Veure demo - textos online

POLINOMIS i FRACCIONS ALGEBRAIQUES
1. Polinomis: introducció.
1.1 Definició de polinomi.
1.2 Termes d’un polinomi.
1.3 Grau d’un polinomi.
1.4 Polinomi reduït.
1.5 Polinomi ordenat.
1.6 Polinomi complet.
1.7 Polinomi oposat.
1.8 Valor numèric d’un polinomi.
2. Operacions amb polinomis.
2.1. Suma i resta.
2.2. Producte.
2.2.1. Producte d’un monomi per un polinomi.
2.2.2. Producte de polinomis.
2.2.3. Productes notables.
2.3. Factor comú.
2.4. Divisió.
3. Regla de Ruffini.
3.1. Divisió de polinomis utilitzant la regla de Ruffini.
3.2. Arrels d’un polinomi.
3.3. Factorització de polinomis.
3.4. Teorema del residu.
4. MCD i MCM de polinomis.
5. Fraccions algebraiques.
5.1. Definició de fracció algebraica. Conceptes bàsics .
5.2. Valor numèric d’una fracció algebraica.
5.3. Suma i resta de fraccions algebraiques.
5.4. Producte de fraccions algebraiques.
5.5. Divisió de fraccions algebraiques.
5.6. Simplificació de fraccions algebraiques.
1
1.- POLINOMIS: INTRODUCCIÓ.
1.1.- Definició de polinomi.
Els polinomis són expressions algebraiques formades per sumes i restes de
monomis NO semblants.
Cadascun d’aquests monomis no semblants està format per un nombre, que
s’anomena coeficient, i per una o més lletres, cadascuna de les quals amb el
corresponent exponent; les lletres i els seus exponents reben el nom de part
literal; tot i que habitualment ens referim a les diferents lletres que apareixen
en el polinomi amb el nom de variables.
Exemples:
P(x) = 3x3 + 2x2 – 8x + 1

Q(x) = 2x2y3 + 5x2y – 11xy 
ACTIVITATS PROPOSADES:
1.- Expressa com un polinomi:
a) 3x + x2 – 2x – x2 + 3
d) 2 – x + x3 – 5x + x3 –5x2 + 3x2 + 5
b) x – x2 + x + 1 – 3x + 5x2 – 7
e) 2·(x – 3 + x2) – (6x – 5 – 3x2) + 3
c) –6x2 + 3x – 4x + x2 – 1
f) 5x + 3·(2x2 – 3x) – (x2 + 3 – 2x)
1.2.- Termes d’un polinomis.
Anomenem termes d’un polinomi a cadascun dels monomis no semblants
que formen un polinomi.
Els termes de grau zero d’un polinomi s’anomenen termes independents.
2
Exemples:
P(x) = 3x3 + 2x2 – 8x + 1

polinomi
Q(x) = 3x3 + 2x2 – 8x3 + 1  expressió algebraica que no és un polinomi,
perquè es poden operar alguns monomis (3x3 i – 8x3).
Els polinomis que tenen dos termes reben el nom de binomis, els que tenen
tres termes trinomis, i a la resta se’ls anomena amb el nom genèric de
polinomis.
ACTIVITATS PROPOSADES:
1.- Escriu per separat els termes de cada polinomi, escrivint també quin és el
coeficient i la part literal de cada polinomi:
a) x – x5 – 3x2 + 21
b) –2ab3 – 4a2b + 5ab2
c)
2 2 1 3
8
x  x  3x 
5
3
5
d) yx3 – 7x2y5 + 11y3x – 5xy
1.3.- Grau d’un polinomi.
El grau d’un polinomi és el grau del monomi de grau més gran, és a dir,
l’exponent més gran (si hi ha una sola variable) o la suma més gran
d’exponents (si hi ha més d’una variable) dels termes que formen aquell
polinomi.
Exemples:
P(x) = 3x3 + 2x2 – 8x + 1
Q(x) = 2x2y3 + 5x2y – 11xy
El grau del polinomi P(x) és 3, i el de Q(x) és 5.
3
ACTIVITATS PROPOSADES:
1.- Determina el grau dels polinomis següents:
a) A(x) = 6 – 7x + 8x3 – 3x5
b) B(x) = 4x3 + 5x2 + 11x – 2 – x2
c) C(x) = –3y2x4 – 7xy5 + 11y3x6
d) D(x) = 9 – 4x – xy + 8y
1.4.- Polinomi reduït.
Anomenem polinomi reduït a aquell que no té monomis semblants.
De fet, és el mateix parlar de polinomi que de polinomi reduït, ja que en cas
que tinguem un “polinomi” format per termes semblants (que es poden operar
entre ells), caldria parlar pròpiament d’una expressió algebraica i no pas d’un
polinomi.
Exemples:
P(x) = 3x3 + 2x2 – 8x + 1

polinomi
Q(x) = 3x3 + 2x2 – 8x3 + 1  expressió algebraica que no és un polinomi,
perquè es poden operar alguns monomis (3x3 i – 8x3).
ACTIVITATS PROPOSADES:
1.- Expressa com un polinomi:
a) 5x + 2x2 – x –3 x2 + 4x
d) – x + x3 –x + x3 –x2 + x2 + 1
b) 5 – 3x2 + 2x – 3x + x2 – 6
e) 3·(2x – 4 + 3x2) – (4x – 8 – x2) + 2
c) –3x2 + 5x – 7x + 2x2 – 3
f) –6 + 2·(5x2 – 3x) – (3x2 + 2 – 5x)
4
1.5.- Polinomi ordenat.
Un polinomi ordenat és un polinomi que té els seus termes escrits seguint un
ordre segons el grau de les seves variables.
Existeixen dos tipus d’ordenació: creixent i decreixent. Un polinomi ordenat de
forma creixent és aquell que comença pel grau més baix i acaba pel grau més alt.
En canvi, un polinomi ordenat de forma decreixent és aquell que comença pel
grau més alt i acaba pel grau més baix.
La forma més habitual en què trobem els polinomis és seguint una ordenació
decreixent.
A banda dels polinomis ordenats, ja siguin de forma creixent o bé decreixent,
també existeixen els polinomis desordenats, que són aquells en què l’ordre dels
termes no té relació amb l’exponent de la variable.
Exemples:
CREIXENT

