Examen Parcial de Autómatas y Lenguajes Formales 12 de

Examen Parcial de Autómatas y Lenguajes Formales
12 de diciembre de 2003
Resolver los siguientes problemas. Tiempo 2 horas.
1. Dar una gramática y demostrar que es correcta para
L = {am bn | 2m < n < 3m}.
2. Dar un autómata de pila determinista y demostrar que es correcto para el
lenguaje formado por las palabras de a+ b+ a+ b+ con el mismo número de aes
que de bes. (Basta con definir L(q, γ) para todas las posibles configuraciones
y demostrar una de ellas que no sea la más simple).
Examen de Autómatas y Lenguajes Formales
14 de febrero de 2003
Resolver 4 de los siguientes problemas. Tiempo 3 horas.
1. Sean M1 y M2 dos AFD con funciones de transición δ1 y δ2 , respectivamente.
Demostrar que si δ es la función de transición definida sobre el producto de
estados:
δ((p, q), a) = (δ1 (p, a), δ2 (q, a))
entonces para toda palabra w
δ̃((p, q), w) = (δ̃1 (p, w), δ̃2 (q, w)).
2. ¿Es el lenguaje
{wαw t | w, α ∈ {a, b}+ }
regular? (Nota: ejercicio más apropiado para el plan viejo)
3. Describir el lenguaje generado por la gramática
S → aSb | aaSb | λ
en términos de una relación entre el número de a’es y b’es y demostrar la
respuesta.
4. Sea
L = {ai bj ck | i = j + k, j ≥ 1, k ≥ 1}.
Dar un autómata de pila para L#, describir los lenguajes asociados a las
configuraciones y demostrar uno de ellos.
5. Sea L semidecidible. ¿Es
L0 = {w n | n ≥ 0 ∧ w ∈ L}
semidecidible? Demostrar la respuesta.
Examen d’autòmats i llenguatges formals
Primera part. 17 de febrer de 2005
Resoleu els problemes. Temps 2 hores.
1. Donau un autòmat finit per el conjunt de les paraules sobre {a, b} tals que tot
abb apareix immediatament després de bba, i demostrau-ne la correcció.
2. Suposem que recL(x) és un programa determinista que fa L un llenguatge
semidecidible. Escriviu en detall un programa que reconegui
L0 = {w | w ∈ L2 ∨ w ∈ L3 }.
Examen d’autòmats i llenguatges formals
Segona part. 17 de febrer de 2005
Resoleu els problemes. Temps 2 hores.
3. Sigui G = (V, Σ, S, P ) una gramàtica tal que totes les produccions són de la
forma A → αB, amb α ∈ Σ∗ i B ∈ V . Per a cada variable X es defineix el
llenguatge
∗
LX = {w ∈ Σ∗ | S ⇒ wX}.
Sigui ara A una variable de G tal que les úniques produccions a la part dreta
de les quals apareix són
B → α1 A, C → α2 A, D → α3 A.
Demostrau aleshores que
L A = L B α1 + L C α2 + L D α3 .
(ajuda: són dues direccions, no és per inducció, i només cal fer servir les
definicions donades).
4. Donau un autòmat amb pila determinista per a
L = {a2i bj ck | 2i = j + k}.
Per a cada bucle, escriviu la seva invariant. Verifiqueu la primera instrucció
del primer bucle, introduint una postcondició correcta.
Examen Parcial de Autómatas y Lenguajes Formales
5 de noviembre de 2002
Resolver los siguientes problemas. Tiempo 2 horas.
1. Completar la siguiente frase y demostrarla: el siguiente autómata reconoce las
palabras en {a, b} tales que toda subpalabra de longitud cuatro ...
b
b
b
a
a
A
b
D
a
b
a
a
B
b
F
b
E
a
C
b
b
a, b
G
2. Considerar la ecuación de lenguajes X = X c 1 en el alfabeto Σ = {0, 1}.
Demostrar que tiene solución única (ayuda: suponer que hay dos soluciones
X e Y , y demostrar que son iguales por inducción).
