MATE 3171 Dr. Pedro Vásquez UPRM P. Vásquez (UPRM) Conferencia 1/8 MATE 3171 Números complejos Surgen como necesidad para resolver ecuaciones cuadráticas de la forma x 2 + a2 = 0 las cuales no tiene solución en los números reales. Por ejemplo: considere la ecuación cuadrática: p x2 + 9 = 0 ) x = 9 como se sabe es imposible que un número real elevado al cuadrado sea negativo. Para resolver ecuaciones como las anteriores se de…ne un nuevo número: p i= 1 , i2 = 1 De…nición Un número complejo es una expresión de la forma a + bi donde: a y b son números reales e i 2 = 1. La parte real del número complejo es a y la parte imaginaria es b. P. Vásquez (UPRM) Conferencia 2/8 MATE 3171 Nota: Dos números complejos son iguales si sus partes reales e imaginarias son iguales. Ejemplos 5.1 Dado 4 5.2 Dado 3i : 4 es la parte real y 3 es la parte imaginaria. p p 3 + 2i : 3 es la parte real y 2 es la parte imaginaria. Nota: Si la parte real de un número complejo es cero, se dice que es un número imaginario puro. 5.3 7i es un número imaginario puro. p 5.4 3 5 es un número real cuya parte imaginaria es cero. p 5.5 Indique la parte real e imaginaria de 2 + 5 Parte real: Parte imaginaria: P. Vásquez (UPRM) Conferencia 3/8 MATE 3171 Operaciones de números complejos Adici ón (a + bi ) + (c + di ) = (a + c ) + (b + d ) i Substracci ón (a + bi ) (c + di ) = (a c ) + (b d ) i Multiplicaci ón (a + bi ) (c + di ) = (a c bd ) + (ad + bc ) i Conjugado El conjugado de un número complejo z = a + bi por z = a se de…ne bi. Para dividir números complejo se multiplica y divide el denominador por el conjugado del denominador. a + bi a + bi c di (ac + bd ) + (bc ad ) i Divisi ón = = c + di c + di c di c2 + d2 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 4/8 MATE 3171 5.6 Evalúe (3 + 4i ) + ( 4 + 6i ) = (3 4) + (4 + 6) i = 1 + 10i p p 5.7 Evalúe ( 2 + 3i ) 2 + 7i = ( 2 ( 2)) + 3 7 i= p 3 7 i 5.8 Evalúe (6 5i ) (4 + 3i ) = 6 (4 + 3i ) 5i (4 + 3i ) = 24 + 18i 20i 15i 2 = 24 2i 15 ( 1) = 39 2i 2 + 4i 3 + 2i 2 (3 + 2i ) + 4i (3 + 2i ) 2 + 4i = = 5.9 Evalúe 3 2i 3 2i 3 + 2i 32 + 22 2 6 4i + 12i + 8i 14 + 8i 14 8 = = = + i 13 13 13 13 11 5.10 Evalúe i 23 = i 22 +1 = i 22 i = i 2 i = ( 1)11 i = i 5.11 Evalúe i 104 = i 2 P. Vásquez (UPRM) 57 = ( 1)57 = Conferencia 1 5/8 MATE 3171 5.12 Evalúe 38 4 + p 38 4 = 19 p 3i 1 = 3i =2 4 38 p 4 + 3i p 3i =8 4 4 p p 38 3i 4 3i p = p 2 3i 42 + 3 p 2 3i Raíces cuadradas de números negativos Si r es un número negativo, entonces la raíz cuadrada principal de r es: p p p p r= r 1 = ri p p Las dos raíces cuadradas de r son r i y r i. 5.13 Evalúe p p p p p p p 3 15 = 3i 15i = 3 15i 2 = 32 5 = 3 5 p p p Note que: 3 15 6= (p 3) ( 15) p p p 1 + 2i 1 + 2i 1+ 2 1 + 2i p p = p p 5.14 Evalúe = 1 2 1 2i 1 2i 1 + 2i p p 2 p p 2i ( 1)2 2 2i + 1 2 2i 1 2 2 = = = i p 2 3 3 P. Vásquez (UPRM) 2 Conferencia 3 6/8 MATE 3171 Solución de ecuaciones cuadráticas con raíces complejas Considere la ecuación cuadrática ax 2 + bx + c = 0, con a.b.c 2 R, y si su discriminante b 2 4ac < 0, las soluciones son complejas y conjugadas. 5.15. Resolver 2x 2 3x + 3 = 0 Se halla: b 2 4ac = ( 3)2 4 (2) (3) = 15 < 0 Aplicando lapfórmula cuadrática: p p 3 b b 2 4ac 15 15i ( 3) = = = x= 2a 2 2 4 p 8 > < x = 3 + 15i 4p > 15i : x=3 4 Note que las raíces son complejas y conjugadas. P. Vásquez (UPRM) Conferencia 7/8 MATE 3171 5.16. Resolver z + 4 + 12 z = 0, z 6 = 0 Multiplicando por z, se tiene: z 2 + 4z + 12 = 0 Se halla: b 2 4ac = 42 4 (1) (12) = 32 < 0 Aplicando lapfórmula cuadrática:p p 4 4 4 2i b b 2 4ac 32 = = = x= 2a p 2 1 2 x = 2 + 2p2i x = 2 2 2i Note que las raíces son complejas y conjugadas. P. Vásquez (UPRM) Conferencia 8/8