MATE 3171 Dr. Pedro Vásquez UPRM P. Vásquez (UPRM) Conferencia 1 / 14 MATE 3171 Funciones cuadráticas y modelos De…niciónUna función polinómica de grado n se de…ne por: P ( x ) = an x n + an donde n 2 N y an , an 1, 1x n 1 + + a1 x + a0 , a1 , a0 2 R. Nota: Recuerde que ya se ha estudiado las funciones de grado 0 y 1: P (x ) = a y P (x ) = a1 x + a0 , respectivamente. De…niciónUna función cuadrática es una función polinómica de grado 2 y es de la forma: f (x ) = ax 2 + bx + c, P. Vásquez (UPRM) Conferencia a 6= 0 2 / 14 MATE 3171 Forma estándard de una función cuadrática Una función cuadrática f (x ) = ax 2 + bx + c se puede expresar en la forma estándard f (x ) = a (x h )2 + k completando cuadrados. La grá…ca de f es una parábola con vértice (h, k ) ; la parábola se abre hacia arriba si a > 0 y se abre hacia abajo si a < 0. P. Vásquez (UPRM) Conferencia 3 / 14 MATE 3171 Valores máximos y mínimos de una función cuadrática Sea f una función cuadrática en su forma estándard f (x ) = a (x h)2 + k. Los valores máximos o mínimos de f ocurren en x =h Si a > 0, entonces el valor mínimo de f es: f (h) = k. Si a < 0, entonces el valor máximo de f es: f (h) = k. P. Vásquez (UPRM) Conferencia 4 / 14 MATE 3171 Valores máximos y mínimos de una función cuadrática El valor máximo o mínimo de una función cuadrática f (x ) = ax 2 + bx + c ocurre en: b 2a Si a > 0, entonces el valor mínimo de f es: f Si a < 0, entonces el valor máximo de f es: f b . 2a b 2a Modelando con funciones cuadráticas Se discutirán algunos ejemplos de la vida real que se pueden modelar por medio de funciones cuadráticas. P. Vásquez (UPRM) Conferencia 5 / 14 MATE 3171 Ejemplos 3.1.1 La grá…ca de una función cuadrática f (x ) = dada: 1 2 2x 2x + 6, es a. Halle las coordenadas del vértice: (h, k ) = (?, ?) b. Halle el valor máximo o mínimo de f : posee un __?__ en x =? y el valor __?__ es f (h =) =? c. Halle el dominio y rango de f : dom (f ) = ___; rango (f ) = ___ P. Vásquez (UPRM) Conferencia 6 / 14 MATE 3171 3.1.2 La grá…ca de la función cuadrática f (x ) = 3x 2 + 6x 1, es dada: a. Halle las coordenadas del vértice: (h, k ) = (?, ?) b. Halle el valor máximo o mínimo de f : posee un __?__ en x =? y el valor __?__ es f (h =) =? c. Halle el dominio y rango de f : dom (f ) = ___; rango (f ) = ___ P. Vásquez (UPRM) Conferencia 7 / 14 MATE 3171 3.1.3 Una función cuadrática f (x ) = x 2 + 2x + 2, es dada: a. Exprese la función cuadrática en su forma estándard Completando cuadrados: 2 2 + 2 = (x + 1)2 + 1 b. Halle las coordenadas del vértice: (h, k ) = ( 1, 1) y sus interceptos con los ejes Eje X: y = 0 ) x 2 + 2x + 2 = 0 no tiene solución real Eje Y: x = 0 ) y = f (0) = 02 + 2 (0) + 2 = 2 f (x ) = x 2 + 2x + 2 = x 2 + 2x + P. Vásquez (UPRM) Conferencia 2 2 2 2 8 / 14 MATE 3171 c. Trace la grá…ca de f y 4 3 2 1 (-1,1) x −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 d. Halle los valores máximos o mínimos: tiene un mínimo en h = valor mínimo es: f (h) = f ( 1) = 1 = k P. Vásquez (UPRM) Conferencia 1 y su 9 / 14 MATE 3171 3.1.4 Una función cuadrática f (x ) = es dada: 5 + 6x 2x 2 = 2 x2 3x 5, a. Exprese la función cuadrática en su forma estándard 5= Completando cuadrados: f (x ) = 2 x 2 3x 2 x2 3x + 3 2 2 3 2 2 5= 2 x 3 2 2 5+ 9 2 b. Halle las coordenadas del vértice: (h, k ) = 32 , 12 y sus interceptos con los ejes Eje X: y = 0 ) 5 + 6x 2x 2 = 0 no tiene solución real Eje Y: x = 0 ) y = f (0) = 5 + 6 (0) 2 (0)2 = 5 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 10 / 14 MATE 3171 c. Trace la grá…ca de f y x −4 −3 −2 −1 1 (3/2,-1/2) 2 3 4 5 −1 −2 −3 −4 −5 −6 d. Halle los valores máximos o mínimos: tiene un máximo en h = valor máximo es: f (h) = f P. Vásquez (UPRM) 3 2 = Conferencia 1 2 3 2 y su =k 11 / 14 MATE 3171 3.1.5 Halle los valores máximos o mínimos de la función f (x ) = 10x 2 + 70x 90. b = 2 (70 Como a = 10 > 0, la función posee un mínimo en 2a = 10 ) y su valor mínimo es: 2 b f 90 = 212.5 2a = f ( 3.5) = 10 ( 3.5) + 70 ( 3.5) 3.5 3.1.6 Halle los valores máximos o mínimos de la función f (x ) = 3x 2 + 12x + 100. Como a = 3 < 0, la función posee un máximo en su valor máximo es: b 3 (2)2 + 12 (2) + 100 = 112 f 2a = f (2) = P. Vásquez (UPRM) Conferencia b 2a = 12 2( 3) =2 y 12 / 14 MATE 3171 3.1.7 Halle todos los valores máximos y mínimos locales de la función cuya grá…ca se muestra: Tiene máximos en x = 2, x = 1 y sus valores máximos son: 3 y 2, respectivamente. Tiene mínimos en x = 1, x = 2 y sus valores mínimos son: 0 y -1, respectivamente. P. Vásquez (UPRM) Conferencia 13 / 14 MATE 3171 3.1.9 Un vendendor de bebidas en una playa analiza su registro de ventas y encuentra que si vende x latas de la bebida de soda en un día, su ganancia en dólares es dada por: P (x ) = 0.001x 2 + 3x 1800 Determine la ganancia máxima diaria y la cantidad de latas que debe vender. Como a = 0.001 < 0, P (x ) posee un máximo y se alcanza cuando vende 3 b = 1500 latas 2a = 2 ( 0.001 ) y la máxima ganancia es b 0.001 (1500)2 + 3 (1500) 1800 = $450 por día. f 2a = f (1500) = P. Vásquez (UPRM) Conferencia 14 / 14