Examen Parcial de Autómatas y Lenguajes Formales
8 de noviembre de 2005
Resolver los siguientes problemas. Tiempo 2 horas.
1. Dar un autómata de estados finitos para el lenguaje de las palabras tales que
el número de 1s menos el número de 0s es múltiplo de 4 y verificar que es
correcto.
2. Sea Σ = {[, ], 1}. Demostrar que
L = {[n 1]n | n ≥ 0}
no es regular.
3
Examen de Autómatas y Lenguajes Formales
Primera parte. 3 de septiembre de 2004
Resolver los problemas. Tiempo 2 horas.
1. Completar la frase y demostrarla: el autómata siguiente reconoce las palabras
tales que el número de 1s ....
0
1
1
0
0
0
1
2
1
2. Dar una gramática para el lenguaje de las palabras tales que su número de
aes es igual a uno más que el número de bes. Demostrar que es correcta.
Examen de Autómatas y Lenguajes Formales
Segunda parte. 3 de septiembre de 2004
Resolver 2 de los siguientes problemas. Tiempo 2 horas.
1. Dar un autómata determinista de pila correcto para el lenguaje de las palabras
cuyo número de aes es el doble que el número de bes. Describir los significados
de las configuraciones y demostrar uno de ellos por inducción.
4
2. Dar una máquina de Turing que reconozca las palabras generadas por la siguiente gramática (ayuda: puede ser indeterminista):
S →A|B
A → AaB | a
B → BbA | b.
3. ¿Es el lenguaje
L = {< M > | existe w tal que M no se para con w}
decidible? Escribir una MT o demostrar que no lo es.
Examen de Autómatas y Lenguajes Formales
16 de septiembre de 2005
Resolver los problemas. Tiempo 4 horas.
1. Encontrar un autómata de estados finitos que reconozca el lenguaje formado
por las palabras que contienen un número par de 010, incluyendo posibles
superposiciones de 0s. Por ejemplo, 11101010110, 01001000 y 0 pertencen al
lenguaje pero 011010000 no.
2. Sea L semidecidible. Dar un programa que reconozca a L0 :
L0 = {w n ∈ Σ∗ | w ∈ L, n ≥ 0}.
3. Dar una gramática y demostrar que es correcta para
L = {ai bj | 1 < i < 2j}.
4. Dar un autómata de pila determinista y demostrar que es correcto para
L = {ai bj | 1 < i < 2j}.
(Puede trabajar con L#, definir L(q, γ) para todas las posibles configuraciones
y demostrar una de ellas que no sea de las más simples).
Examen Parcial de Autómatas y Lenguajes Formales
10 de diciembre de 2004
Resolver los siguientes problemas. Tiempo 2 horas.
1. Dar una gramática y demostrar que es correcta para
L = {a2i bj ck | 3i = j + k}.
2. Dar un autómata de pila determinista y demostrar que es correcto para
L = {a2i bj ck | 3i = j + k}.
(Puede trabajar con L#, definir L(q, γ) para todas las posibles configuraciones
y demostrar una de ellas que no sea de las más simples).
Examen de Autómatas y Lenguajes Formales
13 de febrero de 2004
Resolver 4 de los siguientes problemas. Tiempo 3 horas.
1. Sea el alfabeto {a, b}. Dos aes son sucesivas en una palabra si entre ellas
no hay otras aes. Completar la frase y demostrarla: el autómata siguiente
reconoce las palabras tales que cualesquiera dos aes sucesivas ....
a,b
b
0
a
1
a
4
a,b
b
b
2
a
3
2. Demostrar que la gramática definida por las producciones
S → aSbS | bSaS | λ
genera el lenguaje de las palabras que contienen igual número de aes y bes.
3. Dar un autómata determinista de pila correcto para el lenguaje de las expresiones aritméticas correctas en el alfabeto {0, 1, +, ∗}.
4. Demostrar que si L y Lc son semidecidibles entonces L es decidible.
5. ¿Es el lenguaje
L = {< M > | existe w tal que M se para con w}
semidecidible? Escribir una MT o demostrar que no lo es.
