Solucionari UD.1¥LG F™sica¥2BTX
Anuncio
SOLUCIONARI Unitat 1 Introducció al càlcul vectorial Qüestions 1. Dibuixeu dos vectors equipol.lents. Resposta oberta. 2. Dibuixeu dos vectors lliures iguals. Resposta oberta. → → 3. Com són els vectors a i b que verifiquen aquestes propietats? → → → a) a b c i a b c → → → → Els vectors a i b tenen la mateixa direcció i el mateix sentit, ja que la suma dels mòduls de a i b → coincideix amb el mòdul de c. → → → → b) a b a b → → El vector b ha de ser el vector nul (0 , 0), ja que, si simplifiquem, b és igual al seu oposat, i això només ho verifica el vector nul. → → → c) a b c i a 2 b 2 c 2 → → Els vectors a i b han de ser perpendiculars, ja que els seus mòduls verifiquen el teorema de Pitàgores. → → 4. La suma dels vectors unitaris i, j és un altre vector unitari? Justifiqueu la resposta fent un gràfic. → → Els vectors unitaris i i j són: → i (1 , 0) → j (0 , 1) → → El vector suma és: i j (1 , 0) (0 , 1) (1 , 1) El mòdul del vector suma és √ 12 12 1,41. Per tant, la suma no és un vector unitari, ja que el seu mòdul no és la unitat. 5. Poseu dos exemples físics on s’apliqui el producte escalar de dos vectors. → → En el→càlcul del treball, W F r, i en el càlcul de la potència a partir de la força i la velocitat, → P F v. 6. Dibuixeu dos vectors tals que el producte escalar sigui: a) positiu, b) negatiu i c) nul. a) → b) b c) → b α → → a → b α a α → a 0° 90° McGraw-Hill/ Interamericana de España, S.A.U. 90° 180° 90° Física 2. Batxillerat 1 7. El producte escalar de dos vectors de mòduls 10 i 15 pot ser nul? Si aquests dos vectors són perpendiculars, el seu producte escalar és nul, ja que 90°, i cos 90° 0. 8. Quan un cos es desplaça perpendicularment respecte de la força neta que actua sobre ella, aquesta no efectua treball. Per què? Perquè l’angle que formen és de 90° i cos 90° 0: → → F r F x cos 90° 0 9. Demostreu gràficament la propietat distributiva respecte de la suma en el producte escalar de dos vectors. Resposta oberta. Problemes 1. Expresseu els vectors següents en forma polar: → → → a (4 , 3); b (3 , 2); c (2 , 4) → a (4 , 3) → a √ 42 32 √ 25 5 3 tg — 0,75 → 36,87° 4 → b (3 , 2) → b √ 32 (2)2 √ 13 3,61 2 tg — 0,67 → 33,69° 3 Està al 4t quadrant ⇒ 360° 33,69° 326,31° → c (2 , 4) → c √ 22 (4)2 √ 20 4,47 4 tg — 2 → 63,43° 2 Està al 4t quadrant ⇒ 360° 63,43° 296,57° 2. Trobeu gràficament el vector suma de les forces de la figura 1.75. → b → c α → → a → d s 3. Un cos està lligat a una corda i un noi tira de la corda amb una força de 150 N (fig. 1.76). Si la corda forma un angle de 30° amb el terra, quin és el valor de la força que tendeix a fer pujar el cos verticalment? Fy F sin 30° 150 sin 30° 75 N McGraw-Hill/ Interamericana de España, S.A.U. 2 Física 2. Batxillerat 4. La resultant de dues forces perpendiculars és 8 N. Si una d’elles és de 5 