Matemática, Armonía y Proporcionalidad de Belleza en el Entorno, a través del Número de Oro Resumen El número de oro fue estudiado desde antaño y hasta la actualidad por sobresalientes matemáticos. Su relación con la armonía y la belleza de nuestro entorno, así como también las propiedades que posee como número irracional motivó la curiosidad de un grupo de estudiantes, de segundo año medio, para realizar la presente investigación. Se consultó, en libros e internet, estudios que abarcaban diferentes áreas: matemática, botánica, arquitectura, anatomía, arte, y la naturaleza. Donde se encontró que por diversas razones, casi inconscientemente, los investigadores y creadores se encuentran con este patrón numérico, (el número de oro). Este estudio es impulsado con la idea de acercar, desde visiones no imaginadas, a la matemática con otras áreas. Para lo cual se comprobaron y verificaron propiedades del número de oro, utilizando conocimientos básicos de geometría, álgebra y trigonometría. Durante todo el proceso se recogió, clasificó y registró información. 13 Investigadores Escolares Bárbara Rocío Carrasco Carrasco (16 años) Ángela Natalia Lagos Pincheira (16 años) Camila Yanira Sáez Elgueta (16 años) Scarlet Margarita Sáez Elgueta (16 años) Javier Ignacio Sepúlveda Campos (16 años) Hoy en día, cuando las matemáticas se nos hacen más familiares, hablamos de un número que ha cautivado desde tiempos remotos por su armonía y belleza de sus aplicaciones. Este es un número áureo, también llamado: “el número de oro”; se conoce como Phi y su símbolo es . Para realizar este estudio se consultaron Profesora Guía fuentes de internet con el fin de investigar hechos Sandra Margarita Mamani Elgueta del entorno que tuvieran relación con las matemáticas. En las páginas de Explora se Establecimiento encontró información sobre el centro del girasol Colegio Concepción de San Carlos y su relación con la sucesión Fibonacci, hecho que finalmente capturó la atención y guió este Asesores Científicos estudio hacia el número de oro, “Phi”, en todos los ámbitos. José Sánchez, Doctor en Matemática, Decano Phi es un número irracional de valor Facultad Ciencias Físicas y Matemáticas, 1.61803398… ; Se puede encontrar desde tiempos Universidad de Concepción. antiguos en arquitectura, pintura, esculturas, Monitor: Ricardo Oyarzúa, Licenciado en Matemática, Universidad de Concepción. Introducción “Un matemático, como un pintor o un poeta, música, geometría, en objetos cotidianos, en la sucesión de Fibonacci y más increíblemente en las proporciones de seres vivos, incluyendo por supuesto al ser humano. El propósito de este proyecto es demostrar las propiedades de . descubiertas y aplicadas en el pasado. Para ello, se estudiaron fórmulas, es un fabricante de modelos. Si sus modelos son establecieron más duraderos que los de estos últimos, es debido teoremas en el área de la geometría y álgebra, a que están hechos de ideas. Los modelos del lo que permitió acercar a Phi con sus matemático, como los del pintor o los del poeta aplicaciones. Además, se espera transmitir y deben ser hermosos. La belleza es la primera enseñar en forma amigable conceptos prueba; no hay lugar permanente en el mundo matemáticos correspondientes al nivel de para unas matemáticas feas” (G.H. Ardí). enseñanza media, dando respuestas a ¿Por qué se habla de belleza y de interrogantes como: ¿Qué es Phi?, ¿De dónde matemática a la vez? Buscando respuesta a se obtiene?, ¿Cuál es su relación con la belleza esta pregunta se encontraron los siguientes y armonía?, ¿Cuáles son sus aplicaciones?. proporciones, se utilizaron conceptos: divina proporción, número áureo, estética de las proporciones, la sucesión de Fibonacci, sección áurea y número de oro, entre otros. Lo que llevó a preguntarse qué motivación tuvo Kepler para señalar que“ La Geometría tiene dos grandes tesoros : el Teorema de Pitágoras; división de una línea en una proporción extrema y una media” 14 Materiales • Libros, revistas científicas, • Sitios de internet • Programas computacionales matemáticos: Cabri y Mathype. • Instrumentos de geometría. Método 1. Estudio bibliográfico del número de oro, en diferentes áreas. 2. Estudio algebraico y geométrico del número de oro y sus propiedades, utilizando demostraciones por inducción para dar validez a las propiedades encontradas. 3. Selección de información de las aplicaciones del número de oro. 4. Presentación de la información. Resultados El número de oro se estudió geométricamente dividiendo un segmento en media y extrema razón. Fue Euclides, quien introdujo la división de un segmento cumpliendo estas condiciones, y lo definió así: "Se dice que un segmento está dividido en media y extrema razón cuando el segmento total es a la parte mayor como la parte mayor es a la menor". Si C , es el punto que divide armónicamente al segmento AB , se obtiene de esta división la siguiente proporción. a b A B C Considerando x = x2 – x -1=0 , a b a a+b = b a , se da origen a la ecuación de segundo grado. donde una de sus soluciones es = 1+ 5 2 Más tarde esta división armónica pasó a llamarse la divina proporción. Luego, en el siglo XV, desde Leonardo da Vinci, la sección áurea. Para contextualizar , realizamos la siguiente construcción: Dado AB segmento, se levanta una perpendicular E en B, que mide la mitad de AB, obteniéndose el punto E. Después, se une A con E , con centro en E y radio EB, se traza un arco sobre AE, determinando