àéîííûé òóð 2012. 11 êëàññ. I âàðèàíò. Çàäà÷à 1.  âåðõíåé òî÷êå ãîðêè (íà ðåáðå) ñêîðîñòü øàéáû äîëæíà áûòü íàïðàâëåíà ñòðîãî âäîëü âåðõíåãî ðåáðà, èíà÷å øàéáà ïîäñêî÷èò. Ýòî, â îáùåì, î÷åâèäíîå óòâåðæäåíèå ëåãêî äîêàçàòü. Äåéñòâèòåëüíî, ïåðåâàëèâàÿ ÷åðåç ìàëîå çàêðóãëåíèå ñ íåíóëåâîé ñîñòàâëÿþùåé ñêîðîñòè Vy 2 âäîëü îñè Y (ñì. ðèñ. 1), øàéáà áóäåò èìåòü öåíòðîñòðåìèòåëüíîå óñêîðåíèå aö = Vy /r, ãäå r ðàäèóñ çàêðãëåíèÿ. Òàê êàê ïî óñëîâèþ çàêðóãëåíèå íåçíà÷èòåëüíî, r ìàëî, çíà÷èò aö âåëèêî. Âòîðîé çàêîí Íüþòîíà â ïðîåêöèè íà âåðòèêàëüíóþ îñü â âåðõíåé òî÷êå òðàåêòîðèè èìååò ñëåäóþùèé âèä â ïðîåêöèè íà âåðòèêàëüíóþ îñü: ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ aö âåëè÷èíà N mg − N = maö , îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî îáðàòèòñÿ â íîëü, ò.å. øàéáà îòîðâåòñÿ. Èòàê, â âåðõíåé òî÷êå òðàåêòîðèè ñêîðîñòü øàéáû â ïðîåêöèè íà îñü Y äîëæíà áûòü ðàâíà íóëþ. Íî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â êîíöå ïîäúåìà ïî ñêëîíó äîëæíà îáðàòèòüñÿ â íîëü è ñêîðîñòü øàéáû â ïðîåêöèè íà îñü Z, íàïðàâëåííóþ ââåðõ âäîëü ñêàòà (ñì. ðèñ. 2), âåäü, ïðîõîäÿ çàêðóãëåíèå, øàéáà ïðàêòè÷åñêè íå ìåíÿåò ìîäóëü ñâîåé ñêîðîñòè. Òà êîìïîíåíòà ñêîðîñòè, êîòîðàÿ ïåðåä ñàìûì çàêðóãëåíèåì (â êîíöå ïîäúåìà) áûëà íàïðàâëåíà âäîëü îñè Z, íàâåðõó çàêðóãëåíèÿ îêàçæåòñÿ íàïðàâëåíà óæå âäîëü îñè Y. Çíà÷èò, â êîíöå ïîäúåìà ïî íàêëîííîé ïëîñêîñòè ñêîðîñòü øàéáû íàïðàâëåíà èìåííî âäîëü îñè  õîäå äàëüíåéøåãî ðåøåíèÿ âåëè÷èíîé r X. ìû áóäåì ïðåíåáðåãàòü. àññìîòðèì äâèæåíèå øàéáû â ïëîñêîñòè ëåâîãî ñêàòà ãîðêè (ñì. ðèñ. 2, îòìåòèì, ÷òî ñèëû, ïåðïåíäèêóÿðíûå ýòîé ïëîñêîñòè ñêîìïåíñèðîâàíû íà ïðîòÿæåíèè âñåãî âðåìåíè äâèæåíèÿ â äàííîé ïëîñêîñòè). Êàê îáñóæäàëîñü, â âåðõíåé òî÷êå òðàåêòîðèè Ê ñêîðîñòü øàéáû íàïðàâëåíà âäîëü ÎÎ'. Òîãäà ïîíÿòíî, ÷òî äâèæåíèå øàéáû ïî ëåâîìó è ïðàâîìó ñêàòàì ñèììåòðè÷íî, à òðàåêòîðèè ÀÊ è Ê èìåþò îäíó îðìó. Õîòÿ îíè è ëåæàò â ðàçíûõ ïëîñêîñòÿõ, ÀÊ è Ê ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé âåòâè îäèíàêîâûõ ïàðàáîë, ïðè÷åì Ê âåðøèíà îáåèõ ýòèõ ïàðàáîë è äåëèò ðåáðî ÎÎ' ïîïîëàì.  ïðîåêöèè íà îñè X è Z, ëåæàùèå â ïëîñêîñòè ëåâîãî ñêàòà, óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäå- íèÿ èìååò ïðîåêöèþ ëèøü íà îñü Z , ýòà ïðîåêöèÿ îòðèöàòåëüíà è ðàâíà ïî ìîäóëþ g̃ = g sin γ . V0 è α ñîîòâåòñòâåííî. Óðàâíåíèÿ ðàâíîóñêî- Íà÷àëüíóþ ñêîðîñòü è èñêîìûé óãîë îáîçíà÷èì ðåííîãî äâèæåíèÿ äëÿ êîîðäèíàò X(t) = V0 t sin α, Z(t) = V0 t cos α − g̃t2 /2, (1) Vz (t) = V0 cos α − g̃t. (2) à äëÿ ñêîðîñòåé Vx (t) = V0 sin α, tk , êîãäà øàéáà ïðîåçæàåò òî÷êó Ê, ïðîåêöèÿ VZ (tk ) = 0, çíà÷èò âòîðîå óðàâíåíèå (2) äàåò  ìîìåíò âðåìåíè ðàâíîé íóëþ, V0 cos α − g̃tk = 0 Êîîðäèíàòû øàéáû â ýòîò ìîìåíò ⇒ tk = X(tk ) = a/2, Z(tk ) = 2a ñêîðîñòè íà Z ñòàíîâèñÿ V0 cos α . g̃ (ñì. ðèñ 2), çíà÷èò óðàâíåíèÿ (1) ïðèíèìàþò â ýòîé òî÷êå âèä V0 tk cos α − g̃t2k /2 = 2a. V0 tk sin α = a/2 Ïîäñòàâëÿÿ ñþäà tk , ïîëó÷èì ñèñòåìó V02 cos2 α = 2a. 2g̃ a V02 sin α cos α = , g̃ 2 1 (3) èñ. 1: èñ. 2: Îòñþäà ëåãêî âûðàçèòü V0 è α. Íàïðèìåð, ðàçäåëèì ïî÷ëåííî óðàâíåíèÿ (3) äðóã íà äðóãà: 2 tg α = 1 4 ⇒ tg α = p V0 . 65ag sin γ/16, 1 . 8 È, íàêîíåö, èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ (3) âûðàçèì Îòâåò: Íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü øàéáû V0 = α = arctg (1/8). óãîë ýòîé ñêîðîñòè ñ ðåáðîì ÀÎ Çàäà÷à 2. ∆t îáìåíèâàåòñÿ ñ âíåøíèì òåëîì Cp = 5νR/2 òåïëîåìêîñòü ãàçà ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè (ν ∆T èçìåíåíèå òåìïåðàòóðû ãàçà çà ïðîìåæóòîê âðåìåíè ∆t. Íà èçîáàðå ãàç çà íåáîëüøîé ïðîìåæóòîê âðåìåíè òåïëîòîé ∆Q12 = Cp ∆T , ãäå êîëè÷åñòâî âåùåñòâà ãàçà), Îòìåòèì, ÷òî â äàííîì ïðîöåññå òåìïåðàòóðà ãàçà óáûâàåò, òàê ÷òî òåïëî äîëæíî óõîäèòü îò ãàçà ê âíåøíåìó òåëó. Ïðè ïîìîùè óðàâíåíèÿ Êëàéïåðîíà - Ìåíäåëååâà ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî â èçîáàðè÷åñêîì ïðîöåññå νR∆T = p0 ∆V , ãäå ∆V èçìåíåíèå îáúåìà ãàçà çà ðàññìîòðåííûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ èñêîìîé ìîùíîñòè â äàííîì ïðîöåññå W (t) = 5p0 ∆V ∆Q12 = . ∆t 2∆t (4) Ïî óñëîâèþ íà èçîáàðå îáúåì ìåíÿåòñÿ ðàâíîóñêîðåííî, òî V (t) = 4V0 − at2 /2. Çíà÷èò, ñêîðîñòü èçìåíå- åñòü ïî çàêîíó ∆V /∆t = −at. W (t) = −5atp0/2. íèÿ îáúåìà âåäåò ñåáÿ ëèíåéíî: âåëè÷èíó â (4), íàéäåì Ïîäñòàâèâ ýòó Ýòîò çàêîí äëÿ ìîùíîñòè òåïëîîáìåíà âûïîëíÿåòñÿ, ïîêà V0 , òî åñòü â òå÷åíèå ïðîìåæóòêà âðåìå2 V (t1 ) = 4V0 − atp 1 /2 = V0 . Íåñëîæíî âûðàçèòü t1 èç 6V0 /a. ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà, t1 = Íà èçîõîðå ãàç çà íåáîëüøîé ïðîìåæóòîê âðåìåíè ∆t ïîëó÷àåò îò âíåøíåãî òåëà òåïëîòó ∆Q23 = Cv ∆T , ãäå Cv = 3νR/2 òåïëîåìêîñòü ãàçà ïðè ïîñòîÿííîì îáúåìå, ∆T èçìåíåíèå òåìïåðàòóðû ãàçà çà äàííûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè ∆t. Îòìåîáúåì íå ñðàâíÿåòñÿ ñ íè t1 , êîãäà èñ. 3: òèì, ÷òî â äàííîì ïðîöåññå òåìïåðàòóðà ãàçà ðàñòåò. Ïðè ïîìîùè óðàâíåíèÿ Êëàéïåðîíà - Ìåíäåëååâà ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî â èçîõîðè÷åñêîì ïðîöåññå νR∆T = V0 ∆p, ãäå ∆p èçìåíåíèå äàâëåíèÿ ãàçà çà ðàññìîòðåííûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè. 2 èñ. 4: èñ. 5: Òàêèì îáðàçîì, äëÿ èñêîìîé ìîùíîñòè â äàííîì ïðîöåññå W (t) = ∆Q23 3V0 ∆p 3wV0 = = . ∆t 2∆t 2 Çäåñü ìû èñïîëüçîâàëè, ÷òî ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ äàâëåíèÿ ∆p/∆t = w (5) äàíà ïî óñëîâèþ. Ýòîò çàêîí äëÿ ìîùíîñòè òåïëîîáìåíà âûïîëíÿåòñÿ, ïîêà äàâëåíèå íå ñðàâíÿåòñÿ ñ òî åñòü åùå â òå÷åíèå ïðîìåæóòêà âðåìåíè 3p0 , t2 = 2p0 /w. p 0 ≤ t ≤ t1 = 6V0 /a ìîùíîñòü, ïîëó÷àåìîãî òåïëà îòðèöàòåëüíà è ëèíåéíî ðàñòåò ïî çàêîíó W (t) = −5atp0 /2; çàòåì ïðè t1 ≤ t ≤ t1 + t2 (ãäå t2 = 2p0 /w) ìîùíîñòü ïîñòîÿííà, ïîëîæèòåëüíà è ðàâíà 3wV0 /2. Òðåáóåìûé ãðàèê ïðåäñòàâëåí íà ðèñóíêå 3. Îòâåò: Ïðè Çàäà÷à 3. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ êàæäîãî èçîáðàæåíèÿ íàì äîñòàòî÷íî ïðîâåñòè äâà ïåðåñåêàþùèõñÿ ëó÷à. Îäèí íåñëîæíî ïðîâåñòè äëÿ ëþáîãî èçîáðàæåíèÿ ýòî ëó÷ ÏÎ, ïðîõîäÿùèé ÷åðåç öåíòð ñèñòåìû è íåïðåëîìëÿþùèéñÿ ëèíçàìè (ñì. ðèñ. 4). Ëó÷, ïàðàëëåëüíûé äëèííîîêóñíîé ëèíçå, ëó÷ ÏÀ, ïîñëå ïðåëîìëåíèÿ â êîðîòêîîêóñíîé íàïðàâëÿåòñÿ â îêóñ f2 . Äàëüíåéøóþ åãî òðàåêòîðèþ ñëåäóåò ñòðîèòü, âîñïîëüçîâàâ- øèñü òåì, ÷òî âñå ïàðàëëåëüíûå äðóã äðóãó ëó÷è ëèíçà ñîáèðàåò â îäíîé òî÷êå îêàëüíîé ïëîñêîñòè. Ïîñòðîèì âñïîìîãàòåëüíûé ëó÷ ÑÎ, ïàðàëëåëüíûé Àf2 . Ôîêàëüíóþ ïëîñêîñòü äëèííîîêóñíîé ëèíçû DB îí ïåðåñåêàåò â òî÷êå D. Çíà÷èò è ëó÷ Àf2 ïîñëå äëèííîîêóñíîé ëèíçû ïðîéäåò ÷åðåç D. Òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ëó÷åé ÏÎ è ÏÀf2 D äàåò ïîëîæåíèå ïåðâîãî èçîáðàæåíèÿ. Èçîáðàæåíèå ýòî äåéñòâèòåëüíîå. Ïðîâåäåì òåïåðü òàêèå æå ïîñòðîåíèÿ äëÿ ëó÷à, êîòîðûé ñíà÷àëà ïðîõîäèò ÷åðåç äëèííîîêóñíóþ ëèíçó, à çàòåì ÷åðåç êîðîòêîîêóñíóþ (ñì. òåïåðü ðèñóíîê 5). Ëó÷, ïàðàëëåëüíûé êîðîòêîîêóñíîé ëèíçå, ÏÀ íà ðèñ. 5, ïîñëå ïðåëîìëåíèÿ â äëèííîîêóñíîé ëèíçå íàïðàâëÿåòñÿ â îêóñ f1 . Äàëüíåéøàÿ åãî òðàåêòîðèÿ ñòðîèòñÿ òàêæå, êàê â ïðåäûäóùåì ñëó÷àå. Ñòðîèì âñïîìîãàòåëüíûé ëó÷ ÑÎ, ïàðàëëåëüíûé Àf1 . Ôîêàëüíóþ ïëîñêîñòü êîðîòêîîêóñíîé ëèíçû DB îí ïåðåñåêàåò â òî÷êå D. Çíà÷èò è ëó÷ Àf1 ïîñëå êîðîòêîîêóñíîé ëèíçû ïðîéäåò ÷åðåç D. 3 Òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ëó÷åé ÏÎ è ÏÀf1 D äàåò ñíîâà òî æå ñàìîå èçîáðàæåíèå, ÷òî è óæå ðàññìîòðåííîå. Òåì íå ìåíåå, ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî â ñèñòåìå ñóùåñòâóåò åùå îäíî èçîáðàæåíèå. Îíî ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ ïðîäîëæåíèé ëó÷åé ÎÏ è Àf1 (ñì. òåïåðü ðèñóíîê 5). Èçîáðàæåíèå ýòî ìíèìîå è åãî ìîæíî íàáëþäàòü íàõîäÿñü â îáëàñòè, ãäå ëó÷è ïðåëîìëåíû äëèííîîêóñíîé ëèíçîé, íî åùå íå ïðåëîìëåíû êîðîòêîîêóñíîé, òî åñòü â ÷åòâåðòè ïðîñòðàíñòâà, ðàñïîëîæåííîé íèæå è ïðàâåå òî÷êè Î. Îòâåò: Èìååòñÿ äâà èçîáðàæåíèÿ, ïðåäñòàâëåííûõ íà ðèñ. 5). Âåðõíåå èç äâóõ ýòèõ èçîáðàæåíèé ìíèìîå, à íèæíåå äåéñòâèòåëüíîå. Çàäà÷à 4. Îáîçíà÷èì äàâëåíèå â êðàéíèõ îòñåêàõ P1 , à â ñðåäíåì P2 . àññìîòðèì âíåøíèå ñèëû, äåéñòâóþùèå íà ñèñòåìó êóáèê-ñòåðæåíü-ïîðøåíü. Íàëåâî ñèñòåìó òîëêàåò, âî-ïåðâûõ, ïðàâàÿ ñæàòàÿ ïðóæèíà (ñ ñèëîé kï ∆x), âî-âòîðûõ, P2 s′ ), â òðåòüèõ, ñèëà