Lección 4. Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

4 Algunos métodos de resolución de ecuaciones diferenciales
ordinarias de primer orden II
4.1. Ecuaciones lineales
La e.d.o. de primer orden lineal es
a1 (x)
dy
+ a0 (x)y = g(x).
dx
Si g(x) = 0: ecuación lineal homogénea.
Si g(x) 6= 0: ecuación lineal no homogénea.
Forma estándar de una e.d.o. de primer orden lineal
dy
+ P (x)y = f (x).
dx
Resolución de la ecuación lineal de primer orden
Escribir la ecuación lineal de forma estándar.
Identicar P (x) y determinar el factor integrante e
R
P (x)dx
.
Multiplicar la forma estándar por el factor integrante.
Al nal resulta
R
d h R P (x)dx i
e
y = e P (x)dx f (x).
dx
Se integran ambos lados de la ecuación.
Ejemplo: Integrar la ecuación lineal
Factor integrante
dy
− 3y = 6.
dx
e
R
(−3)dx
= e−3x .
Multiplicando por el factor integrante
e−3x
dy
− 3e−3x y = 6e−3x →
dx
d £ −3x ¤
e
y = 6e−3x .
dx
Integrando ambos lados de la ecuación se obtiene
e−3x y = −2e−3x + C →
y = −2 + Ce3x ,
−∞ < x < ∞.
Algunas e.d.o. se transforman en otras con resolución más fácil si antes se transforman por un cambio
de variable o sustitución:
1
4.2. Ecuaciones homogéneas
4.2.1. Funciones homogéneas
Se dice que la función f (x, y) es homogénea de grado n si
f (tx, ty) = tn f (x, y).
Ejemplos:
f (x, y) =
x
+ 4 es homogénea de grado 0, pues:
2y
tx
+ 4 = f (x, y).
2ty
f (tx, ty) =
√
f (x, y) = x − 3 xy + 5y es homogénea de grado 1, pues:
√
√
f (tx, ty) = tx − 3 txty + 5ty = t(x − 3 xy + 5y) = tf (x, y).
f (x, y) = x2 + y 2 + 1 no es homogénea, pues:
2
2
f (tx, ty) = (tx) + (ty) + 1 6= f (x, y).
4.2.2. Ecuaciones homogéneas
Una e.d.o. de primer orden de la forma
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0
se dice que es una ecuación homogénea si las funciones N (x, y) y M (x, y) son homogéneas del mismo
grado.
4.2.3. Resolución de ecuaciones homogéneas
Haciendo la sustitución
y = u(x) x
(o también x = v(y) y ), la ecuación homogénea se transforma en una ecuación de variables separables en
las variables u y x.
Ejemplo:
(x2 + y 2 ) dx + (x2 − xy) dy = 0.
M (x, y) = x2 + y 2 y N (x, y) = x2 − xy : homogéneas de grado dos.
Sustitución
y = ux →
Entonces
dy
du
=
x+u
dx
dx
→ dy = u dx + x du.
(x2 + u2 x2 ) dx + (x2 − ux2 )(udx + xdu) = 0.
x2 (1 + u)dx + x3 (1 − u)du = 0.
µ
−1 +
2
1+u
¶
du +
dx
= 0.
x
2
Integrando:
−u + 2 ln |1 + u| + ln |x| = ln |c|.
Deshaciendo la sustitución u = y/x:
−
¯
y
y ¯¯
¯
+ 2 ln ¯1 + ¯ + ln |x| = ln |c|.
x
x
Por las propiedades de los logaritmos:
2
ln
Queda
y
(x + y)
= .
xc
x
2
(x + y) = cxey/x .
4.3. Ecuación de Bernouilli
La ecuación de Bernouilli tiene la forma
y 0 + P (x)y = f (x)y n .
4.3.1. Resolución de la ecuación de Bernouilli
Si n = 0 ó n = 1, la ecuación es lineal.
Si n > 1, se resuelve mediante la sustitución z = y 1−n .