D. Luego, con centro en A y radio D AD, se traza un arco que determina C, sobre AB, obteniendo el punto C que divide C A AE = B armónicamente a AB, la cual se utilizó para obtener . AB( 5 - 1), entonces AB 1+ 5 AB 5 ; AD = AC = = = 2 2 AC 2 divide armónicamente a AB 2 siendo el punto C, quien AB 15 También, se construyó y estudió el rectángulo áureo, el más bello y armónico en el que se cumple que cuociente del lado mayor entre el menor, es el número . Este rectángulo se inicia de un cuadrado, en la figura, de lado AR y longitud a, se une el punto medio P del lado AR con el vértice S, luego se traza un arco con centro en P, y radio PS, obteniéndose en la prolongación de AR , el punto B. Finalmente se obtiene el rectángulo dorado ABCD. D a d = a2 + 2 2 2 2 = a + S C R B 2 a 5a 5a = = 4 2 4 a d 5a a 1+ 5 ; base = 2 2 d= AB = A a + d ; PB = d ; BC = a 2 P AB = 1,618... BC Por su construcción posee una curiosa propiedad: si se le quita un cuadrado, el mayor posible, se obtiene otro rectángulo semejante al primero. 8 13 13 21 2 3 5 2 8 3 1 1 5 Uniendo los arcos de circunferencia se obtiene la espiral Los seguidores de Pitágoras pensaban que el mundo estaba configurado según un orden numérico donde sólo tenían cabida los números racionales. El azar hizo que en su propio símbolo la estrella pentagonal o pentágono estrellado, se encontrara el número de oro. 2 Como phi es solución de la ecuación x –x-1 =0, nos interesó estudiar algunas curiosidades algebraicas de phi como, por ejemplo: = 1 16 = 1+ 5 = 1.618... 2 -1 - 1 = 0.618... 2 =1+ Continuando con ese análisis nos interesó estudiar las potencias, las cuales tenían una estrecha relación con los términos de la sucesión de Fibonacci. Así se estudió la siguiente expresión de Edouard Lucas que genera los términos de la sucesión desde n>1. t 1+ 5 2 n= n n 1- 5 2 - , la cual se utilizó para obtener las siguientes expresiones que nos entregan potencias con exponentes positivos y negativos de . 5 n = t n + t n-1 ; n >1 -n = Y (- 1) n+1t n -1 + (- 1) nt n , n>1 De la misma forma se obtuvo otra relación para las potencias de phi. n = n-2 + n-1 En los seres vivos Desde la antigüedad se sabe que algunas partes del cuerpo humano guardan la proporción áurea. En el libro “La Divina Proporción de Luca Pacioli” editado en 1509, se propone un hombre perfecto en el que las relaciones entre las distintas partes de su cuerpo sean proporciones áureas. Por ejemplo, en el dedo, entre la distancia entre la 1ª y la 2ª falange y entre la 2ª y la 3ª. Hacia 1850 Zeysing constató estadísticamente que el ombligo divide al cuerpo humano según la razón áurea. Éstas y otras relaciones se verificaron en distintas personas obteniendo la siguiente información. 1 - 15 años Medidas de cara Medidas de dedos 1 - 15 años 15 - 30 años 30 - 60 años Nº de personas 20 Nº de personas 15 - 30 años 15 10 5 0 1,5 1,6 1,7 1,8 Cuocientes 1,9 2 30 - 60 años 16 14 12 10 8 6 4 2 0 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 Cuocientes Al parecer todos los seres humanos bien proporcionados (considerados bellos, artistas de cine famosos), tienen aproximadamente la proporción 1.618… Del mismo modo, cuando se alcanza la madurez física esta proporción se acerca más a 1,618… En el campo de la odontología, se ha descubierto que la dentadura crece siguiendo proporciones áureas, y de la misma forma lo hacen otros rasgos faciales como la sonrisa, respecto al arco dental, la distancia entre los ojos y otras. Esta es la razón por la que el Dr. Marquardt creó una máscara áurea que se utiliza para cirugías plásticas. Tal vez por eso los puntos básicos de acupuntura se distribuyen en la cara en diferentes rectángulos de oro. 17 Discusión Internet: El estudio algebraico y geométrico realizado • Proyecto Nicolás Weinstein Crenovich, del número de oro, ha servido para entender Simetría y Espiral, Revisado en noviembre 2005. los desafíos que se plantearon en el pasado • Monográficos de divulgación, Las algunos matemáticos como Euclides, seguidores constantes de la Naturaleza, Revisado en octubre de Pitágoras y otros que estudiaron y demos- 2005. traron las propiedades y características de este Anexos número. Al realizar este estudio se encontró que a lo largo de la historia de la humanidad, el número de oro ha sido utilizado frecuentemente por el hombre en creaciones que se relacionan con el concepto de belleza y proporción. Así también, es uno de los modelos utilizados por la naturaleza cuando se trata de orden y armonía. No se puede afirmar que el número de oro regula nuestro entorno, pero sí que convivimos con él a diario. Conclusiones Al término de la investigación, después de realizar el estudio algebraico y geométrico del número de oro se encontró que este número ha sido objeto de estudio desde siempre, por parte de investigadores y creadores en diversas áreas, además de la matemática. Es un número que motiva su estudio vinculando múltiples ámbitos con las matemáticas. Además, incentiva a los amantes de esta ciencia a dar sus primeros pasos en investigaciones. Por último, no se tienen los conocimientos necesarios, ni los medios, para afirmar que este patrón numérico regula la creación humana y natural. Pero sí se puede señalar que se relaciona con los conceptos de armonía, belleza y proporción. Literatura Citada • Ghyka Matilda C. Estética de las proporciones en la naturaleza y en las artes, Poseidón, 1977. 18 • Más Demostraciones del Número de Oro: www.udec.cl/pasantias