DECREIXENT 
p(x) = 3 + x – 2x2 + 5x3
q(x) = 4x3 – 2x + 1
ACTIVITATS PROPOSADES:
1.- Escriu com un polinomi ordenat, de forma creixent:
a) 3x + x2 – 5x4 + 4 – 7x3
c) – x + x3 + x9 + 18 – x6 + x2
b) –5 – 3x2 + 2x3 – 5x4
d) –6x2 + 2x7 – x4 + x3 + 13 – x6
2.- Escriu com un polinomi ordenat, de forma decreixent:
a) 3x + x2 – 5x4 + 4 – 7x3
c) – x + x3 + x9 + 18 – x6 + x2
b) –5 – 3x2 + 2x3 – 5x4
d) –6x2 + 2x7 – x4 + x3 + 13 – x6
1.6.- Polinomi complet.
Un polinomi complet és aquell polinomi que té tots els termes, des del de grau
zero fins al de grau més gran.
Si un polinomi no és complet, llavors s’anomena polinomi incomplet.
5
Exemples:
COMPLET
 M(x) = 2x4 – 3x3 + 6x2 – 8x – 7
INCOMPLET  N(x) = 4x3 – 2x + 1  no té tots els termes.
ACTIVITATS PROPOSADES:
1.- Digues quin d’aquests és un polinomi complet:
a) 3x + x2 – 5x4 + 4 – 7x3
c) – x + x3 + x4 + 18 – x5 + x2
b) –5 – 3x2 + 2x3 – 5x4
d) –6x2 + 2x7 – x4 + x3 + 13 – x6
1.7.- Polinomi oposat.
Donat un polinomi P(x), un polinomi oposat a P(x) és un altre polinomi Q(x)
tal que es compleix que P(x) + Q(x) = 0. És a dir, que els coeficients de P(x) i
Q(x) són els mateixos, però canviats de signe.
Exemple:
P(x) = 2x3 – 3x2 + 1
Q(x) = –2x3 + 3x2 – 1
P(x) + Q(x) = 0
El polinomi 0 es coneix amb el nom de polinomi nul.
ACTIVITATS PROPOSADES:
1.- Escriu el polinomi oposat a cadascun d’aquests polinomis:
a) A(x) = 6 – 7x + 8x3 – 3x5
b) B(x) = 4x3 + 5x2 + 11x – 2 – x2
c) C(x) = –3y2x4 – 7xy5 + 11y3x6
d) D(x) = 9 – 4x – xy + 8y
6
1.8.- Valor numèric d’un polinomi.
El valor numèric d’un polinomi és el valor que s’obté quan es substitueix la
variable del polinomi pel seu valor.
Exemple: p(x) = 3x3 + 2x2 – 8x + 1  calcula el valor numèric del
polinomi p(x) quan x = 2
p(x) = 3x3 + 2x2 – 8x + 1
 p(2) = 3(2)3 + 2(2)2 – 8(2) + 1
p(2) = 24 + 8 – 16 + 1  p(2) = 17
El valor numèric del polinomi p(x) quan x = 2 és 17, és a dir, direm que
p(2) val 17.
ACTIVITATS PROPOSADES:
1.- Calcula el valor numèric d’aquests polinomis:
a) x4 – x3 + x2 – x + 1
quan x = 0, quan x = 4 i quan x = –4
b) 4x2 + x + 1
quan x = 0, quan x = 3 i quan x = –3
3
2
c) 2x – x + 3
quan x = 0, quan x = 2 i quan x = –2
d) x4 + 3x3 – 4x2 – 5x + 2
quan x = 0, quan x = 1 i quan x = –1
2.- Quin valor ha de tenir “k” perquè el valor numèric, quan x = 2 , del polinomi
x4 – 2x2 + 5x + k sigui 6?
7
2.- OPERACIONS AMB POLINOMIS.
2.1.- Suma i resta de polinomis.
Per sumar (o restar) polinomis cal sumar (o restar) els termes que tenen el
mateix grau.
Exemple:
P(x) = x3 + 4x2 – 3x + 8 ;
Q(x) = 2x3 – x2 – 6x – 5
x 3  4x 2  3x  8
P(x) + Q(x) 
 2x 3  x 2  6 x  5
3x 3  3x 2  9x  3
P(x) – Q(x) 

x 3  4x 2  3x  8
 2x 3  x 2  6 x  5


x 3  4x 2  3x  8
 2x 3  x 2  6 x  5
 x 3  5 x 2  3 x  13
ACTIVITATS PROPOSADES:
1.- Donats els polinomis:
P(x) = –2x4 – 6x3 + 5x2 – 7x + 3
Q(x) = 3x4 – 5x3 – 9x + 4
R(x) = 5x4 + 2x3 – 3x2 + 8x – 11
Calcula:
a) P(x) + Q(x) =
e) R(x) + P(x) – Q(x) =
b) Q(x) – R(x) =
f) Q(x) – P(x)=
c) P(x) – Q(x) =
g) R(x) – P(x) + Q(x)=
d) P(x) + R(x) =
h) Q(x) – P(x) – R(x) =
8
2.2.- PRODUCTE DE POLINOMIS.
2.2.1.- Producte d’un monomi per un polinomi.
Es multiplica cada terme del polinomi pel monomi.
5x2 . (3x2 – 5x + 8) = 15x4 – 25x3 + 40x2
Exemple:
ACTIVITATS PROPOSADES:
1.- Calcula aquests productes de monomis per polinomis:
a) (4x3 + 6x2 – 6x + 8). (–7x) =
c) (2x3 + 4x2 + 3x – 5). (–9x4) =
b) (–5x3). (7x4 + x3 –8x + 12) =
d) (x5 – 4x3 – 5 x3 – 8x). (–6x2) =
2.2.2.- Producte de polinomis.
Es multipliquen tots els termes d’un polinomi per tots els termes de l’altre
polinomi, i llavors es redueixen els termes semblants.
Exemple:
P(x) = 2x2 – 3x + 8
Q(x) = 3x2 + x
2x