6
Examen de Autómatas y Lenguajes Formales
Primera parte. 15 de junio de 2005
Resolver los problemas. Tiempo 2 horas.
1. Completar la frase siguiente y demostrarla: el autómata siguiente reconoce las
palabras sobre {a, b} tales que las subpalabras de longitud cuatro ...
a
a
A
b
D
a
b
a
a
B
b
C
F
b
E
a
b
b
a, b
G
2. Demostrar que si L = {ww t | w ∈ Σ∗ }, entonces prefix(L) es incontextual
(prefix(L) = {x ∈ Σ∗ | existe y ∈ Σ∗ tal que xy ∈ L}).
Examen de Autómatas y Lenguajes Formales
Segunda parte. 15 de junio de 2005
Resolver los siguientes problemas. Tiempo 2 horas.
3. Dar un autómata determinista de pila para
L = {w ∈ a+ b+ a+ b+ | |w|a = |w|b − 1}.
Describir los significados de las configuraciones y demostrar uno de ellos (no
el más sencillo) por inducción.
4. Demostrar que si L y L0 son semidecidibles entonces L ∪ L0 es semidecidible.
Examen Parcial de Autómatas y Lenguajes Formales
4 de noviembre de 2003
Resolver los siguientes problemas. Tiempo 2 horas.
7
1. Se define la siguiente operación sobre palabras, con σ ∈ Σ y w ∈ Σ∗ :
λt = λ
(wσ)t = σw t .
Demostrar por inducción que (w1 w2 )t = w2t w1t .
2. Dar un autómata de estados finitos que reconozca el lenguaje formado por las
palabras que contienen un número par de aba, incluyendo posibles superposiciones de a’es. Por ejemplo, bbbabababba y abaabaaa pertenecen al lenguaje,
mientras que abbabaaaa, no.
Examen de Autómatas y Lenguajes Formales
20 de septiembre de 2002
Resolver 4 de cualesquiera de los siguientes 5 ejercicios en 3.5 horas.
1. Completar la siguiente frase y demostrarla: el siguiente autómata reconoce el
lenguaje de las palabras en {0, 1}∗ tales que tienen un número impar ...
0
1
1
0
1
1
1
0
0
0
2. Dar una gramática para el siguiente lenguaje y demostrar que es correcta:
{ai bj | i ≤ j ≤ 2i}.
3.
1
¿Es el siguiente lenguaje libre de contexto? Demostrar la respuesta.
{ai bj ck dl | i + j = k + l}.
4.
2
Sea Σ = {a, b}. Dar un autómata de pila determinista para el siguiente
lenguaje y demostrar su corrección (puede suponer que las palabras terminan
en un sı́mbolo distinguido):
L = {w | |w|a = |w|b }.
1
2
Ejercicio más apropiado para el plan viejo.
Ejercicio más apropiado para el plan nuevo.
8
5. Suponga que L es recursivamente enumerable. Dar una máquina de Turing
(puede ser no determinista) para el siguiente lenguaje:
{w i | w ∈ L, i ≥ 0}.
Examen de Autómatas y Lenguajes Formales
Primera parte. 5 de septiembre de 2005
Resolver los problemas. Tiempo 2 horas.
1. Demostrar que la ecuación de lenguajes en {0, 1}, L = Lc 1 tiene una y sólo
una solución.
2. Sea L semidecidible. Dar un programa que reconozca a L0 :
L0 = {w ∈ Σ∗ | ∃x, y ∈ Σ∗ , xy = w ∧ y ∈ L}
Examen de Autómatas y Lenguajes Formales
Segunda parte. 5 de septiembre de 2005
Resolver los siguientes problemas. Tiempo 2 horas.
3. Dar una gramática y demostrar que es correcta para
L = {a3i bj ck | 2i = j + k}.
4. Dar un autómata de pila determinista y demostrar que es correcto para
L = {a3i bj ck | 2i = j + k}.