äàâëå- ñèëà äàâëåíèå æèäêîñòè ñðåäíåãî îòñåêà íà êóáèê (âåëè÷èíîé íèÿ æèäêîñòè ïðàâîãî îòñåêà íà ïîðøåíü (âåëè÷èíîé P1 S ). Êðîìå òîãî, åñëè êóáèê êàñàåòñÿ ïåðåãîðîäêè, íà íåãî ìîæåò äåéñòâîâàòü ñèëà ðåàêöèè ïåðåãîðîäêè, òàêæå íàïðàâëåííàÿ íàëåâî. Íàïðàâî íà íàøó ñèñòåìó äåéñòâóþò: ëåâàÿ ñæàòàÿ ïðóæèíà (ñ ñèëîé kë ∆x); ñèëà äàâP1 s′ ); ñèëà äàâëåíèÿ æèäêîñòè ñðåäíåãî ëåíèå æèäêîñòè ëåâîãî îòñåêà íà êóáèê (âåëè÷èíîé îòñåêà íà ïîðøåíü (âåëè÷èíîé P2 S ). Òàêèì îáðàçîì, ñèëû ñêîìïåíñèðîâàíû, êîãäà N + kï ∆x + P2 s′ + P1 S = kë ∆x + P1 s′ + P2 S. Âûðàçèì îòñþäà N N = (kë − kï )∆x − (P1 − P2 )(S − s′ ). Çàìåòèì, ÷òî åñëè ñèëà ðàâíû, P1 6= P2 . N > 0, (6) êóáèê ïðèæàò ê ïåðåãîðîäêå, è äàâëåíèÿ ìîãóò áûòü íå Åñëè æå â êàêîé-òî ìîìåíò N îáðàùàåòñÿ â íîëü, êóáèê íå âçàèìîäåéñòâóåò ñ ïåðåãîðîäêîé; ïðè ýòîì âîäà ìîæåò ïðîáóëüêèâàòü ìåæäó êóáèêîì è ïåðåãîðîäêîé, à äàâëåíèÿ Êîãäà P1 è P2 âûðàâíÿþòñÿ. P1 = P2 , ñîãëàñíî âûðàæåíèþ (6), N > 0, îòâåðñòèå â ïåðåãîðîäêå çàêðûòî. Êîãäà ýêñïåðèìåíòàòîðû ñòàëè óâåëè÷èâàòü äàâëåíèå â êðàéíèõ îòñåêàõ (P1 ), äàâëåíèå ëà íå ìåíÿåòñÿ. Ïðè ýòîì âû÷èòàåìîå â ðàçíîñòè (6), ïðîïîðöèîíàëüíîå (P1 − P2 ) P2 ñíà÷à- íà÷èíàåò óâåëè÷èâàòüñÿ, à ñèëà ðåàêöèè êóáèêà î ïåðåãîðîäêó óìåíüøàòüñÿ.  òîò ìîìåíò, êîãäà N P1 − P2 = (kï − kë )∆x/(S − s′ ), êóáèê îòðûâàåòñÿ, âîäà ïðîáóëü- îáðàùàåòñÿ â íîëü, ò.å. ïðè êèâàåò è äàâëåíèÿ â îòñåêàõ âûðàâíèâàþòñÿ. Òàêèì îáðàçîì, ðàçíîñòü äàâëåíèé P1 − P2 â îïèñàííîé ñèñòåìå íå ìîæåò ïðåâçîéòè ∆P = (kë − kï )∆x/(S − s′ ). Ñ äðóãîé ñòîðîíû, âñåãäà ìîæíî äîáèòüñÿ (â äîñòàòî÷íîé ñòåïåíè óâåëè÷èâ äàâëåíèå â êðàéíèõ îòñåêàõ è ïðåêðàòèâ åãî óâåëè÷èâàòü êàê ðàç ïåðåä òåì, êàê íà÷íåòñÿ ïðîáóëüêèâàíèå), ÷òîáû ðàçíîñòü äàâëåíèé îêàçàëàñü ðàâíà èìåííî Âûðàæàÿ èç ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà kï , ∆P . ïîëó÷èì îòâåò. kï = k − ∆P (S − s′ )/∆x. Ïðè á0ëüøèõ çíà÷åíèÿõ æåñòêîñòè ïðàâîé ïðóæèíêè ðàçíîñòü äàâëåíèé ∆P áóäåò òàêæå âîçìîæÎòâåò: Æåñòêîñòü ïðàâîé ïðóæèíêè äîëæíà áûòü ðàâíà íà. Ïðè ìåíüøèõ æå çíà÷åíèÿõ æèäêîñòü áóäåò ïðîáóëüêèâàòü ìåæäó êóáèêîì è ïåðåãîðîäêîé òàê, ÷òî òðåáóåìàÿ ðàçíîñòü äàâëåíèé íå óñòàíîâèòñÿ íèêîãäà. Çàäà÷à 5. àññìîòðèì ñèëû, äåéñòâóþùèå íà øàðèêè â ïëîñêîñòè âðàùåíèÿ êàðóñåëè (ñèëû, äåéñòâóþùèå â ïåðïåíäèêóëÿðíîé ïëîñêîñòè ñêîìïåíñèðîâàíû ñèëîé ðåàêöèè îïîðû). Ïðîåêöèÿ 4 èñ. 6: èñ. 7: óñêîðåíèÿ ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ è íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ íà äàííóþ ïëîñêîñòü ïðåäñòàâëåíû íà ðèñóíêå 6 è ðàâíû g̃ = g sin α, Ẽ = E sin α. Ñîîòâåòñòâåííî, íà øàðèêè â ýòîé ïëîñêîñòè äåéñòâóþò ñèëû mg̃ è q Ẽ . Íàïðàâëåíèÿ ýòèõ ñèë äëÿ äëÿ îäíîãî èç ïîëîæåíèé ñì. íà ðèñóíêå 6. Ïóñòü ñíà÷àëà, äëÿ îïðåäåëåííîñòè, q Ẽ − mg̃ > 0. Èññëåäóåì, â êàêîì ïîëîæåíèè êàðóñåëü ìîãëà áû ïîêîèòüñÿ. Ïîíÿòíî, ÷òî ïîëîæåíèå êà- ðóñåëè íà ðèñóíêå 6 íå ìîæåò áûòü ðàâíîâåñíûì: íåñêîìïåíñèðîâàííûé ìîìåíò ñèë ñòðåìèòñÿ ïîâåðíóòü êàðóñåëü èç ýòîãî ïîëîæåíèÿ ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå. Íåñëîæíî íàðèñîâàòü ïîëîæåíèÿ êàðóñåëè, ïðè êîòîðîì ìîìåíòû ïîâîðà÷èâàþùèõ åå ñèë îêàæóòñÿ ñêîìïåíñèðîâàííûìè, (q Ẽ − mg̃)R cos β = (q Ẽ + mg̃)R sin β ⇒ β = arctg Çäåñü ìû õàðàêòåðèçîâàëè ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ óãëîì q Ẽ − mg̃ qE − mg = arctg . qE + mg q Ẽ + mg̃ β (ñì. ðèñ. 7). Òàêèõ ïîëîæåíèé äâà, îäíî ìû èçîáðàçèëè ñåðûìè øàðèêàìè, äðóãîå ÷åðíûìè. Îäíî ïîëîæåíèå èç äðóãîãî o ïîëó÷àåòñÿ ïîâîðîòîì êàðóñåëè íà óãîë 180 . Î÷åâèäíî, åñëè ìîìåíòû ñèë ñêîìïåíñèðîâàíû â îäíîì èç ýòèõ ïîëîæåíèé, òî è â äðóãîì îíè òîæå ñêîìïåíñèðîâàíû. Ïîëîæåíèå, èçîáðàæåííîå íà ðèñóíêå 7 ñåðûìè øàðèêàìè, ÿâëÿåòñÿ óñòîé÷èâûì, à ÷åðíûìè íåóñòîé÷èâûì. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè êàðóñåëü ÷óòü ñäâèíóòü èç ýòèõ ïîëîæåíèé, òî âîçíèêàþùèé ìîìåíò ñèë áóäåò âîçâðàùàòü ñåðûå øàðèêè îáðàòíî, íî åùå áîëüøå óâîäèòü èç ðàâíîâåñèÿ ÷åðíûå. Çíà÷èò, ïîëîæåíèå ñåðûõ øàðèêîâ õàðàêòåðèçóåòñÿ ìèíèìóìîì ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ñèñòåìû Πmin , à ïîëîæåíèå ÷åðíûõ ìàêñèìóìîì Πmin . Áóäåì îòñ÷èòûâàòü ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ îò óðîâíÿ ÎÎ'. Ïðè ýòîì ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî Πmax = −Πmin , âåäü è ýëåêòðè÷åñêàÿ è ãðàâèòàöèîííàÿ ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ êàæäîãî øàðèêà ïðîñòî ìåíÿåò çíàê, åñëè êàðóñåëü ïåðåìåñòèòü èç ñåðîãî ïîëîæåíèÿ â ÷åðíîå. Ââåäåì z+ è z− êîîðäèíàòû âäîëü îñè Z ïîëîæèòåëüíîãî è îòðèöàòåëüíîãî çàðÿäîâ ñî- îòâåòñòâåííî, îòñ÷èòàííûå îò ëèíèè ÎÎ'.  ïîëîæåíèè óñòîé÷èâîãî ðàâíîâåñèÿ z+ = R cos β , z− = −R sin β . Âûðàçèì òåïåðü ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ øàðèêîâ â ïîëîæåíèè óñòîé÷èâîãî ðàâíîâåñèÿ (îíà æå ìèíèìàëüíàÿ ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ êàðóñåëè). Πmin = −mg̃(z+ + z− ) − q Ẽ(z+ − z− ) = −mg̃R(cos β − sin β) − q ẼR(cos β + sin β). 5 Ýòî âûðàæåíèå ìîæíî ñóùåñòâåííî óïðîñòèòü, åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè îðìóëàìè √ √ 2 2 cos β − sin β) = cos(β + 45o ), 2 2 √ √ 2 2 ( cos β + sin β) = sin(β + 45o ), 2 2 √ √ = −mg̃R 2 cos(β + 45o ) − q ẼR 2 sin(β + 45o ). ( ïîëó÷èòñÿ Πmin Åñëè æå ââåñòè åùå è âñïîìîãàòåëüíûé óãîë tg γ = (q Ẽ)/(mg̃) = (qE)/(mg), îðìóëà (7) ñòàíåò åùå êîðî÷å, âåäü ðàçäåëèâ è óìíîæèâ âûðàæåíèå (7) íà sin γ äëÿ êîòîðîãî mg̃ cos γ = q , (q Ẽ)2 + (mg̃)2 q Ẽ , sin γ = q (q Ẽ)2 + (mg̃)2 ïðè êàæäîì ñëàãàåìîì îáíàðóæèòñÿ (7) èëè q (q Ẽ)2 + (mg̃)2 , cos γ , äëÿ êîòîðûõ ñíîâà ìîæíî âîñïîëüçîâàòüΠmin = −ǫ, ãäå ñÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêîé îðìóëîé êîñèíóñà ñóììû. Ïîëó÷èòñÿ √ q ǫ = R 2 (q Ẽ)2 + (mg̃)2 cos(β + 45o − γ). Íàïîìíèì, ÷òî Πmax = −Πmin = ǫ. Ïîëíàÿ ìåõàíè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû ñîõðàíÿåòñÿ. Êîãäà ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ñèñòå2 ìû ìèíèìàëüíà, êèíåòè÷åñêàÿ ìàêñèìàëüíà (è èçâåñòíà ïî óñëîâèþ, Kmax = mV ). Àíàëîãè÷íî, êîãäà ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû ìàêñèìàëüíà, êèíåòè÷åñêàÿ ìèíèìàëüíà (îáîçíà÷èì åå Kmin ). Èòàê, Πmax + Kmin = Πmin + Kmax ⇒ 2 Kmin = Kmax − (Πmax − Πmin ) = mVmax − 2ǫ. Òåïåðü ëåãêî íàéòè ñêîðîñòü øàðèêîâ, ñîîòâåòñòâóþùóþ ýòîé ìèíèìàëüíîé êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè. Çàìåòüòå, ÷òî êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ íå ìîæåò ñòàòü îòðèöàòåëüíîé. Åñëè 0, mV 2 − 2ǫ < êàðóñåëü ïðîñòî íå äîåäåò äî íåóñòîé÷èâîãî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ; âìåñòî òîãî, ÷òîáû ñîâåðøàòü êðóãîîáðàçíîå äâèæåíèå, øàðèêè áóäóò êîëåáàòüñÿ âîêðóã ïîëîæåíèÿ óñòîé÷èâîãî ðàâíîâåñèÿ, à ìèíèìàëüíàÿ ñêîðîñòü èõ áóäåò íóëåâîé. Îñòàëîñü ñîîáðàçèòü, ÷òî âñå ïðèâåäåííûå îðìóëû îñòàþòñÿ ñïðàâåäëèâûìè è â ñëó÷àå q Ẽ − mg̃ < 0. p V 2 − 2ǫ/m, ãäå Îòâåò: Vmin = p √ ǫ = R 2 sin α (qE)2 + (mg)2 cos(β + 45o − γ), Åñëè âûðàæåíèå ïîä êîðíåì â Vmin γ = arctg qE , mg β = arctg qE − mg . qE + mg ñòàíîâèòñÿ îòðèöàòåëüíûì, ìèíèìàëüíàÿ ñêîðîñòü øà- ðèêîâ îáðàùàåòñÿ â íîëü. Çàäà÷à 6. ×åðåç âðåìÿ t òðåóãîëüíèê âúåäåò â îáëàñòü ñ ìàãíèòíûì ïîëåì íà ðàññòîÿíèå x = ut (ñì. L = 2x/ cos 30o (âûäåëåíà ñåðûì íà ðèñóíêå); ðèñ. 8).  ïîëå îêàæåòñÿ ÷àñòü öåïî÷êè äëèíîé çàðÿä öåïî÷êè, îêàçàâøèéñÿ â ìàãíèòíîì ïîëå Q = Lσ = 2xσ/ cos 30o = 2utσ/ cos 30o . Ñèëû Ëîðåíöà, äåéñòâóþùèå ñî ñòîðîíû ìàãíèòíîãî ïîëÿíà êàæäûé èç äâóõ îòðåçêîâ öåïî÷êè, F = (Q/2)Bu íàïðàâëåíû ïî ïðàâèëó ëåâîé ðóêè, â äàííîì ñëó÷àå íàëåâî îòíî- ñèòåëüíî ðèñóíêà. Êîìïîíåíòû (ïðîåêöèè) ýòîé ñèëû, ïåðïåíäèêóëÿðíûå îòðåçêàì öåïî÷êè, êîìïåíñèðóþòñÿ ñèëîé ðåàêöèè òðóáêè, ïîýòìó èõ ìîæíî íå ðàññìàòðèâàòü. 6 Êîìïîíåíòû F1 è F2 , íàïðàâëåííûå âäîëü öåïî÷êè, ðàçãîíÿ- þò öåïî÷êó îòíîñèòåëüíî òðóáêè. Ëåãêî íàéòè ýòè êîìïîíåíòû F1 = F2 = (QBu cos 60o )/2 è ïðè ïîìîùè âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà íàéòè óñêîðåíèå öåïî÷êè âäîëü òðóáêè: ma = F1 + F2 , îòñþäà √ a = (F1 + F2 )/m = QBu cos 60o /m = 2σBu2 t/( 3m). Èòàê, óñêîðåíèå öåïî÷êè â òðóáêå ëèíåéíî ðàñòåò ñî âðåìåíåì. Ñîîòâåòñòâåííî, ñêîðîñòü öåïî÷êè ðàñòåò êâàäðàòè÷íî, √ 2 2 Îòâåò: V (t) = σBu t /( 3m). 7 èñ. 8: √ V (t) = σBu2 t2 /( 3m). àéîííûé òóð 2012. 