 3 x  x 
2
 3x  8
2
P(x) . Q(x)

2x 3  3 x 2  8 x
6 x 4  9 x 3  24x 2
6 x 4  7 x 3  21x 2  8 x
9
ACTIVITATS PROPOSADES:
1.- Calcula els productes de polinomis següents:
a) (7 + 2x – x2) . (5 – 3x) =
c) (6 + 5x – 3). (2x2 + 4x – 7) =
b) (2x2 + x – 3) . (–5x2 – 4x + 8) =
d) (2x2 – 5x – 6). (3x3 – 6x + 9) =
2.- Donats els polinomis:
P(x) = –2x4 + 5x3 – 3x2 – x + 7
R(x) = –8x4 – 5x3 + 3x2 – 6x + 12
Q(x) = 5x5 – 7x3 – 10x – 2
S(x) = x5 – x4 – 10x2 – 2
Calcula:
a) 5· P(x)
c) 4·P(x) – 5·R(x)
b) –3·R(x)
d) 2·P(x) – 3·Q(x) + 5·R(x) – 4·S(x)
2.2.3.- Productes notables.
Cal recordar que alguns productes entre polinomis, concretament entre
binomis, corresponen a les fórmules de les igualtats o productes notables.
Recordem les fórmules corresponents a grau dos:
- Quadrat de la suma:
(a + b)2 = a2 + 2 . a . b + b2
- Quadrat de la diferència:
(a – b)2 = a2 – 2 . a . b + b2
- Suma per diferència:
(a + b) . (a – b) = a2 – b2
Existeixen els productes notables de grau 3, grau 4, etc. Aquests es
calculen utilitzant la fórmula del binomi de Newton.
10
ACTIVITATS PROPOSADES:
1.- Desenvolupa els productes notables següents:
a) (x + 5)2 =
e) (x + 11) . (x – 11) =
b) (x – 4) 2 =
f) (6x5 – 2) . (6x5 + 2) =
c) (4x – 7)2 =
 7x 5
  7x 5

 0'8   
 0'8  
g) 
 9
  9

2
2

2x 2 
 =
h)  17 
3 

4 2
d) (5x + 8y ) =
2.- Expressa en forma de producte de binomis:
a) x2 + 22x + 121 =
e) 169 x2 – 81x8 =
b) x2 – 12x + 36 =
f) 36y6z10 – 144x4=
c) 16a6 + 40a3·b+ 25b2 =
g) 16y 4  y 
d) 9y2 – 42y + 49
h)
1
=
16
25x 12
 0'81=
64
2.3.- Factor comú.
Consisteix a treure un factor que està repetit en una sèrie de sumands, i posar-lo
davant (o darrera) d’aquests multiplicant.
Exemples:
• 21 + 14 + 35 = 3 . 7 + 7 . 2 + 5 . 7 = 7 . (3 + 2 + 5)
• 3x3 + 5x2 + 8x = x . (3x2 + 5x + 8)
• 5x – 15x3 = 5x . (1 – 3x2)
ACTIVITATS PROPOSADES:
1.- Treu factor comú:
a) 105x8 – 30x6 + 45x3 =
b) 81y7 – 48y3 + 30y2 – 24y =
c) 112a3b4 + 64a4b3 + 80a5b4 – 192a4b5 =
11
2.4.- Divisió de polinomis.
Per poder dividir polinomis s’ha de donar una condició: que el grau del polinomi
dividend sigui més gran o igual que el grau del polinomi divisor.
Llavors es divideix el terme de major grau del dividend pel de major grau del
divisor; el resultat d’aquesta divisió es multiplica pel divisor, i el producte obtingut
es suma, canviat de signe, amb el dividend.
I així successivament es va procedint, fins que el grau del polinomi dividend sigui
més petit que el grau del polinomi divisor.
Exemple:
3x 2  5x  3
 3x 2  3x
 2x  3
x -1
3x - 2
 2x  2
1
Igual que en la divisió de nombres, a la divisió de polinomis es pot fer la prova,
que consisteix a multiplicar el quocient pel divisor i, després sumar-li el residu. El
resultat d’aquest producte ha de coincidir amb el dividend:
P (x)
x–a
r(x)
q(x)

Així:
P(x) = q(x) . (x – a) + r(x)
P(x)
r(x)
 q(x) 