(Puede trabajar con L#, definir L(q, γ) para todas las posibles configuraciones
y demostrar una de ellas que no sea de las más simples).
Examen Parcial de Autómatas y Lenguajes Formales
13 de diciembre de 2005
Resolver los siguientes problemas. Tiempo 2 horas.
1. Sea G una gramática en la que ninguna producción es de la forma X → Y ni
de la forma X → λ para X, Y ∈ V . Es decir, ninguna producción cambia una
variable por una variable, ni anula la variable. Demostrar que si G produce
w ∈ T ∗ en m pasos entonces m ≤ 2|w| − 1.
9
2. Sea L = {<P > | P (<P >) no se para }. Demostrar en detalle que L no es
decidible.
Examen de Autómatas y Lenguajes Formales
Primera parte. 18 de febrero de 2005
Resolver los problemas. Tiempo 2 horas.
1. Sea L un lenguaje regular sobre Σ. Se define
prefix(L) = {x ∈ Σ∗ | existe w ∈ Σ∗ tal que xw ∈ L}.
Demostrar que si L es regular, prefix(L) es regular.
2. Dar una gramática para
L = {ai bj | j ≤ 2i ≤ 2j}.
Demostrar que es correcta.
Examen de Autómatas y Lenguajes Formales
Segunda parte. 18 de febrero de 2005
Resolver los siguientes problemas. Tiempo 2 horas.
1. Dar un autómata determinista de pila para
L = {w ∈ (a + b)∗ | |w|b = 2|w|a + 1}.
Describir los significados de las configuraciones y demostrar uno de ellos (no
el más sencillo) por inducción.
2. Demostrar que el lenguaje
L = {< P > | P no se para con entrada λ}
no es decidible (ayuda: funciona un argumento similar al que se usó para la
propiedad “P se para siempre”).
10
Examen de Autómatas y Lenguajes Formales
Primera parte. 15 de junio de 2006
Resolver los problemas. Tiempo 2 horas.
1. Completar la frase siguiente y demostrarla: el autómata siguiente reconoce las
palabras sobre {0, 1} tales que el número de 0s ...
1
1
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
1
0
0
0
0
1
1
1
2. Demostrar que si L es semidecidible entonces L0 = L ∪ L4 ∪ L7 ∪ · · · es semidecidible (ayuda: puede dar un programa indeterminista).
Examen de Autómatas y Lenguajes Formales
Segunda parte. 15 de junio de 2006
Resolver los siguientes problemas. Tiempo 2 horas.
3. Dar un autómata determinista de pila para
L = {w ∈ a∗ b∗ a∗ b∗ | |w|a = |w|b }.
Escribir todas las aserciones en los lugares correctos.
4. Dar un autómata determinista de pila para el lenguaje de la gramática:
P → pBf
B → IB | λ
I → i | sBg | mBh
donde las variables son P, I y B y los otros sı́mbolos son terminales.
11
Examen Parcial de Autómatas y Lenguajes Formales
5 de noviembre de 2004
Resolver los siguientes problemas. Tiempo 2 horas.
1. Completar la siguiente frase y demostrarla: el siguiente autómata reconoce el
lenguaje de las palabras en {0, 1}∗ tales que tienen un número impar ...
0
0
1
1
1
1
1
0
0
0
2. Sea L un lenguaje regular sobre un alfabeto Σ. Se define
P (L) = {w ∈ Σ∗ | ∃ σ1 , σ2 ∈ Σ, wσ1 σ2 ∈ L}.
Demostrar que P (L) es regular.
Examen de Autómatas y Lenguajes Formales
3 de septiembre de 2003
Resolver 4 de los siguientes problemas. Verificar las respuestas. Tiempo 3 horas.
1. Dar un autómata de estados finitos para el lenguaje de las palabras binarias
que representan números múltiplos de 3.
2. Demostrar que el lenguaje de las palabras sobre {a, b} que tienen un número
mayor o igual de a’es que de b’s es incontextual.
