PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Problema 24: La suma de tres números en progresión geométrica es 70. Si el primero se multiplica por 4, el segundo por 5 y el tercero por 4, los números resultantes están en progresión aritmética. Hallar los tres números. Solución Problema 24: Sea a1, a2 y a3 los tres números de la progresión geométrica, luego: . . r Sea b1, b2 y b3 los tres números de la progresión aritmética, luego: 2 ó 1 ó 2 Están relacionados de la siguiente manera: El primero se multiplica por 4, el segundo por 5 y el tercero por 4 4 5 5 . 4 4 . r ó 3 ó 4 Como sabemos que 4 Sustituimos el valor de b1en las ecuaciones 1 y 2: 4 2 4 ó 5 2 ó 6 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS: Problema 24 Página1 Igualamos las ecuaciones 3 y 5: 5 . ó 3 ó 5 Resultando . 5 4 ó 7 Igualamos las ecuaciones 4 y 6: 4 . ó 4 2 ó 6 Resultando 4 . r 4 2 ó 8 A continuación despejamos d en las ecuaciones 7 y 8: Resultando 5 4 . 4 . r 4 ó 9 2 ó 10 Igualamos en d las ecuaciones 9 y10: 5 . 4 4 . r 4 2 2 . r 2 Operando, 5 . 4 2 . r 2 Sacamos factor común a1 en los dos miembros de la igualdad 5 4 2r 2 Simplificamos a1 en los dos miembros de la igualdad 5 4 2r 2 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS: Problema 24 Página2 2r 5 2 4 2r 5 2 0 r 5 16 √25 4 5 3 4 5 0 5 √9 4 5 4 8 4 ó á 2 4 1 2 ó á 3 4 3 Para r1= 2 A continuación aplicamos la fórmula de suma geométrica de un número de términos finitos . 1 En este caso 70 . 1 Sustituimos el valor a3 en función de a1 70 70 7 . 1 . r 1 . 2 2 1 8 . 7 70 . r 70 7 10 Luego los números son: . . r 10.2 10. 2 10.4 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS: Problema 24 Página3 Para r2= 1/2 A continuación aplicamos la fórmula de suma geométrica de un número de términos finitos . 1 En este caso 70 . 1 Sustituimos el valor a3 en función de a1 70 70 7 8 1 2 . 1 . r 1 7 8 1 2 2.7 8 . 1 2 1 1 2 14 8 8 1 2 2 8 8 1 2 14 8 70 14 . r 560 560 14 40 Luego los números son: . . r 40. 1 2 40. 1 2 10. 1 4 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS: Problema 24 Página4