¿Para qué valor de k el siguiente conjunto de vectores es linealmente dependiente? 1 −2 −1 −2 2−k , a2 = 3 , a3 = A = a1 = −2 2 2 − 4 k + k 2 2 −5 1 − 3k Indique su respuesta en las posibles: 1 Hay mas de dos valores de k. 2 No existe valor de k. 3 Sólo para el valor k= 4 Sólo para k = 0 y para k= Solución Nuestro resultado clave 3 es: Un conjunto de vectores A = {a1 , . . . , ak } es linealmente independiente (dependiente) si y sólo si [a1 · · · ak |0] tiene solución única (resp. infinitas soluciones). Formemos la aumentada 1 −2 −1 0 −2 3 2−k 0 [a1 a2 a3 |0] = −2 2 2 − 4 k + k2 0 2 −5 1 − 3k 0 Como la matriz tiene variables; no es conveniente reducir. Escalonemos solamente mediante las operaciones: 1. 2. 3. 4. 5. R2 R3 R4 R3 R4 → R2 + 2 R1 → R3 + 2 R1 → R4 − 2 R1 → R3 − 2 R2 → R4 − 1 R2 y matriz queda: 1 0 0 0 −2 −1 0 0 −1 −k k2 − 4 k 3 − 2k 0 0 0 0 Vemos que las columna 1 y 2 tiene pivote numérico, es decir, sin la variable k. Por tanto, no es posible escoger un valor de b que haga cero uno de estos pivotes. Ası́, el conjunto es linealmente dependiente si y sólo si la tercera columna no tiene pivote. Pero hay dos posiciones que pueden dar origen a pivote: tanto en el renglón 3 como en el 4. Para no tener pivote en esas localidades ambos tienen que ser cero: k2 − 4 k = 0 → k = 0 y b = 4 3 − 2 k = 0 → k = 3/2 Observamos que como las raı́ces de la primera ecuación son diferentes de las raı́ces de la segunda; no hay un mismo valor de k que haga a esas dos cantidades cero simultáneamente. Por lo tanto, el pivote está garantizado en la columna 3, independientemente del valor de k: No existe un valor de k para el cual el conjunto de vectores sea linealmente dependiente. La opción correcta es la 2