Universidad de Chile Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Departamento de Ingeniería Matemática Auxiliar 2-MA26B: Matemáticas Aplicadas Profesor: Héctor Ramírez Profesor Auxiliar: Omar Larré 1. En la auxiliar anterior estudiamos una curva parametrizada en polares por: ! r ( ) = e b + he b k , 2 [0; 2 ] de la cual se podía deducir que: d! r( ) d = e b + e b + he b k Z Z ! p dr( ) s( ) = d = e 2 + h2 d = (e d 0 0 s (s) = ln p +1 2 + h2 p 1) 2 + h2 luego la parametrización natural está dada por: ! r 1 (s) = p s + 1 b( (s)) + h 2 + h2 Además, encontramos los vectores: T( ) = d! r( ) d d! r( ) d b + b + hb k = p 2 + h2 ; dT ( ) d dT ( ) d N( ) = p s +1 b k 2 + h2 b b = p 2 ; 2b k hb hb B( ) = p p 2 2 + h2 De lo cual se deduce que: : : dT (s) = = ds = dT ( ) d 1 dB N = ds ds d ds d = e b p b 2+h2 p dB N d 2+ h2 = p 2 = ( ) e (2 + h2 ) 1 = p e 2 + h2 La conclusión es que: = hb + hb p p 2 2 + h2 ! b b p 2 ! = h = ( ) e (2 + h2 ) p 2 h Ejercicio: Si la densidad de masa lineal descrita en polares tiene la forma f ( ; ; z) = z 2 ) 4 muestre que la masa de la curva es M = h(2+h (e 1) . Calcule además el centro de 2 masa. ! 2. Considere una curva R3 con la siguiente propiedad : existe un punto P 0 por el cual pasan todas las rectas normales a (note que todo arco de circunferencia satisface esta propiedad). Sea ! r (s) : [0; `( )] ! R3 una parametrización de en longitud de arco. ! (a) Justi…que la existencia de una función escalar ' : [0; `( )] ! R tal que P 0 = ! b (s) donde N b (s) denota el vector normal. r (s) + '(s)N 1 (b) Demuestre que se cumplen las siguientes igualdades 1 (s)'(s) = 0 '0(s) = 0 (s)'(s) = 0 donde (s); (s) son la curvatura y la torsión de , respectivamente. (c) Concluya que es una curva plana. (d) Demuestre …nalmente que es un arco de circunferencia. 3. Calcular rf en coordenadas cilíndricas, donde p arccos(z= x2 + y 2 + z 2 ) f (x; y; z) = x2 + y 2 + z 2 Recuerde que rf = 1 @f 1 @f 1 @f vb + u b+ w b hv @v hu @u hw @w 4. Considere las coordenadas toroidales: ! r ( ; '; r) = ((R+rsen')cos ; (R+rsen')sen ; rcos'); 2 [0; 2 ); ' 2 [0; 2 ); r 2 [0; a]: (a) Encuentre los factores escalares y describa el gradiente de una función diferenciable F : R3 ! R en estas coordenadas. (b) Calcule la integral ZZZ V 1 p dxdydz 2 x + y2 donde V representa el volumen de un toro de radio mayor R y radio menor a: 5. Muestre que si una super…cie S simple y regular se parametriza por ! r : D R2 ! R3 , ! ! ! r =! r (u; v) y tal que el sistema de coordenadas es ortogonal (i.e. @@ur ? @@vr ) entonces dA = hu hv dudv 6. Considere la super…cie del semi-toro parametrizada por: ! r ( ; ') = ((R + asen')cos ; (R + asen')sen ; acos'); 3 2 [0; 2 ); ' 2 [ ; ): 2 2 Suponga que la densidad de masa super…cial es constante e igual a de la super…cie y el centro de masa. 2 0: Calcule la masa