3. Dar un autómata de estados finitos para el lenguaje sobre {a, b} formado por
las palabras w que se pueden escribir de la forma w = w1 w2 · · · wn , para algún
n ≥ 0, de manera que para cada i = 1, . . . , n, toda subcadena de wi de cuatro
letras contenga al menos una a, y dos a’es sucesivas estén separadas por un
número par de b’s.
4. Si L1 y L2 son semidecidibles, ¿es L1 L2 siempre semidecidible?
12
5. Si L1 y L2 son semidecidibles, ¿es L1 − L2 siempre semidecidible?
Examen de Autómatas y Lenguajes Formales
Primera parte. 6 de septiembre de 2006
Resolver los problemas. Tiempo 2 horas.
1. Completar la frase y demostrarla: el autómata siguiente reconoce las palabras
tales que el número de 1s ....
0
1
1
0
0
0
1
2
1
2. Sea G una gramática en la que todas sus producciones son de la forma X → Y Z
o X → σ, para X, Y, Z ∈ V , σ ∈ T . Es decir, todas las producciones tienen
a la derecha dos variables o un solo terminal. Demostrar que si G produce
w ∈ T ∗ en m pasos, m = 2|w| − 1.
Examen de Autómatas y Lenguajes Formales
Segunda parte. 6 de septiembre de 2006
Resolver los siguientes problemas. Tiempo 2 horas.
1. Dar un autómata determinista de pila correcto para el lenguaje de las palabras
tales que dos veces el número de aes es el triple del número de bes. Escribir
todas las aserciones en los lugares correctos.
13
2. ¿Es el lenguaje
L = {< P, Q > | (P, Q se paran con λ y P (λ) = Q(λ)) o ninguno se para con λ}
decidible?
Examen de Autómatas Finitos
3 de noviembre de 2000
Resuelva los siguientes ejercicios.
1. Demuestre que en autómatas deterministas δ 0 (q, aw) = δ 0 (δ(q, a), w), para todo
a ∈ Σ.
2. Sea L, definido sobre {0, 1}, el conjunto de palabras tales que antes de 11
siempre hay 00. Encuentre un autómata correcto que acepte el lenguaje.
Examen Parcial de Autómatas y Lenguajes Formales
11 de diciembre de 2001
Resolver los siguientes problemas. Tiempo 2 horas.
1. Dar una gramática y demostrar que es correcta para
L = {am bn | m < n < 2m}.
2. Dar un autómata de pila determinista y demostrar que es correcto para
L = {w ∈ (a + b)∗ | |w|a = 2|w|b }
(Basta con definir L(q, γ) para todas las posibles configuraciones y demostrar
uno de ellos).
Examen de Autómatas
27 de enero de 1999
Resolver 4 de los siguientes ejercicios.
14
1. Sea M un autómata de estados finitos sin estados inaccessibles y tal que
M/≡ = M . Demostrar que cualquier otro autómata que reconozca el mismo
lenguaje de M , tiene igual o mayor número de estados.
2. Sea G1 la gramática S → S + S | S ∗ S | (S) | 0 | 1. Sea G2 generada por E y
las producciones
E →A+E |A
A→F ∗A|F
F → 0 | 1 | (E)
Demostrar que L(G1 ) = L(G2 ).
3. Demostrar que la unión de un lenguaje no libre de contexto con un lenguaje
finito es un lenguaje no libre de contexto.
4. Demostrar que L es recursivo si y sólo si L se puede enumerar según el orden
canónico.
5. M representa una máquina de Turing. Sea
L = {< M > | M para siempre }.
¿Es L recursivo?
Examen de Autómatas y Lenguajes Formales
17 de diciembre de 1999
Resuelva 2 de los siguientes ejercicios.
1. Considere el algoritmo que halla las variables que derivan palabras de terminales (variables productivas). Sea Vi el conjunto de variables calculado en el
paso i. Demuestre que si X deriva una palabra de terminales con un árbol de
altura n o menos entonces X ∈ Vn .