Ejemplo: Resolver la ecuación de Bernouilli
y0 +
n=2
z0 = −
1
y = xy 2 .
x
→ z = y 1−2 = y −1
1 0
y
y2
Sustituyendo en la ecuación
−
→y=
→ y 0 = −y 2 z 0 = −
1
.
z
z0
.
z2
z0
11
1
+
= x 2.
z2
xz
z
Queda una ecuación lineal:
z0 −
1
z = −x.
x
3
Ejercicios del capítulo
1. Determina la solución general de las e.d.o. de primer orden lineales:
(a) y 0 + 2y = 0;
(b) 3y 0 + 12y = 4;
(d) ydx = (yey − 2x)dy; (e)
(c) y 0 + 2xy = x3 ;
dP
+ 2tP = P + 4t − 2.
dt
2. Resuelve la ecuación lineal y 0 + ay = be−dx ,
a, b, c, d 6= 0, a 6= d, constantes.
3. Resuelve los problemas de valores iniciales:
(a)
dT
= k(T − Tm ), T (0) = T0
dt
(b) y 0 + (tan x)y = cos2 x, y(0) = 1 .
k, T, T0 son constantes.
4. Resuelve las e.d.o. de primer orden homogéneas siguientes, comprobando previamente que lo son:
(a) (x + y) dx + x dy = 0;
(b) y dx = 2(x + y) dy;
(c) (y 2 + yx) dx + x2 dy = 0;
(d)
dy
x + 3y
=
·
dx
3x + y
5. Resuelve el problema de valor inicial:
(x2 + 2y 2 )
dx
= xy,
dy
y(−1) = 1.
6. Resuelve las ecuaciones de Bernouilli dadas, empleando una sustitución adecuada:
(a) x
dy
− (1 + x)y = xy 2 ;
dx
(b) 3(1 + t2 )
dy
= 2ty(y 3 − 1).
dt
Ejercicios de resolución e.d.o. de primer orden en general:
1. Resuelve las siguientes e.d.o. de primer orden utilizando para ello el método que creas más conveniente:
(a) (ex + e−x )
(d) xy 2
dy
= y2 ;
dx
(b) (x2 − 1)
dy
2
+ 2y = (x + 1) .
dx
dy
= y 3 − x3 ;
dx
(e) ydx + x(ln x − ln y − 1)dy = 0;
dy
+ y 1/2 = 1;
dx
(h) (x + 2)
(g) y 1/2
2 dy
dx
(c) (x3 + y 3 )dx + 3xy 2 dy = 0;
(f )
dy
2
= (x + y + 1) ;
dx
= 5 − 8y − 4xy.
2. Sea la ecuación y 0 = A(x)y 2 + B(x)y + C(x), (ecuación de Riccatti). Considera en la ecuación
A(x) = 1 − x, B(x) = 2x − 1 y C(x) = −x:
1
Demuestra que el cambio de variable y = 1 + , (v = v(x)), transforma la ecuación en una
v
lineal.
Calcula una familia uniparamétrica de soluciones de la ecuación.
¾Cuál es la solución que pasa por el punto (0, 1/2)?.
4
dv
3. Resuelve la ecuación ordinaria de primer orden
= −av sujeta a la condición inicial v(0) = v0
dt
por los siguientes métodos:
a ) separando variables e integrando;
b ) tratando la ecuación como exacta;
c ) tratando la ecuación como lineal;
Solución: v(t) = v0 e−at .
¡
¢
¡
¢
4. Sea la ecuación diferencial y + xf (x2 + y 2 ) dx + yf (x2 + y 2 ) − x dy = 0, f es una función real,
de variable real f = f (z), z = x2 + y 2 .
a ) Demuestra que µ(x, y) =
x2
1
es un factor integrante para una ecuación de esta forma.
+ y2
b ) Resuelve la ecuación (y + x3 + xy 2 ) dx + (yx2 + y 3 − x) dy = 0. (Pista: busca antes en la
ecuación una función f que dependa sólo de x2 + y 2 para aplicar el apartado anterior).
c ) ¾Cuál de todas las de la familia obtenida es la solución que pasa por el punto (0, 1)?.
5