11 êëàññ. II âàðèàíò Çàäà÷à 1.  âåðõíåé òî÷êå ãîðêè (íà ðåáðå) ñêîðîñòü øàéáû äîëæíà áûòü íàïðàâëåíà ñòðîãî âäîëü âåðõíåãî ðåáðà, èíà÷å øàéáà ïîäñêî÷èò. Ýòî, â îáùåì, î÷åâèäíîå óòâåðæäåíèå ëåãêî äîêàçàòü. Äåéñòâèòåëüíî, ïåðåâàëèâàÿ ÷åðåç ìàëîå çàêðóãëåíèå ñ íåíóëåâîé ñîñòàâëÿþùåé ñêîðîñòè Vy 2 âäîëü îñè Y (ñì. ðèñ. 1), øàéáà áóäåò èìåòü öåíòðîñòðåìèòåëüíîå óñêîðåíèå aö = Vy /r, ãäå r ðàäèóñ çàêðãëåíèÿ. Òàê êàê ïî óñëîâèþ çàêðóãëåíèå íåçíà÷èòåëüíî, r ìàëî, çíà÷èò aö âåëèêî. Âòîðîé çàêîí Íüþòîíà â ïðîåêöèè íà âåðòèêàëüíóþ îñü â âåðõíåé òî÷êå òðàåêòîðèè èìååò ñëåäóþùèé âèä â ïðîåêöèè íà âåðòèêàëüíóþ îñü: ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ aö âåëè÷èíà N mg − N = maö , îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî îáðàòèòñÿ â íîëü, ò.å. øàéáà îòîðâåòñÿ. Èòàê, â âåðõíåé òî÷êå òðàåêòîðèè ñêîðîñòü øàéáû â ïðîåêöèè íà îñü Y äîëæíà áûòü ðàâíà íóëþ. Íî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â êîíöå ïîäúåìà ïî ñêëîíó äîëæíà îáðàòèòüñÿ â íîëü è ñêîðîñòü øàéáû â ïðîåêöèè íà îñü Z, íàïðàâëåííóþ ââåðõ âäîëü ñêàòà (ñì. ðèñ. 2), âåäü, ïðîõîäÿ çàêðóãëåíèå, øàéáà ïðàêòè÷åñêè íå ìåíÿåò ìîäóëü ñâîåé ñêîðîñòè. Òà êîìïîíåíòà ñêîðîñòè, êîòîðàÿ ïåðåä ñàìûì çàêðóãëåíèåì (â êîíöå ïîäúåìà) áûëà íàïðàâëåíà âäîëü îñè Z, íàâåðõó çàêðóãëåíèÿ îêàçæåòñÿ íàïðàâëåíà óæå âäîëü îñè Y. Çíà÷èò, â êîíöå ïîäúåìà ïî íàêëîííîé ïëîñêîñòè ñêîðîñòü øàéáû íàïðàâëåíà èìåííî âäîëü îñè  õîäå äàëüíåéøåãî ðåøåíèÿ âåëè÷èíîé r X. ìû áóäåì ïðåíåáðåãàòü. àññìîòðèì äâèæåíèå øàéáû â ïëîñêîñòè ëåâîãî ñêàòà ãîðêè (ñì. ðèñ. 2, îòìåòèì, ÷òî ñèëû, ïåðïåíäèêóÿðíûå ýòîé ïëîñêîñòè ñêîìïåíñèðîâàíû íà ïðîòÿæåíèè âñåãî âðåìåíè äâèæåíèÿ â äàííîé ïëîñêîñòè). Êàê îáñóæäàëîñü, â âåðõíåé òî÷êå òðàåêòîðèè Ê ñêîðîñòü øàéáû íàïðàâëåíà âäîëü ÎÎ'. Òîãäà ïîíÿòíî, ÷òî äâèæåíèå øàéáû ïî ëåâîìó è ïðàâîìó ñêàòàì ñèììåòðè÷íî, à òðàåêòîðèè ÀÊ è Ê èìåþò îäíó îðìó. Õîòÿ îíè è ëåæàò â ðàçíûõ ïëîñêîñòÿõ, ÀÊ è Ê ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé âåòâè îäèíàêîâûõ ïàðàáîë, ïðè÷åì Ê âåðøèíà îáåèõ ýòèõ ïàðàáîë è äåëèò ðåáðî ÎÎ' ïîïîëàì.  ïðîåêöèè íà îñè X è Z, ëåæàùèå â ïëîñêîñòè ëåâîãî ñêàòà, óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäå- íèÿ èìååò ïðîåêöèþ ëèøü íà îñü Z , ýòà ïðîåêöèÿ îòðèöàòåëüíà è ðàâíà ïî ìîäóëþ g̃ = g sin γ . V0 è α ñîîòâåòñòâåííî. Óðàâíåíèÿ ðàâíîóñêî- Íà÷àëüíóþ ñêîðîñòü è èñêîìûé óãîë îáîçíà÷èì ðåííîãî äâèæåíèÿ äëÿ êîîðäèíàò X(t) = V0 t sin α, Z(t) = V0 t cos α − g̃t2 /2, (1) Vz (t) = V0 cos α − g̃t. (2) à äëÿ ñêîðîñòåé Vx (t) = V0 sin α, tk , êîãäà øàéáà ïðîåçæàåò òî÷êó Ê, ïðîåêöèÿ VZ (tk ) = 0, çíà÷èò âòîðîå óðàâíåíèå (2) äàåò  ìîìåíò âðåìåíè ðàâíîé íóëþ, V0 cos α − g̃tk = 0 Êîîðäèíàòû øàéáû â ýòîò ìîìåíò ⇒ tk = X(tk ) = a/2, Z(tk ) = 3a ñêîðîñòè íà Z ñòàíîâèñÿ V0 cos α . g̃ (ñì. ðèñ 2), çíà÷èò óðàâíåíèÿ (1) ïðèíèìàþò â ýòîé òî÷êå âèä V0 tk cos α − g̃t2k /2 = 3a. V0 tk sin α = a/2 Ïîäñòàâëÿÿ ñþäà tk , ïîëó÷èì ñèñòåìó V02 cos2 α = 3a. 2g̃ a V02 sin α cos α = , g̃ 2 8 (3) èñ. 1: èñ. 2: Îòñþäà ëåãêî âûðàçèòü V0 α. è Íàïðèìåð, ðàçäåëèì ïî÷ëåííî óðàâíåíèÿ (3) äðóã íà äðóãà: 2 tg α = 1 6 ⇒ tg α = 1 . 12 p V0 . 145ag sin γ/24, È, íàêîíåö, èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ (3) âûðàçèì Îòâåò: Íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü øàéáû V0 = α = arctg (1/12). óãîë ýòîé ñêîðîñòè ñ ðåáðîì ÀÎ Çàäà÷à 2. ∆t îáìåíèâàåòñÿ ñ âíåøíèì òåëîì Cp = 5νR/2 òåïëîåìêîñòü ãàçà ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè (ν êîëè÷åñòâî âåùåñòâà ãàçà), ∆T èçìåíåíèå òåìïåðàòóðû ãàçà çà äàííûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè ∆t. Îòìåòèì, ÷òî â äàííîì ïðîöåññå òåìïåðàòóðà ãàçà óáûâàåò, òàê ÷òî òåïëî äîëæíî óõîäèòü Íà èçîáàðå ãàç çà íåáîëüøîé ïðîìåæóòîê âðåìåíè òåïëîòîé ∆Q12 = Cp ∆T , ãäå îò ãàçà ê âíåøíåìó òåëó. Ïðè ïîìîùè óðàâíåíèÿ Êëàéïåðîíà - Ìåíäåëååâà ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî â èçîáàðè÷åñêîì ïðîöåññå νR∆T = p0 ∆V , ãäå ∆V èçìåíåíèå îáúåìà ãàçà çà ðàññìîòðåííûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ èñêîìîé ìîùíîñòè â äàííîì ïðîöåññå W (t) = 5p0 ∆V 5wp0 ∆Q12 = =− . ∆t 2∆t 2 (4) Çäåñü ìû èñïîëüçîâàëè, ÷òî ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ îáúåìà îòðèöàòåëüíà è ðàâíà ïî óñëîâèþ ∆V /∆t = −w. Ýòîò çàêîí äëÿ ìîùíîñòè òåïëîîáìåíà âûïîëíÿåòñÿ, ïîêà îáúåì ãàçà íå ñðàâíÿåòñÿ ñ æóòêà âðåìåíè V0 , òî åñòü åùå â òå÷åíèå ïðîìåèñ. 