2. Sea G la gramática con producciones S → aS | aSbS | . Demuestre que
L(G) = {x | todo prefijo de x tiene más o igual aes que bes }
3. ¿Es {ai bj | 2j < i < 3j} libre de contexto? Justifique.
Examen de Autómatas y Lenguajes Formales
7 de septiembre de 1999
15
Resuelva 4 de los siguientes ejercicios. Tiempo: 3 horas. Demuestre las respuestas.
1. (a) Demuestre que {(01)n (10)n 1 | n > 0} no es regular.
(b) ¿Es {xxR w | x, w ∈ (0 + 1)+ } regular?
2. Demuestre que el siguiente autómata reconoce el lenguaje
{w ∈ (a + b)∗ | w contiene aba y |w| es divisible por 3}.
Q
s q0
q1
q2
q3
*
a
k
Q
Za Q
b
@ @ a,b
a,b
Z
@
@ ?
~
Z
Z
R
@ ?
@
R
a,b
a,b
a q7
q4 a
q5
b q6
Z
@ b
@
a,b Z a
a,b
@ a
@
Z
?
?
~
Z
Q
R
Q
R
@
@ q
q8
q10
q9
11
3. Dé una gramática no ambigua para el lenguaje {ai bj ck dl | i = l y j ≥ k}.
4. Suponga que G es una gramática de m variables y que la longitud de la parte
derecha de cada producción es máximo k. Demuestre que si G produce al
menos una palabra entonces G produce una palabra de longitud menor o igual
a km .
5. Considere máquinas de Turing en las que la cinta tiene una longitud finita.
¿Hay algún lenguaje que estas máquinas puedan reconocer y que los autómatas
de estados finitos no puedan? ¿Hay algún lenguaje que las máquinas de Turing
normales puedan reconocer y que éstas no puedan?
Examen de Autómatas y Lenguajes Formales
8 de febrero de 2001
Resolver 4 de los siguientes ejercicios y justificar las respuestas.
1. Sea δ la función de transición de un autómata de estados finitos determinista.
Si α y β son palabras de Σ∗ , demostrar por inducción que
δ 0 (q, αβ) = δ 0 (δ 0 (q, α), β).
2. Sea Vk el conjunto de variables calculado en la iteración k del algoritmo que
halla las variables que derivan palabras de terminales. Demostrar que
X ∈ Vk ⇔ X deriva una palabra con un árbol de altura como máximo k.
16
3. Si A es un autómata de estados finitos en un alfabeto binario, denotamos por
< A > su codificación en Σ = {0, 1}. Sea
L = {< A, B > | L(A) 6= L(B), A, B son AF D}.
¿Es L recursivo ? (Ayuda: la codificación no tiene importancia en el sentido
de que puede ser cualquiera, y no hay que dar transiciones de la MT.)
4. Sean Σ = {0, 1},
L1 = {x ∈ Σ∗ | |x| es par} y
L2 = {y ∈ Σ∗ | y tiene un número par de ceros }.
Demostrar que el siguiente lenguaje es libre de contexto:
{x#y | x ∈ L1 ∧ y ∈ L2 ∧ |x| = |y|}.
5. Sean L1 , L2 , L3 , . . . . . . lenguajes en Σ. Supongase que existe una máquina de
Turing M de dos cintas tal que
w ∈ Li ⇔ M con entrada w en la cinta 1 e < i > en la cinta 2, acepta.
Definir una máquina de Turing que reconozca
determinista).
S∞
i=1
Li (ayuda: puede ser no
Examen de Autómatas y Lenguajes Formales
8 de febrero de 2000
Resolver 4 de los siguientes ejercicios y justificar las respuestas.
1. Considere las ocurrencias de aba en una palabra del alfabeto {a, b}. Sea L el
lenguaje de las palabras tales que entre una ocurrencia de aba y la siguiente, no
hay cinco sı́mbolos. Por ejemplo, aabaaaaaba ∈ L, babaaaaaa ∈ L, ababa ∈ L
pero aababbbbbabab 6∈ L. Escribir un autómata de estados finitos que reconozca
L y verificar la respuesta.
