Veri…car el teorema de Stokes para el campo vectorial F~ (x; y; z) = y + z; xz; y 2 siendo S la super…cie de la región en el primer octante acotada por el plano 2x + z = 6 y por el plano y = 2 y que no está incluida en el plano XY , y C es la curva frontera correspondiente. Solución: El I teoremaZdeZ Stokes establece F~ d~l = r F~ n bdS C S(C) Haremos cada una de las integrales empezando por la de línea. Tramo 1: ~Rr (t) = t (1; 0; 0) ; t 2 [0; 3] (0; 0; 0) (1; 0; 0) dt = 0 C1 Tramo 2: ~Rr (t) = (3; 0; 0) + t (0; 1; 0) ; t 2 [0; R 2] 2 3 + t; 0; 3 + t (0; 1; 0) dt = 0dt = 0 C2 C2 Tramo 3: ~Rr (t) = (3; 2; 0) + t ( 1; 0; 0) ; R t 2 [0; 3] (2; 0; 4) ( 1; 0; 0) dt = 2 C3 dt = 2 (3) = 6 C3 Tramo 4: ~r (t) = (0; 2; 0) + t (0; 1; 0) ; t 2 [0; 2] R R 2 2 t; 0; (2 t) (0; 1; 0) dt = C4 0dt = 0 C4 I F~ d~l = 6 C Hagamos ahora la integral de super…cie del rotacional, Z Z r F~ n bdS S(C) Tenemos b bi b j k r y + z; xz; y = @x @y @z = (x + 2y; 1; z 1) y+z xz y 2 así que podemos hacer la integral sobre cada una de las super…cies, Super…cie 1 ~r (u; v) = (u; 0; v) u 2 [0; 3] ; v 2 [0; 6 2u] @~r @~r = (1; 0; 0) = (0; 0; 1) @u @v @~r @~r = (1; 0; 0) (0; 0; 1) = (0; 1; 0) @u @v ZZ R 3 R 6 2u r F~ n bdS = 0 du 0 dv (u; 1; v 1) (0; 1; 0) = 2 S 1 R 3 R 6 2u R3 du 0 = dv = (6 2u) du = 9 0 0 Super…cie 2 ~r (u; v) = (u; 2; v) u 2 [0; 3] ; v 2 [0; 6 2u] @~r @~r = (1; 0; 0) = (0; 0; 1) @u @v @~r @~r = (1; 0; 0) (0; 0; 1) = (0; 1; 0) @u @v Como tomaremos las normales hacía afuera, le cambiamos de signo y ZZ R 3 R 6 2u r F~ n bdS = 0 du 0 dv (u + 4; 1; v 1) (0; 1; 0) = S 2 R 3 R 6 2u R3 = 0 du 0 dv = 0 (6 2u) du = 9 Super…cie 3 ~r (u; v) = (0; u; v) u 2 [0; 2] ; v 2 [0; 6] @~r @~r = (0; 1; 0) = (0; 0; 1) @u @v 1 @~r @~r = (0; 1; 0) (0; 0; 1) = (1; 0; 0) @u @v Como tomaremos las normales hacía afuera, le cambiamos de signo y ZZ R2 R6 r F~ n bdS = 0 du 0 dv (2u; 1; v 1) ( 1; 0; 0) = S 3 R2 R6 = 2 0 udu 0 dv = 2 (2) (6) = 24 Super…cie 4 ~r (u; v) = (u; v; 6 2u) u 2 [0; 3] ; v 2 [0; 2] @~r @~r @~r @~r = (1; 0; 2) = (0; 1; 0) = (1; 0; 2) (0; 1; 0) = 2 0 1 @u @v @u @v ZZ R2 R6 R2 R6 r F~ n bdS = 0 du 0 dv (u + 2v; 1; 6 + 2u 1) (2; 0; 1) = 0 du 0 dv (4u + 4v 7) = 18 S4 Finalmente ZZ r F~ S4 n bdS = 9 9 24 + 18 = 6 Como era de esperarse se comprueba el teorema de Stokes. 2