N, quant val l’altra força? → → → → F F1 F2 8 N F1 5 N F √ F 21 F 22 → F F2 √ F 2 F 21 √ 82 52 √ 64 25 √ 39 6,24 N 5. Descomponeu una força de 100 N en dues forces que siguin iguals i que formin un angle recte. → F N FR 100 N 10 0 FR √ F 2 F 2 √ 2 F 2 F √ 2 100 F √ 2 100 → F ——— 70,7 N √2 → F 6. Donats dos vectors de mòduls 3 i 6 aplicats en un mateix punt, calculeu el mòdul del vector resultant quan formen un angle de: Apliquem el teorema del cosinus: s 2 a 2 b 2 2 ab cos a) 45° s 2 32 62 2 3 6 cos 45° → s 8,39 b) 30° s 2 32 62 2 3 6 cos 30° → s 8,73 c) 90° s 2 32 62 2 3 6 cos 90° → s 6,71 7. Considereu dos vectors, un de mòdul 3 i l’altre de mòdul 4. Digueu com s’han de sumar aquests vectors perquè el vector resultant tingui mòdul igual a: a) 7, b) 1 i c) 5. → → → s a b a) s a b 3 4 7 b) s b a 4 3 1 c) s √ a 2 b 2 √ 42 32 √ 25 5 8. Un jugador de golf ha efectuat tres cops per posar la pilota al forat. En el primer cop mou la pilota 35 m cap al nord; en el segon 8 m cap al sud-est, i el tercer 1 m cap al sud. Quin desplaçament hauria necessitat per ficar la pilota al forat en el primer cop? 8m component x: 8 cos 45° 5,65 45° 1m component y: 35 1 8 sin 45° 28,34 35 m α → S s √ 5,652 28,342 28,90 28,34 tg ——— 5,01 → 78,71° 5,65 McGraw-Hill/ Interamericana de España, S.A.U. Física 2. Batxillerat 3 → → → 9. Donats els vectors en components polars a 530°, b 660°, a 790°, representeu-los gràficament i trobeu: a) Els vectors en components cartesians. → → → → → → → → → → → 15 → → 14 a 5 cos 30° i 5 sin 30° j 4,33 i 2,5 j 13 → b 6 cos 60° i 6 sin 60° j 3 i 5,2 j 12 11 c 7 cos 90° i 7 sin 90° j 7 j 10 b) El vector suma dels tres vectors, gràficament i també expressat en components cartesians i polars. → → → 8 → sa bc 7 → → → → → → → → → → → 6 a 4,33 i 2,5 j 5 b 3,33 i 5,2 j 4 c 4,33 i 7,3 j 3 → 2 s 7,33 i 14,7 j s√ 7,332 9 14,72 1 16,43 1 2 3 4 5 6 7 8 14,7 tg ——— 2,01 → 63,5° 7,33 10. Sobre un cos actuen dues forces de 5 i 10 N que formen entre elles un angle de 90°. Calculeu: a) La força que s’ha de fer perquè el cos no es mogui. 5N F √ 102 52 11,18 N b) L’angle que forma amb l’horitzontal la força α calculada a l’apartat a). 10 N 5 tg —— 0,5 → 26,56° 10 F Està al 3r quadrant ⇒ 180° 26,56° 206,56° 11. Un cos de 5 kg està penjat de dos cables iguals que formen un angle de 90°. Calculeu la força que ha de fer cada cable per poder sostenir el cos. → F 45º 90º → F F cos 45° F cos 45° p 0 2 F cos 45° p 0 p 5 9,8 F ————— ————— 2 cos 45° 2 cos 45° F 34,65 N → p McGraw-Hill/ Interamericana de España, S.A.U. 4 Física 2. Batxillerat 12. Sabent que F1 100 N i F2 50 N, calculeu perquè el cos de la figura 1.77 es mogui en la direcció de l’eix X. F2 F1 sin F2 sin (45°) → sin — sin (45°) F1 50 sin —— sin (45°) 0,35 → 20,70° 100 → → 13. Donats els vectors a (2 , 4) i b (8 , 2), calculeu: a) La suma i la