2. Sea L el lenguaje de las palabras sobre {a, b} tales que no hay ningún prefijo,
excepto , con igual número de aes que de bes. ¿Es L libre de contexto?
3. ¿Es {ααR β | α, β ∈ (0 + 1)+ } regular?
4. Sea LM = {w | M para con w}. ¿Para cada máquina de Turing M , existe M 0
que enumera LM ? Probarlo o dar un contraejemplo.
5. Sea L1 un lenguaje recursivamente enumerable. Sea
L2 = {w n | n ≥ 0 ∧ w ∈ L1 }.
Demostrar que L2 es recursivamente enumerable.
17
Examen de Autómatas y Lenguajes Formales
21 de septiembre de 2001
Resolver 4 de los siguientes problemas. Tiempo 3 horas.
1. Dar un autómata de estados finitos que reconozca el conjunto de palabras sobre
{a, b} tales que toda subcadena de cuatro sı́mbolos contiene como mı́nimo dos
a’es. Demostrar la respuesta.
2. Sea
L = {an bm | 0 < n < 2m}.
Dar una gramática para L y demostrar la respuesta.
3. Sea G una gramática con sı́mbolo inicial S y tal que todas las producciones
son de la forma A → αB donde α es una palabra de terminales y B es una
variable. Para cada variable X se define el lenguaje
∗
LX = {w | S ⇒ wX}.
Si las únicas producciones en las que aparace la variable A a la derecha son
B → α1 A, C → α2 A y D → α3 A, demostrar ambas direcciones de la igualdad
L A = L B α1 + L C α2 + L D α3 .
4. Demostrar que si L es recursivamente enumerable entonces existe una máquina
de Turing M que enumera L sobre su cinta (M genera las palabras de L
una a una, separadas por un sı́mbolo especial, y cada una aparece en algún
momento).
5. Si L es un lenguaje recursivamente enumerable sobre Σ, definir una máquina
de Turing que acepte L∗ .
Examen de Gramáticas
12 de diciembre de 2000
Resolver los siguientes problemas. Tiempo 2 horas.
1. Dar un algoritmo que tome una gramática y decida si genera un lenguaje
infinito o no. Justificar por qué el algoritmo funciona.
2. ¿Es {a2k+1 b3k+2 | k ≥ 0} libre de contexto? Demostrar la respuesta.
18
Examen de Autómatas Finitos
10 de Noviembre de 1998
Resuelva 2 de los siguientes ejercicios. Tiempo: una hora.
1. Describir el lenguaje del siguiente autómata (sin largas expresiones regulares)
y demostrar la respuesta.
@
R m 0 - m
6
6 0
1
1
1
1
0
?j
m - ?
m
0
l
2. Sea ≡ la relación para el cálculo de la máquina cociente. Demostrar que si
l
l+1
k
Q/ ≡= Q/ ≡ entonces Q/≡ = Q/ ≡, ∀k ≥ l.
3. El lenguaje L formado por las expresiones regulares sobre el alfabeto {0, 1, +, ∗, (, )}
se puede definir recursivamente como: (1) 0, 1 ∈ L. (2) Si a, b ∈ L entonces
a + b, a ∗ b ∈ L. (3) Si a ∈ L entonces (a) ∈ L. (4) Ninguna otra palabra
pertenece a L.
Demostrar que L no es regular.
Examen de Autómatas Finitos
18 de marzo de 1999
Resuelva 2 de los siguientes ejercicios.
1. Sea M un autómata con -movimientos. Defina la función de transición extedida δ 0 , es decir, escriba un algoritmo para
funcion dprima (q:estado, w:string): set of estado;
2. Sea L, definido sobre {0, 1}, el conjunto de palabras que interpretadas como
un número binario son multiplos de 3. Demuestre que L = LR .
19
3. Encuentre un autómata que acepte el lenguaje sobre {a, b} formado por las
palabras tales que entre dos a’s nunca hay un multiplo de 4 de b’s (en particular,
siempre hay alguna b, ya que 0 es multiplo de 4). Verifique que es correcto.