3: t1 = 3V0 /w. ∆t ïîCv = 3νR/2 Íà èçîõîðå ãàç çà íåáîëüøîé ïðîìåæóòîê âðåìåíè ëó÷àåò îò âíåøíåãî òåëà òåïëîòó ïîñòîÿííîì îáúåìå, ∆T ∆Q23 = Cv ∆T , ãäå òåïëîåìêîñòü ãàçà ïðè èçìåíåíèå òåìïåðàòóðû ãàçà çà ïðîìåæóòîê âðåìåíè ∆t. Îòìåòèì, ÷òî â äàííîì ïðîöåññå òåìïåðàòóðà ãàçà ðàñòåò. Ïðè ïîìîùè óðàâíåíèÿ Êëàéïåðîíà - Ìåíäåëååâà ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî â èçîõîðè÷åñêîì ïðîöåññå νR∆T = V0 ∆p, ãäå ∆p èçìåíåíèå äàâëåíèÿ ãàçà çà ðàññìîòðåííûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ èñêîìîé ìîùíîñòè â äàííîì ïðîöåññå W (t) = ∆Q23 3V0 ∆p = . ∆t 2∆t 9 (5) èñ. 4: èñ. 5: p(t) = p0 + ∆p/∆t = a(t − t1 ). Ïî óñëîâèþ íà èçîõîðå äàâëåíèå ìåíÿåòñÿ ðàâíîóñêîðåííî, òî åñòü ïî çàêîíó a(t − t1 )2 /2. Çíà÷èò, ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ äàâëåíèÿ âåäåò ñåáÿ ëèíåéíî: Ïîäñòàâèâ ýòó âåëè÷èíó â (5), íàéäåì W (t) = 3a(t − t1 )V0 /2. Ýòîò çàêîí äëÿ ìîùíîñòè òåïëîîáìåíà âûïîëíÿåòñÿ, ïîêà äàâëåíèå íå ñðàâíÿåòñÿ ñ 3p0 , 2 òî åñòü â òå÷åíèå ïðîìåæóòêà âðåìåíè t2 , êîãäà p(t1 + t2 ) = p0 + at2 /2 = 3p0 . Íåñëîæíî p âûðàçèòü t2 èç ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà, t2 = 2 p0 /a. 0 ≤ t ≤ t1 = 3V0 /w ìîùíîñòü ïîëó÷àåìîãî òåïëà îòðèöàòåëüíà, ïîñòîÿííà è p W (t) = −5wp0 /2; çàòåì ïðè t1 ≤ t ≤ t1 + t2 (ãäå t2 = 2 p0 /a) ìîùíîñòü ïîëîæèòåëüíà ëèíåéíî ðàñòåò ïî çàêîíó 3a(t − t1 )V0 /2. Òðåáóåìûé ãðàèê ïðåäñòàâëåí íà ðèñóíêå 3. Îòâåò: Ïðè ðàâíà è Çàäà÷à 3. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ êàæäîãî èçîáðàæåíèÿ íàì äîñòàòî÷íî ïðîâåñòè äâà ïåðåñåêàþùèõñÿ ëó÷à. Îäèí íåñëîæíî ïðîâåñòè äëÿ ëþáîãî èçîáðàæåíèÿ ýòî ëó÷ ÏÎ, ïðîõîäÿùèé ÷åðåç öåíòð ñèñòåìû è íåïðåëîìëÿþùèéñÿ ëèíçàìè (ñì. ðèñ. 4). Ëó÷, ïàðàëëåëüíûé äëèííîîêóñíîé ëèíçå, ëó÷ ÏÀ, ïîñëå ïðåëîìëåíèÿ â êîðîòêîîêóñíîé íàïðàâëÿåòñÿ â îêóñ f2 . Äàëüíåéøóþ åãî òðàåêòîðèþ ñëåäóåò ñòðîèòü, âîñïîëüçîâàâ- øèñü òåì, ÷òî âñå ïàðàëëåëüíûå äðóã äðóãó ëó÷è ëèíçà ñîáèðàåò â îäíîé òî÷êå îêàëüíîé ïëîñêîñòè. Ïîñòðîèì âñïîìîãàòåëüíûé ëó÷ ÑÎ, ïàðàëëåëüíûé Àf2 . Ôîêàëüíóþ ïëîñêîñòü äëèííîîêóñíîé ëèíçû DB îí ïåðåñåêàåò â òî÷êå D. Çíà÷èò è ëó÷ Àf2 ïîñëå äëèííîîêóñíîé ëèíçû ïðîéäåò ÷åðåç D. Òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ëó÷åé ÏÎ è ÏÀf2 D äàåò ïîëîæåíèå ïåðâîãî èçîáðàæåíèÿ. Èçîáðàæåíèå ýòî äåéñòâèòåëüíîå. Ïðîâåäåì òåïåðü òàêèå æå ïîñòðîåíèÿ äëÿ ëó÷à, êîòîðûé ñíà÷àëà ïðîõîäèò ÷åðåç äëèííîîêóñíóþ ëèíçó, à çàòåì ÷åðåç êîðîòêîîêóñíóþ (ñì. òåïåðü ðèñóíîê 5). Ëó÷, ïàðàëëåëüíûé êîðîòêîîêóñíîé ëèíçå, ÏÀ íà ðèñ. 5, ïîñëå ïðåëîìëåíèÿ â äëèííîîêóñíîé ëèíçå íàïðàâëÿåòñÿ â îêóñ f1 . Äàëüíåéøàÿ åãî òðàåêòîðèÿ ñòðîèòñÿ òàêæå, êàê â ïðåäûäóùåì ñëó÷àå. Ñòðîèì âñïîìîãàòåëüíûé ëó÷ ÑÎ, ïàðàëëåëüíûé Àf1 . Ôîêàëü- 10 íóþ ïëîñêîñòü êîðîòêîîêóñíîé ëèíçû DB îí ïåðåñåêàåò â òî÷êå D. Çíà÷èò è ëó÷ Àf1 ïîñëå êîðîòêîîêóñíîé ëèíçû ïðîéäåò ÷åðåç D. Òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ëó÷åé ÏÎ è ÏÀf1 D äàåò ñíîâà òî æå ñàìîå èçîáðàæåíèå, ÷òî è óæå ðàññìîòðåííîå. Òåì íå ìåíåå, ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî â ñèñòåìå ñóùåñòâóåò åùå îäíî èçîáðàæåíèå. Îíî ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ ïðîäîëæåíèé ëó÷åé ÎÏ è Àf1 (ñì. òåïåðü ðèñóíîê 5). Èçîáðàæåíèå ýòî ìíèìîå è åãî ìîæíî íàáëþäàòü íàõîäÿñü â îáëàñòè, ãäå ëó÷è ïðåëîìëåíû äëèííîîêóñíîé ëèíçîé, íî åùå íå ïðåëîìëåíû êîðîòêîîêóñíîé, òî åñòü â ÷åòâåðòè ïðîñòðàíñòâà, ðàñïîëîæåííîé íèæå è ïðàâåå òî÷êè Î. Îòâåò: Èìååòñÿ äâà èçîáðàæåíèÿ, ïðåäñòàâëåííûõ íà ðèñ. 5). Âåðõíåå èç äâóõ ýòèõ èçîáðàæåíèé ìíèìîå, à íèæíåå äåéñòâèòåëüíîå. Çàäà÷à 4. Îáîçíà÷èì äàâëåíèå â êðàéíèõ îòñåêàõ P1 , à â ñðåäíåì P2 . àññìîòðèì âíåøíèå ñèëû, äåéñòâóþùèå íà ñèñòåìó êóáèê-ñòåðæåíü-ïîðøåíü. Íàëåâî ñèñòåìó òîëêàåò, âî-ïåðâûõ, ïðàâàÿ ñæàòàÿ ïðóæèíà (ñ ñèëîé kï ∆x), âî-âòîðûõ, P2 s′ ), â òðåòüèõ, ñèëà äàâëå- ñèëà äàâëåíèå æèäêîñòè ñðåäíåãî îòñåêà íà êóáèê (âåëè÷èíîé íèÿ æèäêîñòè ïðàâîãî îòñåêà íà ïîðøåíü (âåëè÷èíîé P1 S ). Êðîìå òîãî, åñëè êóáèê êàñàåòñÿ ïåðåãîðîäêè, íà íåãî ìîæåò äåéñòâîâàòü ñèëà ðåàêöèè ïåðåãîðîäêè, òàêæå íàïðàâëåííàÿ íàëåâî. Íàïðàâî íà íàøó ñèñòåìó äåéñòâóþò: ëåâàÿ ñæàòàÿ ïðóæèíà (ñ ñèëîé kë ∆x); ñèëà äàâP1 s′ ); ñèëà äàâëåíèÿ æèäêîñòè ñðåäíåãî ëåíèå æèäêîñòè ëåâîãî îòñåêà íà êóáèê (âåëè÷èíîé îòñåêà íà ïîðøåíü (âåëè÷èíîé P2 S ). Òàêèì îáðàçîì, ñèëû ñêîìïåíñèðîâàíû, êîãäà N + kï ∆x + P2 s′ + P1 S = kë ∆x + P1 s′ + P2 S. Âûðàçèì îòñþäà N N = (kë − kï )∆x − (P1 − P2 )(S − s′ ). Çàìåòèì, ÷òî åñëè ñèëà ðàâíû, P1 6= P2 . N > 0, (6) êóáèê ïðèæàò ê ïåðåãîðîäêå, è äàâëåíèÿ ìîãóò áûòü íå Åñëè æå â êàêîé-òî ìîìåíò N îáðàùàåòñÿ â íîëü, êóáèê íå âçàèìîäåéñòâóåò ñ ïåðåãîðîäêîé; ïðè ýòîì âîäà ìîæåò ïðîáóëüêèâàòü ìåæäó êóáèêîì è ïåðåãîðîäêîé, à äàâëåíèÿ Êîãäà P1 è P2 âûðàâíÿþòñÿ. P1 = P2 , ñîãëàñíî âûðàæåíèþ (6), N > 0, îòâåðñòèå â ïåðåãîðîäêå çàêðûòî. Êîãäà ýêñïåðèìåíòàòîðû ñòàëè óâåëè÷èâàòü äàâëåíèå â êðàéíèõ îòñåêàõ (P1 ), äàâëåíèå ëà íå ìåíÿåòñÿ. Ïðè ýòîì âû÷èòàåìîå â ðàçíîñòè (6), ïðîïîðöèîíàëüíîå (P1 − P2 ) P2 ñíà÷à- íà÷èíàåò óâåëè÷èâàòüñÿ, à ñèëà ðåàêöèè êóáèêà î ïåðåãîðîäêó óìåíüøàòüñÿ.  òîò ìîìåíò, êîãäà N P1 − P2 = (kï − kë )∆x/(S − s′ ), êóáèê îòðûâàåòñÿ, âîäà ïðîáóëü- îáðàùàåòñÿ â íîëü, ò.å. ïðè êèâàåò è äàâëåíèÿ â îòñåêàõ âûðàâíèâàþòñÿ. Òàêèì îáðàçîì, ðàçíîñòü äàâëåíèé P1 − P2 â îïèñàííîé ñèñòåìå íå ìîæåò ïðåâçîéòè ∆P = (kë − kï )∆x/(S − s′ ). Ñ äðóãîé ñòîðîíû, âñåãäà ìîæíî äîáèòüñÿ (â äîñòàòî÷íîé ñòåïåíè óâåëè÷èâ äàâëåíèå â êðàéíèõ îòñåêàõ è ïðåêðàòèâ åãî óâåëè÷èâàòü êàê ðàç ïåðåä òåì, êàê íà÷íåòñÿ ïðîáóëüêèâàíèå), ÷òîáû ðàçíîñòü äàâëåíèé îêàçàëàñü ðàâíà èìåííî Âûðàæàÿ èç ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà kë , ∆P . ïîëó÷èì îòâåò. kë = k + ∆P (S − s′ )/∆x. Ïðè á0ëüøèõ çíà÷åíèÿõ æåñòêîñòè ëåâîé ïðóæèíêè ðàçíîñòü äàâëåíèé ∆P áóäåò òàêæå âîçìîæíà. Îòâåò: Æåñòêîñòü ëåâîé ïðóæèíêè äîëæíà áûòü ðàâíà Ïðè ìåíüøèõ æå çíà÷åíèÿõ æèäêîñòü áóäåò ïðîáóëüêèâàòü ìåæäó êóáèêîì è ïåðåãîðîäêîé òàê, ÷òî òðåáóåìàÿ ðàçíîñòü äàâëåíèé íå óñòàíîâèòñÿ íèêîãäà. 11 èñ. 6: èñ. 7: Çàäà÷à 5. àññìîòðèì ñèëû, äåéñòâóþùèå íà øàðèêè â ïëîñêîñòè âðàùåíèÿ êàðóñåëè (ñèëû, äåéñòâóþùèå â ïåðïåíäèêóëÿðíîé ïëîñêîñòè ñêîìïåíñèðîâàíû ñèëîé ðåàêöèè îïîðû). Ïðîåêöèÿ óñêîðåíèÿ ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ è íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ íà äàííóþ ïëîñêîñòü ïðåäñòàâëåíû íà ðèñóíêå 6 è ðàâíû ïî ìîäóëþ g̃ = g sin α, Ẽ = E sin α. Ñîîòâåòñòâåííî, íà øàðèêè â ýòîé ïëîñêîñòè äåéñòâóþò ñèëû mg̃ è q Ẽ . Íàïðàâëåíèÿ ýòèõ ñèë äëÿ äëÿ îäíîãî èç ïîëîæåíèé ñì. íà ðèñóíêå 6. Ïóñòü ñíà÷àëà, äëÿ îïðåäåëåííîñòè, q Ẽ − mg̃ > 0. Èññëåäóåì, â êàêîì ïîëîæåíèè êàðóñåëü ìîãëà áû ïîêîèòüñÿ. Ïîíÿòíî, ÷òî ïîëîæåíèå êàðóñåëè íà ðèñóíêå 6 íå ìîæåò áûòü ðàâíîâåñíûì: íåñêîìïåíñèðîâàííûé ìîìåíò ñèë ñòðåìèòñÿ ïîâåðíóòü êàðóñåëü èç ýòîãî ïîëîæåíèÿ ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè. Íåñëîæíî íàðèñîâàòü ïîëîæåíèÿ êàðóñåëè, ïðè êîòîðîì ìîìåíòû ïîâîðà÷èâàþùèõ åå ñèë îêàæóòñÿ ñêîìïåíñèðîâàííûìè, (q Ẽ − mg̃)R cos β = (q Ẽ + mg̃)R sin β ⇒ β = arctg Çäåñü ìû õàðàêòåðèçîâàëè ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ óãëîì q Ẽ − mg̃ qE − mg . = arctg qE + mg q Ẽ + mg̃ β (ñì. ðèñ. 7). Òàêèõ ïîëîæåíèé äâà, îäíî ìû èçîáðàçèëè ñåðûìè øàðèêàìè, äðóãîå ÷åðíûìè. Îäíî ïîëîæåíèå èç äðóãîãî o ïîëó÷àåòñÿ ïîâîðîòîì êàðóñåëè íà óãîë 180 . Î÷åâèäíî, åñëè ìîìåíòû ñèë ñêîìïåíñèðîâàíû â îäíîì èç ýòèõ ïîëîæåíèé, òî è â äðóãîì îíè òîæå ñêîìïåíñèðîâàíû. Ïîëîæåíèå, èçîáðàæåííîå íà ðèñóíêå 7 ñåðûìè øàðèêàìè, ÿâëÿåòñÿ óñòîé÷èâûì, à ÷åðíûìè íåóñòîé÷èâûì. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè êàðóñåëü ÷óòü ñäâèíóòü èç ýòèõ ïîëîæåíèé, òî âîçíèêàþùèé ìîìåíò ñèë áóäåò âîçâðàùàòü ñåðûå øàðèêè îáðàòíî, íî åùå áîëüøå óâîäèòü èç ðàâíîâåñèÿ ÷åðíûå. Çíà÷èò, ïîëîæåíèå ñåðûõ øàðèêîâ õàðàêòåðèçóåòñÿ ìèíèìóìîì ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ñèñòåìû Πmin , à ïîëîæåíèå ÷åðíûõ ìàêñèìóìîì Πmin . Áóäåì îòñ÷èòûâàòü ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ îò óðîâíÿ ÎÎ'. Ïðè ýòîì ëåãêî çàìåòèòü, 12 ÷òî Πmax = −Πmin , âåäü è ýëåêòðè÷åñêàÿ è ãðàâèòàöèîííàÿ ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ êàæäîãî øàðèêà ïðîñòî ìåíÿåò çíàê, åñëè êàðóñåëü ïåðåìåñòèòü èç ñåðîãî ïîëîæåíèÿ â ÷åðíîå. Ââåäåì z+ è z− êîîðäèíàòû âäîëü îñè Z ïîëîæèòåëüíîãî è îòðèöàòåëüíîãî çàðÿäîâ ñîîò- âåòñòâåííî, îòñ÷èòàííûå îò ëèíèè ÎÎ'.  ïîëîæåíèè óñòîé÷èâîãî ðàâíîâåñèÿ z− = R cos β . z+ = −R sin β , Âûðàçèì òåïåðü ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ øàðèêîâ â ïîëîæåíèè óñòîé÷èâîãî ðàâíîâåñèÿ (îíà æå ìèíèìàëüíàÿ ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ êàðóñåëè). Πmin = −mg̃(z+ + z− ) + q Ẽ(z+ − z− ) = −mg̃R(cos β − sin β) − q ẼR(cos β + sin β). Ýòî âûðàæåíèå ìîæíî ñóùåñòâåííî óïðîñòèòü, åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè îðìóëàìè ïîëó÷èòñÿ Πmin √ √ 2 2 cos β − sin β) = cos(β + 45o ), ( 2 2 √ √ 2 2 ( cos β + sin β) = sin(β + 45o ), 2 2 √ √ = −mg̃R 2 cos(β + 45o ) − q ẼR 2 sin(β + 45o ). Åñëè æå ââåñòè åùå è âñïîìîãàòåëüíûé óãîë q Ẽ sin γ = q , (q Ẽ)2 + (mg̃)2 tg γ = (q Ẽ)/(mg̃) = (qE)/(mg), sin γ äëÿ êîòîðîãî mg̃ cos γ = q , (q Ẽ)2 + (mg̃)2 îðìóëà (7) ñòàíåò åùå êîðî÷å, âåäü ðàçäåëèâ è óìíîæèâ âûðàæåíèå (7) íà ïðè êàæäîì ñëàãàåìîì îáíàðóæèòñÿ (7) èëè q (q Ẽ)2 + (mg̃)2 , cos γ , äëÿ êîòîðûõ ñíîâà ìîæíî âîñïîëüçîâàòüΠmin = −ǫ, ãäå ñÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêîé îðìóëîé êîñèíóñà ñóììû. Ïîëó÷èòñÿ √ q ǫ = R 2 (q Ẽ)2 + (mg̃)2 cos(β + 45o − γ). Íàïîìíèì, ÷òî Πmax = −Πmin = ǫ. Ïîëíàÿ ìåõàíè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû ñîõðàíÿåòñÿ. Êîãäà ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ñèñòå2 ìû ìèíèìàëüíà, êèíåòè÷åñêàÿ ìàêñèìàëüíà (è èçâåñòíà ïî óñëîâèþ, Kmax = mV ). Àíàëîãè÷íî, êîãäà ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû ìàêñèìàëüíà, êèíåòè÷åñêàÿ ìèíèìàëüíà (îáîçíà÷èì åå Kmin ). Èòàê, Πmax + Kmin = Πmin + Kmax ⇒ 2 Kmin = Kmax − (Πmax − Πmin ) = mVmax − 2ǫ. Òåïåðü ëåãêî íàéòè ñêîðîñòü øàðèêîâ, ñîîòâåòñòâóþùóþ ýòîé ìèíèìàëüíîé êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè. Çàìåòüòå, ÷òî êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ íå ìîæåò ñòàòü îòðèöàòåëüíîé. Åñëè 0, mV 2 − 2ǫ < êàðóñåëü ïðîñòî íå äîåäåò äî íåóñòîé÷èâîãî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ; âìåñòî òîãî, ÷òîáû ñîâåðøàòü êðóãîîáðàçíîå äâèæåíèå, øàðèêè áóäóò êîëåáàòüñÿ âîêðóã ïîëîæåíèÿ óñòîé÷èâîãî ðàâíîâåñèÿ, à ìèíèìàëüíàÿ ñêîðîñòü èõ áóäåò íóëåâîé. Îñòàëîñü ñîîáðàçèòü, ÷òî âñå ïðèâåäåííûå îðìóëû îñòàþòñÿ ñïðàâåäëèâûìè è â ñëó÷àå q Ẽ − mg̃ < 0. p Îòâåò: Vmin = V 2 − 2ǫ/m, ãäå p √ ǫ = R 2 sin α (qE)2 + (mg)2 cos(β + 45o − γ), 13 γ = arctg qE , mg β = arctg qE − mg . qE + mg Åñëè âûðàæåíèå ïîä êîðíåì â Vmin ñòàíîâèòñÿ îòðèöàòåëüíûì, ìèíèìàëüíàÿ ñêîðîñòü øà- ðèêîâ îáðàùàåòñÿ â íîëü. Çàäà÷à 6. ×åðåç âðåìÿ t òðåóãîëüíèê âúåäåò â îáëàñòü ñ ìàãíèòíûì ïîëåì íà ðàññòîÿíèå x = ut (ñì. L = 2x/ cos 45o (âûäåëåíà ñåðûì íà ðèñóíêå); ðèñ. 8).  ïîëå îêàæåòñÿ ÷àñòü öåïî÷êè äëèíîé çàðÿä öåïî÷êè, îêàçàâøèéñÿ â ìàãíèòíîì ïîëå Q = Lσ = 2xσ/ cos 45o = 2utσ/ cos 45o . Ñèëû Ëîðåíöà, äåéñòâóþùèå ñî ñòîðîíû ìàãíèòíîãî ïîëÿíà êàæäûé èç äâóõ îòðåçêîâ öåïî÷êè, F = (Q/2)Bu íàïðàâëåíû ïî ïðàâèëó ëåâîé ðóêè, â äàííîì ñëó÷àå íàëåâî îòíîñèòåëüíî ðèñóíêà. Êîìïîíåíòû (ïðîåêöèè) ýòîé ñèëû, ïåðïåíäèêóëÿðíûå îòðåçêàì öåïî÷êè, êîìïåíñèðóþòñÿ ñèëîé ðåàêöèè òðóáêè, ïîýòìó èõ ìîæíî íå ðàññìàòðèâàòü. Êîìïîíåíòû F1 è F2 , íàïðàâëåííûå âäîëü öåïî÷êè, ðàçãîíÿ- þò öåïî÷êó îòíîñèòåëüíî òðóáêè. Ëåãêî íàéòè ýòè êîìïîíåíòû F1 = F2 = (QBu cos 45o )/2 è ïðè ïîìîùè âòîðîãî çàêîíà Íüþèñ. 8: òîíà íàéòè óñêîðåíèå öåïî÷êè âäîëü òðóáêè: ma = F1 + F2 , îòñþäà a = (F1 + F2 )/m = QBu cos 45o /m = 2σBu2 t/m. Èòàê, óñêîðåíèå öåïî÷êè â òðóáêå ëèíåéíî ðàñòåò ñî âðåìåíåì. Ñîîòâåòñòâåííî, ñêîðîñòü öåïî÷êè ðàñòåò êâàäðàòè÷íî, 2 2 Îòâåò: V (t) = σBu t /m. 14 V (t) = σBu2 t2 /m.