diferència, gràficament i numèricament. → → → → b sa b (2 , 4) (8 , 2) (10 , 2) → → b → → → → a d da b (2 , 4) (8 , 2) (6 , 6) → s → b b) Determineu els mòduls de tots dos vectors i dels vectors suma i diferència. a √ 22 42 √ 18 4,47 b √ 82 (2)2 √ 68 8,25 s √ 102 22 √ 104 10,20 d √ (6)2 62 √ 72 8,49 → → → → → → → → 14. Calculeu el producte escalar dels vectors a 2 i 4 j k i b 3 i j 2 k, i raoneu com són aquests dos vectors. → → → → → → a 2i 4j k → → b 3i j 2k → → a b ax bx ay by az bz → → a b 2 3 4 (1) (1) 2 6 4 2 0 Els dos vectors són perpendiculars, ja que el seu producte escalar és zero. → → 15. Deduïu el valor de p perquè els vectors a (5 , 1 , 2) i b (2 , p , 3), siguin perpendiculars. → a (5 , 1 , 2) → b (2 , p , 3) → → a b 5 2 p (2) 3 10 p 6 0 → p 10 6 4 → → → → → → → → → → → → 16. Donats els vectors: a 3 i 4 j k i b i 5 j 2 k, calculeu (2 a b ) (3 a 4 b ). → → → → a 3i 4j k → → → → b i 5 j 2k → → → → (2 a b ) (3 a 4 b ) McGraw-Hill/ Interamericana de España, S.A.U. Física 2. Batxillerat 5 → → → → → → → → → → → → → → → → 2 a b 2 (3 i 4 j k) ( i 5 j 2 k) 6 i 8 j 2 k i 5 j 2 k 5 i 3 j → → → → → → → → → → → → → → 3 a 4 b 3 (3 i 4 j k) 4 ( i 5 j 2 k) 9 i 12 j 3 k 4 i 20 j 8 k → → → 13 i 32 j 11 k → → → → → → → → → (2 a b) (3 a 4 b) (5 i 3 j) (13 i 32 j 11 k) 5 13 3 32 0 (11) 161 → 17. Calculeu els components cartesians d’un vector u que sigui unitari i que tingui la mateixa → → → direcció que el vector a 3 i 4 j però sentit contrari. a √ (3)2 42 √ 25 5 → → → → 3 i 4 j ua ————— 0,6 i 0,8 j 5 → → → → ua 0,6 i 0,8 j → → → → 18. Donat el vector a 4 i 2 j k, calculeu: → → a) Un vector b que sigui perpendicular a a i que tingui un component x 6. → → a b 0 → → → → → (4 i 2 j k) (6 i y j) 0 → 4 6 2 y 0 → y 12 → → → b 6 i 12 j → b) Un vector unitari perpendicular al vector a. b √ 62 122 13,42 → → 6 → 12 → u b ——— i ——— j 0,45 i 0,89 j 13,42 13,42 → → → → → → → → → 19. Trobeu l’angle que formen els vectors a i 4 j k i b 3 i 2 j 4 k. → → → → a i 4j k → → → → b 3i 2j 4k → → a b a b cos → → a b ax bx ay by az bz → → a b 1 3 4 2 (1) 4 7 a √ 12 42 (1) 2 4,24 a √ 32 22 42 5,38 → → a b 7 cos ——— ————— 0,31 ⇒ 72,13° ab 4,24 5,38 → → → → → → → 20. Donats els vectors a 4 i 3 j i b 3 i 2 j k, calculeu: → → → a) El vector c a b. → → → → → → → → → → → a 4i 3j b 3i 2j k c 7i 2j k McGraw-Hill/ Interamericana de España, S.A.U. 6 Física 2. Batxillerat → → → b) Els vectors unitaris de a, b i c. a √ 42 (3)2 5 b √ 32 22 (1) 2 3,74 c √ 72 (1)2 (1) 2 7,14 → → 4→ 3 → ua — i — j 0,8 i 0,6 j 5 5 → → → → 3 → 2 → 1 → u b —— i —— j —— k 0,8 i 0,53 j 0,27 k 3,74 3,74 3,74 → → → → 7 → 1 → 1 → u c —— i —— j —— k 0,98 i 0,14 j 0,14 k 7,14 7,14 7,14 → → → c) El cosinus de l’angle que formen els vectors a i b. → → a b 4 3 (3) 2 0 (1) 6 → → a b 6 cos ——— ———— 0,32 ab 5 3,74 → → → → → → → → 21. Donats els vectors a 6 i 2 j i b 9 i m j, calculeu el valor de m perquè els vectors a i b siguin: a) Perpendiculars. 54 a b 6 (9) 2 m 0 → 54 2 m 0 → m —— 27 2 → → b) Paral.lels. → → 0° ⇒ a b ab cos 0° ab a √ 62 22 √ 40 b √ (9)2 m 2 √ 81 m2 54 2 m √ 40 √ 81 m2 → (54 2 m)2 (√ 40 (81 m2 ) )2 → → 4 m 2 216 m 2 916 3 240 40 m 2 → 36 m 2 216 m 324 0 → → m2 6 √ 36 4 9) 6 6 m 9 0 → m ————————— —— 3 2 2 → → → → → → 22. Determineu la projecció del vector a 2 i 3 j sobre el vector b 12 i 5 j. b √ 122 (5)2 13 12 → 5 → ub —— i —— j 13 13 → → → 12 → 5 → 12 5 a ub (2 i 3 j ) —— i —— j 2 —— (3) —— 3 13 13 13 13 → → → → → 23. A partir de la funció vectorial a (t) 2t i (2 t 2 1) j, calculeu l’angle que formen els vectors obtinguts en fer t 1 i t 3. → → → a (t) 2t i (2 t 2 1) j → → → → → → → a (1) 2 1 i (2 1 1) j 2 i j → → → a (3) 2 3 i (2 32 1) j 6 i 17 j McGraw-Hill/ Interamericana de España, S.A.U. Física 2. Batxillerat 7 → → a (1) a (3) 2 6 1 17 29 a (1) √ 22 12 √ 5 2,24 a (3) √ 62 17 2 √ 325 18,03 → → a (1) a (3) 29 cos ————— —————— 0,71 → 44° a (1) a (3) 2,24 18,03 → → → 24. Donada la funció vectorial a (t) (t 2 1) i (2 t 1) j, y calculeu i representeu gràficament els vectors següents: → → → a) a (0) i j → → → → → → a (2) b) a (2) (22 1) i (2 2 1) j 3 i 5 j → → → → → → → → → c) a a (2) a (0) (3 i 5 j) ( i j) 4 i 4 j → → → a 4i 4j t 20 → → a → d ) —— ———— 2 i 2 j → a → → a (0) t x → → → 25. Tenim la funció vectorial a (t) (t 2 3) i (2 t 2 t) j, determineu el vector unitari que té la direcció i el sentit de la derivada per a t 1. → → → a (t) (t 2 3) i (2 t 2 t) j → → → a (t) 2 t i (4 t 1) j → → → → a (1) 2 i 5 j a (1) √ 22 52 √ 29 5,38 → → 2 → 5 → ua (1) —— i —— j 0,37 i 0,93 j 5,38 5,38 → → → → 26. Donada la funció vectorial a (t) t 2 i (3 t) j, calculeu per a t 3: → a) a i el seu mòdul. → → → → a (3) 3 2 i (3 3) j 9 i a (3) 9 b) El mòdul de la derivada respecte de t. → → → a (t) 2 t i j a (t) √ (2 t)2 (1)2 √ 4 t 2 1 a (3) √ 4 3 2 1 √ 37 6,08 c) La derivada del mòdul. a (t) √ (t 2) 2 (3 t) 2 √ t 4 (3 t) 2 √ t 4 t 2 6t 9 4 t3 2 t 6 a (t) —————————— 2 √ t 4 t 2 6t 9 4 32 2 3 6 108 a (3) ———————————— ———— 6 4 2 2 √ 81 2√ 3 3 63 9 McGraw-Hill/ Interamericana de España, S.A.U. 8 Física 2. Batxillerat → → → 27. Donat el vector a (t) t i (t 2 4) j, determineu: → → a) a (2 ), a (5). → → → → → → → → a (2) 2 i (22 4) j 2 i (2 , 0) → a (5) 5 i (52 4) j 5 i 21 j (5 , 21) → b) a en els instants anteriors. → → → a a (5) a (2) (5 , 21) (2 , 0) (3 , 21) → c) L’angle que ha girat el vector a. y a→ (5 ) 21 tg —— 4,2 ⇒ 76,6° 5 α → x a (2) → 28. Sigui la funció vectorial a (t) ((t 2 1) , 5 t), calculeu-ne la integral entre t 1 s i t 10 s. → a (t) ((t 2 1) , 5 t) ∫ → a (t) d t ∫ 10 1 ((t 2 1) , 5 t ) d t → 5 t2 t3 —— t , —— 3 2 10 1 10 3 1 5 10 2 51 —— 10 — 1 , ——— —— (324 , 247,5) 3 3 2 2 McGraw-Hill/ Interamericana de España, S.A.U. Física 2. Batxillerat 9