xa
xa
 Veiem que en els polinomis passa el mateix que en les
divisions entre nombres reals, ja que en les fraccions també
podem escriure:
d
b
 a bc  a 
c
c
12
PROVA (de l’exemple):
3x  2
 x  1
 3x  2
 3 x 2  2x
3x 2  5x  2
1
3x 2  5x  3
ACTIVITATS PROPOSADES:
1.- Fes les divisions de polinomis següents:
a) (45x3 – 25x + 10) : (9x + 6) =
c) (4x3 – 2x2 – x + 4) : (x – 6) =
b) (22x3 – 10x + 8) : (6x + 4) =
d) (x3 – 3x2 – 6x + 1) : (3x + 2) =
2.- Realitza aquestes divisions de polinomis. Fes també la prova:
a) (4x2 + 4x – 9) : (x – 1/3) =
c) (5x3+ 6x4 + 1 – 8x2) : (3x + 1) =
b) (2x3 – 5x + 7) : (x + 24) =
d) (5x2 – 7x + 3 – 2x3 + 3x5) : (6x2 + 2) =
3.- Determina el valor de “k” perquè en dividir
p(x) = 3x3 + 4x2 + kx + 12
per
(x + 3) doni un residu igual al terme independent.
4.- Troba “m” perquè en dividir P(x) = –2x3 – 3x2 + 5x – m
sigui 6.
13
per (x – 2) el residu
3.- REGLA DE RUFFINI.
3.1.- Factor comú.
Divisió de polinomis utilitzant la regla de Ruffini.
La regla de Ruffini és un procediment més ràpid per dividir un polinomi P(x) entre
un binomi del tipus (x – a), on “a” és un nombre real.
S’utilitzen els coeficients del polinomi (si falta algun terme cal col·locar-hi un zero).
Llavors es divideix usant el terme independent del binomi, com s’aprecia en
l’exemple:
(3x2 – 5x + 3) : (x – 1) =
Si el binomi és (x – 1) a l’hora de dividir utilitzarem el valor canviat
de signe, és a dir, x = 1.
1
3
–5
3
↓
3
–2
3
–2
1
Quocient : q(x) = 3x – 2 (es disminueix un grau) ; Residu: r(x) = 1
En aquest cas, òbviament, també es pot fer la prova de la divisió, i per tant es
compleix que P(x) = q(x) . (x – a) + r(x)
ACTIVITATS PROPOSADES:
1.- Fes les divisions de polinomis següents, utilitzant el mètode de Ruffini:
a) (2x3 – 3x2 – 5x + 2) : (x + 1) =
c) (5x3 + x2 – 4) : (x – 3)
b) (x3 – 5x2 + x – 6) : (x + 2) =
d) (–2x3 + 2x2 – 9) : (x – 1) =
2.- Calcula “m” perquè en dividir
p(x) = 2x4 – mx2 + 4mx + 4 per (x – 1)
s’obtingui un residu igual al terme independent del polinomi p(x).
3.- Troba “m” perquè en dividir P(x) = 2x3 + 3x2 – 8x + m
sigui 11.
14
per (x + 4) el residu
3.2.- Arrels d’un polinomi.
Les arrels d’un polinomi, també anomenades ZEROS o SOLUCIONS, són aquells
valors de la variable “x” que fan que el valor numèric del polinomi sigui zero, és a
dir, que el residu de la divisió doni zero.
La manera habitual de buscar les arrels d’un polinomi és a través del mètode de
Ruffini, tot i que és un procediment que només serveix per buscar arrels que
siguin nombres enters. En general, els nombres candidats a ser arrels del
polinomi són els divisors del terme independent del polinomi, amb signe positiu o
negatiu.
Un polinomi pot tenir, com a màxim, tantes arrels com el grau que té.
troba totes les arrels del polinomi p(x) = x2 – 5x + 6
Exemple:

