Progresiones geométricas

Cajón de Ciencias
Progresiones geométricas
¿Qué es una progresión geométrica? Quizás ya hayas visto lo que son las progresiones aritméticas,
en las que hay un número fijo que se suma o se resta en cada uno de los términos. En el caso de las
geométricas, esa cifra constante se multiplica o se divide. Observa los siguientes ejemplos:
5, 10, 20, 40, 80...
81, 27, 9, 3, 1...
En el primer caso, cada término se multiplica por 2; en el segundo, se van dividiendo por 3.
Todas las progresiones geométricas pueden expresarse con una fórmula, también llamada término
general:
an = a1·rn-1
an es el término de la sucesión que vayamos a calcular. Por ejemplo, a5 es el quinto término.
a1, por supuesto, es el primer término.
n depende de qué an estemos calculando. Si queremos ver cuál es el quinto término (a5), n valdría 5.
r es la razón, el número que continuamente multiplicamos o dividimos para formar la serie.
Teniendo esto en mente, los términos generales de las sucesiones anteriores serían:
5, 10, 20, 40, 80...
→
an = 5·2n-1
81, 27, 9, 3, 1...
→
an = 81·(1/3)n-1
Fíjate en un detalle (que te sonará si ya has visto las progresiones aritméticas): cuando un problema
nos pide el término general de una progresión geométrica, no debemos calcular an ni n. Las únicas
cosas que debemos calcular y sustituir son el primer término y la razón.
www.cajondeciencias.com
Cajón de Ciencias
Suma de los términos de una progresión geométrica
Puede que un enunciado nos pida cuánto vale la suma de los 100 primeros términos de una
progresión geométrica. Como el calcular todos y cada uno de estos términos (y luego sumarlos)
sería un trabajo laborioso, en su lugar recurriremos a la siguiente fórmula:
Sn = (an·r - a1)/(r-1)
Donde Sn es la suma de los n primeros términos, an el último de esos términos, r la razón y a1 el
primer término de nuestra serie de número.
Un ejemplo práctico: imagina que nos piden la suma de los 30 primeros términos de la sucesión que
habíamos visto como ejemplo al principio de esta explicación:
5, 10, 20, 40, 80...
→
an = 5·2n-1
Lo primero que tenemos que hacer para poder aplicar la fórmula de la suma es calcular el último
término, a30. Pero eso podemos hacerlo fácilmente con el término general:
a30 = 5·230-1
a30 = 5·229
a30 = 5·536870912 = 2684354560
Ahora ya podemos colocar todos los datos en la fórmula de la suma:
Sn = (an·r – a1)/(r-1)
Sn = (2684354560·2 – 5)/(2-1)
Sn = 5368709115
www.cajondeciencias.com
Cajón de Ciencias
Suma de los infinitos términos de una progresión geométrica
Puede que te encuentres un enunciado en el que se pida sumar los infinitos términos de una
progresión geométrica. Nada más leerlo, la primera palabra que nos llena el cerebro es “infinitos”.
La segunda palabra suele ser “imposible” ¿Cómo voy a calcular cuánto suman todos los términos?
Para ver más claro cómo se resuelve esto, considera lo siguiente: podemos clasificar las
progresiones geométricas en aquellas que tienen una razón mayor que 1 o menor que -1, y aquellas
que tienen una razón entre -1 y 1 (es decir, “cero coma algo”).
Las del primer tipo crecen constantemente, hacia números positivos o negativos cada vez más
grandes. En ese caso, la suma de los infinitos términos vale más infinito (+∞) o menos infinito (-∞),
respectivamente. No hacen falta fórmulas para calcular nada.
Las del segundo tipo son más interesantes. Vamos a trabajar con la segunda progresión del
principio. Recordemos, era esta:
81, 27, 9, 3, 1...
→
an = 81·(1/3)n-1
Es del segundo tipo porque la razón vale 0,33333... ¿Qué es lo que hace especial a estas
progresiones? Que a medida que avanzamos en ellas los términos van siendo cada vez más
pequeños, hasta que llega un momento en que se vuelven insignificantes. Cuando llegamos al
infinito (es un decir) es como si no sumáramos nada. O en términos mátemáticos, podemos
aproximar an a cero. Nuestra fórmula de la suma se nos queda así:
Sn = – a1/(r-1)
En algunos libros te la encontrarás así:
Sn = a1/(1-r)
Es la misma, sólo que multiplicando tanto el numerador como el denominador por -1.
Si tuviéramos que calcular la suma de los infinitos términos de esta progresión, simplemente
haríamos:
Sn = – a1/(r-1)
Sn = – 81/(1/3 -1)
Sn = – 81/(-2/3) = 121,5
www.cajondeciencias.com