Examen de Autómatas 11 de junio de 1999
Resolver 4 de los siguientes ejercicios.
1. Demostrar el lema de Arden (solución de una ecuación de lenguajes).
2. Escribir el algoritmo CYK para decidir si una palabra es aceptada por una
gramática en forma normal de Chomsky. Justifique su funcionamiento con la
gramática
S → AB | CA, A → BC | BA | a, B → BB | b, C → CC | a,
y la palabra abbaa.
3. ¿Es {am bn cp | m − n = p, m ≥ n} libre de contexto? Demostrar la respuesta.
4. Si M representa una máquina de Turing, demostrar que L no es recursivamente
enumerable.
L = {< M, w > | M no para con entrada w}.
5. Describir una máquina de Turing no determinista que acepte el lenguaje
{wuw R uR | w, u ∈ {a, b}∗ }.
Examen de Autómatas y Lenguajes Formales
9 de febrero de 2001
Resolver 4 de los siguientes problemas. Tiempo 4 horas.
1. Completar la siguiente frase y demostrarla: el siguiente autómata reconoce las
palabras en {a, b} tales que toda subpalabra de longitud cuatro ...
20
b
b
b
a
a
A
b
D
a
b
a
F
a
B
b
E
b
a
C
b
b
a, b
G
2. Demostrar que si M2 es el autómata de estados finitos determinista construido
a partir de un autómata no determinista M1 ,
δ10 (q01 , w) = δ20 ({q01 }, w), para todo w ∈ Σ∗ .
3. Demostrar que si G no tiene producciones anulables ni unitarias es cierto que
n
Si S ⇒ w entonces n ≤ 2|w| − 1.
4. Sea f : N → N . Sea
Pf = {x ∈ (0 + 1)∗ |x = 0n 1f (n) , n ∈ N }.
Para cualquier función f tal que Imagen(f ) es finita, ¿es Pf libre de contexto?
5. Sea
LM = {w | M no para con w}.
Encontrar M para la que LM no sea recursivamente enumerable.
Examen de Autómatas y Lenguajes Formales
7 de febrero de 2002
Resolver 4 de cualesquiera de los siguientes 5 ejercicios en 3.5 horas.
1. Completar la siguiente frase y demostrarla: el siguiente autómata reconoce el
lenguaje de las palabras en {0, 1}∗ tales que tienen un número impar ...
21
1
0
1
0
0
1
2. Considerar la gramática G dada por las producciones
S → aY | bZ
Y → b | bS | aY Y
Z → a | aS | bZZ
Demostrar que el lenguaje de G es el conjunto de palabras no nulas con igual
número de aes que de bes.
3.
3
4.
4
Sea G una gramática de m variables. Demostrar que si G produce ε entonces
existe un árbol de altura como máximo m que produce ε.
Sea Σ = {[, ]}. Dar un autómata de pila determinista para el siguiente
lenguaje y demostrar su corrección:
L = {w | todo prefijo de w tiene al menos tantas [’s como ]’s}.
5. Sea Σ = {0, 1}. Dar una máquina de Turing cuyo lenguaje aceptado sea:
L = {< M > | M es una MT que para en al menos 10 palabras}.
Examen Parcial de Autómatas y Lenguajes Formales
6 de noviembre de 2001
Resolver los siguientes problemas. Tiempo 2 horas.
1. Completar la siguiente frase y demostrarla: el siguiente autómata reconoce las
palabras en {a, b} tales que toda subpalabra de longitud cuatro ...
3
4
Ejercicio más apropiado para el plan viejo.
Ejercicio más apropiado para el plan nuevo.
22
b
b
b
a
a
A
b
D
a
b
a
a
B
b
C
F
b
E
a
b
b
a, b
G
2. Un estado q es auto-accesible si existe w 6= ε tal que δ 0 (q, w) = q. Dar un
algoritmo para detectar si un estado es auto-accesible en un AEF determinista,
y demostrar su corrección por inducción.
23