 buscarem, utilitzant el mètode de Ruffini, possibles arrels:
2
3
1
–5
6
↓
2
–6
1
–3
0
↓
3
1
0
Els valors x=2 i x=3 són arrels de p(x). És a dir, que p(2) = 0 i p(3)= 0.
ACTIVITATS PROPOSADES:
1.- Busca les arrels (o zeros o solucions) de:
a) 3x2 + 24x +3
c) 8x2 – 32x + 32
b) 6x2 – 4x +2
d) 9x6 – 49x4
2.- Busca les arrels del polinomi P(x) = 2x4 + 2x3 – 82x2 – 210x
3.- Determina “k” de manera que el polinomi Q(x) = x3 – kx2 + 2x – 6 tingui per
arrel el valor x = –3.
4.- Calcula “k” per tal que el polinomi
4x3 – 2x2 + kx + 10 tingui x = 2
15
com
una de les seves arrels.
16
3.3.- Factorització de polinomis.
Factoritzar un polinomi vol dir expressar-lo com un producte de factors. Els factors
són nombres o polinomis del grau més petit possible.
En primer lloc, cal trobar les arrels del polinomi que permeten obtenir els factors.
Si una arrel és x = a, el factor corresponent és (x – a).
Exemple: factoritza el polinomi p(x) = x2 – 5x + 6  com que les seves
arrels són x=2 i x=3 , generarà els factors (x – 2) i (x – 3). Per tant, el polinomi
p(x) factoritzat s’escriu així:
p(x) = (x – 2).(x – 3)
Exemple: factoritza el polinomi q(x) = 3x2 – 15x + 18  si les seves arrels
són x=2 i x=3 , generarà els factors (x – 2) i (x – 3). Cal tenir en compte (és
molt fàcil oblidar-se’n) de posar el 3, que és el coeficient de la x2, com a factor
multiplicant els altres factors. Per tant, el polinomi p(x) factoritzat s’escriu així:
q(x) = 3.(x – 2).(x – 3)
Hi ha diversos procediments per factoritzar polinomis:
 Treure factor comú.
 Utilitzar les fórmules dels productes notables.
 Utilitzar una calculadora que resolgui equacions (si es tracta d’un polinomi
de segon grau, es pot aplicar la fórmula de les equacions de segon grau).
 Utilitzar el mètode de Ruffini.
ACTIVITATS PROPOSADES:
1.- Factoritza aquests polinomis:
a) 3x 4  7x 3  8x 2  28x  16 
c) 4x 3  20x 2  33x  18 
b) 2x 3  11x 2  17x  6 
d) 8x2  32x  32 
2.- Factoritza el polinomi P(x) = 2x4 + 2x3 – 82x2 – 210x
3.- Troba “m” en el polinomi p(x) = –5x3 – 3x2 – mx + 9
factoritzar-lo, un dels seus factors sigui (x + 1).
per tal que, en
4.- Quines són les arrels enteres del polinomi P(x) = x4 – 1 ? Raona la resposta.
Té alguna arrel entera el polinomi P(x) = x4 + 1 ? Per què?
17
3.4.- Teorema del residu.
El residu de dividir un polinomi p(x) per (x – a) es correspon amb el valor
numèric del polinomi p(x) quan x = a.
Exemple:
p(x) = 3x2 – 5x + 3  p(x) : (x – 1)  és la divisió que hem fet com a
exemple de la divisió de polinomis, que després també hem resolt aplicant
el mètode de Ruffini; el residu, fent servir qualsevol dels dos mètodes, dóna
1. Ara anem a veure si el valor numèric del polinomi p(x) quan x = 1
també dóna 1:
p(x) = 3x2 – 5x + 3
p(1) = 3.(1)2 – 5.(1) + 3
p(1) = 3 – 5 + 3 = 1
p(1) = 1  dóna el mateix que el residu, tal com s’esperava.
El teorema del residu es compleix sempre: no té excepcions.
ACTIVITATS PROPOSADES:
1.- Comprova que es compleix el teorema del residu en els polinomis següents:
a) x4 – 4x3 + 5x2 – 2x – 5
b) 5x2 – 4x – 7
c) –2x3 + 3x2 –x + 17
quan x = 2.
quan x = 1/3.
quan x = –3
2.- Comprova que es compleix el teorema del residu en el polinomi –x4 –x3 – 3x2
– 3x + 8 quan x = 2 i també quan x = –2.
3.- Troba “m” en el polinomi p(x) = –2x3 – 4x2 + 2mx + 12 per tal que el seu valor
numèric quan x = –3 sigui 0. Comprova que es compleix el teorema del residu.
18
4.- MCD i MCM de POLINOMIS.
El càlcul del MCD (Màxim Comú Divisor) i el MCM (Mínim Comú Múltiple) de
polinomis segueix els mateixos criteris que en el cas dels nombres enters, si bé
aquí els factors no són nombres, sinó polinomis.
El MCD d’uns polinomis és el divisor comú a tots ells més gran que existeix, i es
calcula com el producte dels factors comuns amb l’exponent més petit. Si no hi ha
cap factor comú el MCD és la unitat (MCD = 1).
El MCM d’uns polinomis és el múltiple comú a tots ells més petit que existeix, i es
calcula com el producte dels factors comuns i no comuns amb l’exponent més
gran.
Exemple:
Calcula el MCD i el MCM de p(x)= x2 – 5x + 6 i q(x)= x3 – 3x2 + 4.
Primer cal factoritzar els polinomis, i llavors calcular el MCD i el MCM:
p(x) = 2x2 – 10x + 12 = 2.(x – 2).(x – 3)
MCD = x – 2
q (x) = x3 – 3x2 + 4 = (x – 2)2.(x + 1)
MCM = 2.(x – 2)2.(x – 3).(x + 1)
ACTIVITATS PROPOSADES:
1.- Troba el MCD i el MCM de:
a)
p(x) = x2 + 4x + 4
q(x) = x3 + 3x2 – 4
r (x) = x3 + 2x2 – 4x – 8
b)
p(x) = x3 – 5x2 + 12x – 8
q(x) = x3 – 4x2 +5x – 2
r (x) = x3 – 4x
c)
p(x) = x3 – 2x2 –13x – 10 q(x) = x3 – 3x2 + 4
d)
p(x) = x2 – 8x + 16
q(x) = x3 – 13x – 12
r(x) = x2 – 16
e)
p(x) = 81x4 – x8
q(x) = 6x2 + 2x3
r(x) = 9x2 + 6x3 + x4
19
5.- FRACCIONS ALGEBRAIQUES.
5.1.- Definició de fracció algebraica. Conceptes bàsics.
Una fracció algebraica o algèbrica és el quocient indicat entre dos polinomis:
P( x )
Q( x )
Exemples:
x 3  11x  7
2x 2  10x  12
1
x3
Anomenem fraccions equivalents a dues fraccions algebraiques que multiplicant
en creu els seus termes donen el mateix resultat. També podem saber si dues
fraccions algebraiques són equivalents si a partir d’una de les dues s’obté l’altra
per simplificació, o bé si en simplificar-les ambdues donen la mateixa fracció.
Les operacions bàsiques amb les fraccions algebraiques (la suma, la resta, la
multiplicació i la divisió) segueixen les mateixes normes que les operacions amb
fraccions numèriques (si bé cal tenir en compte que numerador i denominador no
són nombres enters, sinó polinomis). La jerarquia d’operacions també continua
essent la mateixa:
1) Si hi ha parèntesis, cal resoldre’ls primerament.
2) Potències i arrels.
3) Multiplicacions i divisions.
4) Sumes i restes.
Pel que fa a la suma i a la resta, cal recordar que s’haurà de reduir les fraccions
que es volen sumar i/o restar a comú denominador, i per tant caldrà calcular
prèviament el MCM dels denominadors.
Moltes vegades caldrà simplificar fraccions algebraiques, i per fer-ho s’haurà de
factoritzar els polinomis; de manera que utilitzarem el mètode de Ruffini, el factor
comú i les fórmules de les igualtats notables.
Exemple:
p( x )
( x  2).( x  3)
x 2  5x  6
1
 2


q( x ) 2x  10x  12 2.( x  2).( x  3) 2
20
ACTIVITATS PROPOSADES:
1.- Comprova si són equivalents les parelles de fraccions algebraiques
següents:
a)
2x 3  2x 4 x  4
i
2x  6
x2  x3
c)
x 2  10x  25
3x  9
i
3
2
2x  20x  50x  x 2  3 x
b)
6x  15
3x  12
i
2
2
2x  x  15 3x  3x  36
d)
6
4x  8
i
 x  1 x  2  x2
5.2.- Valor numèric d’una fracció algebraica.
Per tal de calcular el valor numèric d’una fracció algebraica primerament cal
simplificar-la al màxim (aconseguir que sigui una fracció algebraica
irreductible).
El valor numèric d’una fracció algebraica irreductible és el valor que s’obté
quan es substitueix la variable per un valor donat i es realitzen les
corresponents operacions aritmètiques.
x2  4
Exemple: calcula el valor numèric de
quan x = 2.
x2
Primerament cal simplificar:
x2  4
=
x2
x  2  x  2
x2
= x+2 
 si x = 2  (2) + 2 = 4  El valor numèric val 4.
ACTIVITATS PROPOSADES:
1.- Determina el valor numèric d’aquestes fraccions algebraiques quan: x = 1,
x = 2, x = 3, x = – 1, x = – 2 i x = – 3.
2x  2x  5
 x 3  4x
2
a)
1
2
b)
 3 x  2x 2
x
21
c)
 x 2  3x  7
 3x 2  4x  11
5.3.- Suma i resta de fraccions algebraiques.
Es procedeix com en les sumes i restes amb fraccions numèriques: primer cal
reduir a comú denominador, llavors calcular els nous numeradors i per últim
operar els numeradors. Finalment cal veure si la fracció algebraica resultant es
pot simplificar.
És recomanable factoritzar els polinomis dels denominadors abans de calcular el
MCM a l’hora de reduir a comú denominador.
Exemple:
3x  1
x3
2x  5
=
 2

x
x  2x x  2
=
3x  1  x  2  x  3  2x  5  x =
3x  1
x3
2x  5
=


x
x  x  2 x  2
x  x  2
x  x  2 x  x  2
=
3 x 2  7 x  2  x  3  2x 2  5 x
x  x  2
=
5x 2  3x  1

x  x  2
 el numerador no es pot factoritzar
ACTIVITATS PROPOSADES:
1.- Efectua les operacions i simplifica el resultat, si és possible:
a)
2x  1 x  5
2  6x

