Z a(s) = Ng = Jg (s, t)Nf (u, v) Z Z ∂(ϕ1 , ϕ2 ) kNf (u, v)k dudv = kN (ϕ(s, t))k f ∂(s, t) |{z} e D D (u,v)=ϕ(s,t) ∴ el área de la superfície no depende de la parametrización Ejemplo.-Vamos a calcular el área de la superfície z = x2 + y 2 sobre la región D = {(x, y) ∈ R2 |x2 + y 2 ≤ 1} Facultad de Ciencias UNAM Cálculo Diferencial e Integral IV Prof. Esteban Rubén Hurtado Cruz 3 Unidad 3 Integral de Supercie 3.3 Independencia de la Parametrización Para ello parametrizamos la superfície z = x2 + y 2 de la siguiente manera r(x, y) = (x, y, x2 + y 2 ) y por lo tanto ∂r = (1, 0, 2x) ∂x ∂r = (0, 1, 2y) ∂y bi b b j k ∂r ∂r × = 1 0 2x = (−2u, −2v, 1) ∂x ∂y 0 1 2y ∴ ∴ el área es Z Z Z Z p Z 2π Z 1 p ∂r ∂r 2 + 4y 2 + 1dudv dA = × 4x = 4r2 + 1rdrdθ |{z} 0 ∂y D ∂x 0 D P olares 1 8 = |{z} u=4r 2 +1 r=0→u=1 du=8r r=1→u=5 5 2π Z Z √ 1 0 1 ududθ = 8 2π Z 0 2 3 5 u2 0 3 1 dθ = 8 2π Z 0 2 3 π 3 5 2 − 1 dθ = 52 − 1 3 6 Ahora vamos a dar una reparametrización de D de la siguiente forma, proponemos e = {(s, t) ∈ R2 |s2 + t2 ≤ 1 } de esta manera si D 2 s2 + t2 ≤ 1 ⇒ 2s2 + 2t2 ≤ 1 ⇒ s2 + 2st + t2 + s2 − 2st + t2 ≤ 1 ⇒ (s + t)2 + (s − t)2 ≤ 1 2 ∴ podemos tomar u = s + t y v = (s − t) y por tanto nuestra reparametrización quedaría g(s, t) = (s + t, s − t, 2s2 + 2t2 ) donde ∂g = (1, 1, 4s) ∂s ∂g = (1, −1, 4t) ∂t ∂g ∂g × = ∂s ∂t ∴ bi b j 1 1 1 −1 b k 4s 4t = (4t + 4s, 4s − 4t, −2) ∴ el área es Z Z p Z Z p Z Z ∂g ∂g 2 + (4s − 4t)2 + (−2)2 dsdt = dA = (4s + 4t) 32t2 + 32s2 + 4dsdt × ∂t D D D ∂s 2π Z = 2 |{z} P olares = |{z} u=8r 2 +1 du=16r 1 →u=5 r=0→u=1 r= √ 2 2 8 Z 0 2π Z 5 √ 1 Facultad de Ciencias UNAM Cálculo Diferencial e Integral IV 1 ududθ = 4 0 1 √ 2 Z p 8r2 + 1rdrdθ 0 Z 0 2π 2 3 5 u2 0 3 1 dθ = 4 Z 0 2π 2 3 π 3 5 2 − 1 dθ = 52 − 1 3 6 Prof. Esteban Rubén Hurtado Cruz 4