 2

x3 x2 x x6
b)
2x
2x  3 x  1
 2


x2 x 4 x2
c)
3x  1
2x  3
x5
 2
 2

x  x  2 x  x  6 x  4x  3
2
22
2.- Opera i simplifica al màxim:
a)
x 1
x2
3
 2
 2

x  x  2 x  2x  1 x  4 x  4
c)
3
x
4

 2

x 1 x 1 x 1
b)
x 1
3
3x  4
x2


 2

2
x  2 x  2 ( x  2)
x 4
d)
x2
3
x2  1



x2  x  2 x  2 x  1
2
3.- Opera i simplifica al màxim:
a)
x2
x 1
x2  3



( x 2  4).( x  1) ( x  2).( x  1) 2 ( x  2).( x  1)
4 x  1 x 2  1

b)  4 


x 1 
5x

c)
x3
5
x3



x  2x  3 x  2 x  1
2
5.4.- Producte de fraccions algebraiques
Es procedeix com en el producte de fraccions numèriques: es multipliquen els
numeradors entre ells i els denominadors entre ells:
P( x ) R( x ) P( x )  R( x )


Q( x ) S( x ) Q( x )  S( x )
És recomanable factoritzar numeradors i denominadors abans de multiplicar,
ja que a vegades es pot simplificar, de manera que així l’operació esdevé més
fàcil.
Exemple:
4x
x 2  4x x 2  8x  16


=
x  4 8x 3  32x
x4
4x
x  x  4 x  4


x  4 8x  x 2  4
x4
2
=


=
23
x  4
x  x  4
4x


x  4 8x  x  4  x  4 x  4
2
=
4x 2  x  4  x  4
2
=
8x  x  4  x  4
2
2
=
x
2  x  4
x
2x  8
↔
ACTIVITATS PROPOSADES:
1.- Opera i simplifica al màxim:
 2x 2  x
 x2
 2  

a)  2
x x2
 x 1
b)
x 2  16
3x 2
 3

21x
x  6x 2  8x
c)
x 3  1 x 2  3x  2


x2  x  1
x2 1
2.- Opera i simplifica al màxim:
a)
x 2  2x  1 2x 2  8


x2
3x  3
 3x 2  x  2
  x2  x 

 
 4   
b) 1 
2
x

2
x

1

 

3
 x  2   x 1 
 
c)  2
   2
 x  x  2   x  x  1
3.- Opera i simplifica al màxim:
 3x  x  1   x  x 
 
 3    2
a) 
2
 x 1
  x  8x  16 


 2

 9 x  81   4 x  32x  64 
 

c)  2
2
 4 x  36   x  14x  49 


 4

 x2


 32  
2
   9 x  78x  169  
b)  4 2
 9 x  49    4 x 2  48x  144 




d)
2
3
2
 5x
 



5  
2

9
x

30
x

25
 3


 9x 2
  x2

 64  
 4 x  16 

 4
  2

24
25
5.5.- Divisió de fraccions algebraiques.
Es fa com en el quocient de fraccions numèriques (multiplicant en creu):
P( x ) R( x ) P( x )  S( x )


Q( x ) S( x ) Q( x )  R( x )
És recomanable factoritzar numeradors i denominadors abans de dividir, ja
que a vegades es pot simplificar, de manera que així l’operació esdevé més
fàcil.
Exemple:
x 1
x 3  2x 2  x

=
x 2  2x  1
x2 1
=
=
x 1
x  1
2
x  x  1
=
x  1  x  1
2

x  12  x  1
2
2
x  x  1  x  1
=
x  1  x  1  x  1
2
2
x  x  1  x  1
1
x  x  1
↔
=
1
x x
2
ACTIVITATS PROPOSADES:
1.- Efectua les operacions i simplifica el resultat, si és possible:
a)

x  2  3x2  x  2
 
 3  
2
2
x  x  x 1

3 
x 1

c)  x 

 2
x  2 x  4

b)
x3  1
x2  x  2


x2
x2  x  1
x   2x
x 2  1
 2x





d) 

2
x  1  1  x 2
x 3 
1 x
2.- Opera i simplifica al màxim:
x 2  4 x 2  7x  10


c) 2
x  9 x 2  8x  15
x3  x
5x  5
 2

a) 3
2
x  8x  16x 2x  2
26
x 2  25 x 2  10x  25
b) 2


x  64 x 2  16x  64
x2  6x  9
x3
d) 2
 2

x  8x  16 x  16
5.6.- Simplificació de fraccions algebraiques.
Una fracció algebraica es pot simplificar quan el numerador i el denominador
es poden dividir per un mateix polinomi de grau més gran o igual que u.
Si es vol trobar la fracció algebraica irreductible cal dividir el numerador i el
denominador d’una determinada fracció algebraica pel seu MCD.
Per tal de simplificar fraccions algebraiques primerament és molt recomanable
factoritzar els polinomis; de manera que utilitzarem el mètode de Ruffini, el
factor comú i les fórmules de les igualtats notables.
Exemple:
p( x )
x 3  4x 2  4x
x  ( x  2)2
 3


q( x ) 3x  15x 2  18x 3  x.( x  2).( x  3)
=
x2
x2
↔
3x  9
3  x  3 
ACTIVITATS PROPOSADES:
1.- Simplifica les fraccions algebraiques següents:
a)
x4  x3  x2  x  2

x 4  x 3  2x  4
b)
x 4  2x 3  3 x 2

x 4  2x3  2x 2  10x  15
c)
x 4  8x 2  16

x 4  7x3  16x 2  12x
27
28
2.- Opera i simplifica tant com puguis:
2
2
x  y
x  y
a 
 
 
 2 
 2 
x  y   x  y  
xy
b)

x  y   x  y  x  y . x  y 
2
c)
d)
x  2xy  y
2
2

3x  1

9x 2  1
l)
2y  x

10xy  5x 2
2
a4  b4
ab
 2

2 2
a b
a  b2
x2  y2
k)
xy

xy
m)
a 2  b 2  2ab

a2  b2
n)
x2  1

x 2  2x  1
o)
x4  y4

3x3 y  3xy 3
e)
25x 2  25y 2
yx
 2

5.( x  y )
x  y 2  2xy
f)
2x  cb 2xb  cb 2


ab  b 2
a  b2
p)
x  y 2  x  y 2
2
xy x  y 
g)
4a
1


a 1 a 1
q)
2ax  3bx

4a x  12abx  9b 2 x
r)
x 3  27x 2  x  27

x4 1
s)
xy  4y  3x  12

xy  4y  x  4
t)
x 2 y  xy 2

x2  y2
2
x  y

  1
x y

h)
xy

1  
x  y
i)
j)
x 3  xy 2
x2  y2

3  2x
x2  x
 2

x3 x x6
29

2
COL·LECCIÓ DE PROBLEMES
1.- Escriu aquestes expressions algebraiques en forma de polinomi reduït:
a) 5x + 2x2 – 3x – 5x2 + 8
c) 3 – 2x + 4x3 – x + 3x3 –x2 + 2x2 + 9
b) 3x – 2x2 + x + 18 – 5x + 5x2 – 11
d) 5·(2x – 4 + 2x2) – (x – 5 – x2) + 2
2.- Escriu aquestes expressions algebraiques en forma de polinomi ordenat,
primer en forma creixent i després en forma decreixent:
a) 9x3 – 2x + 2x2 – 1
c) –5x6 – 5x + 5x2 + 5x3 + 5
b) x – x3 + 5x2 – 3 – x4
d) x – 6 + x3 + 5x5 – x4
3.- Són complets els polinomis de l’exercici anterior?
4.- Digues de quin grau són els polinomis següents:
a) x – x5 – 3x2 + 21
b) –2ab3 – 4a2b + 5ab2
c)
2 2 1 3
8
x  x  3x 
5
3
5
d) yx3 – 7x2y5 + 11y3x – 5xy
5.- Calcula el valor numèric d’aquests polinomis:
a) –2x3 + 3x2 –5x
3
quan x = 0, quan x = 1 i quan x = –1
b) –x + x – 7
quan x = 0, quan x = 2 i quan x = –2
c) –2x3 + x2 + 3x – 2
quan x = 0, quan x = 3 i quan x = –3
6.- Quin valor ha de tenir “m” perquè el valor numèric, quan x = –1 , del polinomi
x4 – 2mx3 + x2 – 4mx + 9 sigui –7?
7.- Donats els polinomis:
P(x) = –7x4 + 6x2 + 6x + 5 ;
calcula:
Q(x) = –2x2 + 2 + 3x5
i
R(x) = x3 –x5 + 3x2,
a) P(x) + Q(x)
d) P(x) – Q(x) – R(x)
b) P(x) – Q(x)
e) R(x) + P(x) – Q(x)
c) P(x) + Q(x) + R(x)
f) P(x) – R(x) + Q(x)
30
8.- Realitza les operacions següents:
a) (8x2 – 2x + 1) – (3x2 + 5x – 8) =
b) (2x3 – 3x2 + 5x – 1) – (x2 + 1 – 3x) =
c) (7x4 – 5x5 + 4x2 –7) + (x3 – 3x2 – 5 + x) – (–3x4 + 5 – 8x + 2x3) =
7
2
1
 1 2
  2

d)  x 4  x 3  31x 2  12  x     x 2  2x 3  3 x     x   x 2  
6
3
4
 6 3
  3

e) (–5z + 2y) – (2z – 5y – 7x –1) + (–3z – 4y – 9x) – (–4y + 8x – 5) =
f) (xy2 –3x2 – y2 + x2y) – (x2y + 5x2) + (3xy2 – y2 – 5x2) =
9.- Donats els polinomis:
P(x) = –2x4 + 5x3 – 3x2 – x + 7
Q(x) = 5x5 – 7x3 – 10x – 2
R(x) = –8x4 – 5x3 + 3x2 – 6x + 12
S(x) = x5 – x4 – 10x2 – 2
Calcula:
a) P(x) + Q(x) =
b) P(x) + Q(x) =
c) P(x) – Q(x) + R(x) – S(x) =
10.- Donats els polinomis:
P(x) = –5x6 + 12x4 – x2 – 3x + 8
Q(x) = x6 – 7x4 – 10x2 – 2x
R(x) = –4x4 – 3x3 + 38x2 – 6x – 15
S(x) = –9x5 – 2x4 – 12x3 + 3x – 2
1
2
1
T ( x )   x 5  x 4  x 3  3x  2
2
3
6
3
2
1 3 1
2
U( x )   x 5  x 4 
x  x
4
5
20
5
5
Calcula:
a) P(x) + R(x) – S(x) =
b) P(x) – 2·Q(x) + 3·R(x) – S(x) =
c) P(x) – Q(x) + 3·T(x) – U(x) =
d) P(x) – 2·Q(x) + 3·R(x) – 4·S(x) + 5·T(x) – 6·U(x) =
e)
1
2
 P ( x )   R( x )  T ( x ) 
2
3
f) T ( x )  U ( x ) 
2
 R( x ) 
3
g) 2·P(x) – 3·Q(x) + 6·T(x) – 20·U(x) =
31
11.- Fes les multiplicacions de polinomis següents:
a) (x3 + 5x2 – x – 7) ·(2x + 1) =
c) (x4 + 4x3 – 6x2 – 6) ·(–4x3 + 3) =
b) (x4 – 7x3 + x – 3) ·(5x2 – 5) =
d) (–5x3 + x – 1) ·(5x2 – 2x – 1) =
12.- Donats els polinomis:
P(x) = 5x4 + x2 – 1
Q(x) = 5x2 – 2x – 1
R(x) = x – 1 ,
Calcula:
a) P(x)·Q(x) + R(x) =
b) P(x)·[Q(x) + R(x)] =
c) Q(x)·P(x) – R(x) =
13.- Desenvolupa els productes notables següents:
a) (2x + 3)2 =
e) (x + 13) . (x – 13) =
b) (3x – 5) 2 =
f) (3x2 – 5) . (3x2 + 5) =
c) (–x – 4)2 =
 3x 3
  3x 3


 0'12   
 0'12  
g) 
 5
  5

d) (–2x3 + 3y5) 2 =

5x 4
h)  23 
4

2

 =

14.- Expressa en forma de producte de binomis:
x2 + 8x + 16 =
25x2 – 20x + 4 =
16x2 – 25 =
49x2 + 14x + 1 =
4x2 – 8x + 4 =
16 – 100x2=
36x2 – 48x + 16 =
4x2 – 1 =
16x4 – 40x3 + 25x2=
49x2 – 8x + 16 =
16 – 4x + x2 =
25x6 – 20x3 + 4 =
121x2 – 144 =
64x2 – 56x + 49 =
16x10 + 8x5 – 25 =
9x2 + 42x + 49 =
25x2y2 – 4 =
x4 – 10x3 + 25x2=
15.- Calcula m perquè P(x) = x3 + mx2 – 6x + 8
32
sigui múltiple de (x + 2).
16.- Calcula k perquè Q(x) = x3 – 5x2 + kx – 12 sigui múltiple de (x + 2).
17.- En una divisió exacta, el dividend és x5 – 1, i el quocient
Calcula’n el divisor.
x4 + x3 + x2 + 1.
18.- Determina quin és el residu sense efectuar la divisió. Justifica la resposta:
(x9 + 1) : (x + 1) =
19.-Sabent que la divisió (x3 – ax2 + ax – 6) : (x + 1) és exacta, calcula el valor del
paràmetre “a”.
20.- Troba un polinomi tal que en multiplicar-lo per x2 – 2
doni
x6 – 3x4 + 2x2.
21.- Sense fer cap divisió, però justificant les respostes, esbrina si:
a) P(x) = –3x3 + 4x2 – 5x + 10 és múltiple de Q(x) = x – 2.
b) el binomi (x + 1) és divisor del polinomi
R(x) = x4 + 5x2 – 3x + 1.
22.- Troba el quocient i el residu de les divisions que segueixen, i fes la prova:
a) (4x4 – 5x3 + x2 + 6x – 1) : (x2 + 3x – 2) =
b) (2x3 + 3x2 – 4x + 1) : (x2 – 2x + 3) =
23.- Troba, utilitzant la regla de Ruffini, el quocient i el residu de les divisions
següents:
a)
b)
c)
d)
(x5 – 3x4 + 9x2 – 8x + 12) : (x – 3) =
(x3 + x2 – 9x – 44) : (x – 4) =
(x4 – 16) : (x + 2) =
(x5 + x2 + 2) : (x + 1) =
24.- Troba el valor de “K” perquè en dividir el polinomi
entre (x – 1), doni –7 de residu.
x4 – 2Kx3 + x2 – 4Kx + 9
25.- Troba totes les arrels dels polinomis següents:
a) A(x) = 3x – 6
b) B(x) = x2 – 4
c) C(x) = 2x2 + 8x – 42
d) B(x) = x3 – 1
26.- Factoritza el polinomi següent i expressa les seves arrels:
A(x) = 3x4 – 27x3 + 39x2 + 27x – 42
27.- Descompon en factors el polinomi P(x) = x4 – 4x3 + 7x2 – 12x + 12
28.- Escriu un polinomi que tingui com a arrels x = –3 i x = 7.
33
29.- Troba “m” per tal que x = 3 sigui una arrel del polinomi P(x) = x3– 3mx + 6
30.- Resol les equacions següents mitjançant la seva factorització:
a) x3 – 3x2 – 6x + 8 = 0
b) x4 – 10x3 + 35x2 – 50x + 24 = 0
31.- Quines són les arrels enteres del polinomi
P(x) = x4 – 16 ? Raona la
resposta. Té alguna arrel entera el polinomi P(x) = x4 + 16 ? Per què?
32.- Comprova si són equivalents les parelles de fraccions algebraiques següents:
6 x 2  18x
x 4  10x 3  25x 2
10x  30
 3x  3x 2
a)
i
b)
i
8 x 4  8 x 2 12x 2  12x
 x 4  3x 2
x  52
33.- Determina el valor numèric d’aquestes fraccions algebraiques quan: x = 2,
, x = 3, x = – 1 i x = – 2.
a)

3   x  2x  5
 2x  x 3
2
1

 x  
3

b) 
 5 x  2x 3

34.- Calcula i simplifica tant com et sigui possible:
a) 3x 
x

x 1
b)
x2  3
 5x 2 
2
x 1
c)
2  x 3  2x


x2
x2
d)
2
6
4

 2

1 x 1 x x  1
e)
2x  6
x5
 2

2
x  3x x  4x  3
34
35.- Opera i simplifica el resultat si és possible:
a)
1  x 2 3x


x2  x x 1
e)
x
x 3  2x 2
:

3x  3
x2  1
b)
x2
x3
 2

2
x  6x  9 x  4
f)
2x 2  8 4x 2  16x  16
:

3x
x2
g)
6x
3x 2  3x
:

5x  5 10  10x 2
c)
3x 2  12x  12
15x
 2

5x  10
7x  28
x 2  6x  8 3x  6
:

h)
x 1
x2  1
4x 2  16
x 2  x  12


d)
x4
2x 2  12x  18
36.- Simplifica les fraccions algèbriques següents:
a)
x 2  7 x  10

2x 2  50
c)
b)
x 3  5x  4

x 3  3x 2  3x  1
d)
35
x 3  3x 2  4

x 3  2x 2  5 x  6
x 3  2x 2  3 x

2x 2  2x