Transparencias

Proyecciones y bases ortonormales
Curso 2016-17
1
Proyecciones
Definición
Una matriz P ∈ Cn×n se dice que es una proyección si es una
matriz idempotente. Es decir, si P 2 = P.
Proposición
Si P ∈ Cn×n es una proyección también lo es In − P. A ésta se le
llama proyección complementaria de P y cumple que
Ker(P) = Im(In − P) y Ker(In − P) = Im P.
Proposición
Si P ∈ Cn×n es una proyección entonces Im(P) ⊕ Ker(P) = Cn
Conclusión: Si P es una proyección, proyecta Cn sobre Im(P) a lo
largo de Ker(P).
2
Proyecciones ortogonales
Definición
Una proyección P ∈ Cn×n es ortogonal si Ker(P) = (Im(P))⊥ .
Proposición
Una proyección P es ortogonal si y sólo si P = P ∗ (i.e., es
hermı́tica).
Proposición
Una matriz P ∈ Cn×n de rango r es una proyección ortogonal si y
sólo si existe una matriz Q ∈ Cn×r , con columnas ortonormales, tal
que P = QQ ∗ .
3
Propiedades de las proyecciones ortogonales
1
2
3
QQ ∗ proyecta ortogonalmente sobre Im(Q) (paralelamente a
(Im(Q))⊥ = Ker(Q ∗ )).
In − QQ ∗ proyecta ortogonalmente sobre (Im(Q))⊥
(paralelamente a Im(Q)).
Las proyecciones ortogonales de rango 1 son de la forma:
Pq = qq ∗ , q un vector unitario. Proyectan ortogonalmente
sobre < q >. Su complementaria, In − qq ∗ , es de rango n − 1
y proyecta ortogonalmente sobre < q >⊥ .
4
Algoritmo clásico de Gram-Schmidt
F=RoC
Algoritmo clásico de Gram-Schmidt
Dada A = a1 a2 · · ·
an ∈ Fm×n , m ≥ n, rang(A) = n,
R=zeros(n,n)
Q=A
for j = 1:n
for i = 1:j − 1
rij = qi∗ aj
qj = qj − rij qi
end for
rjj = kqj k2
qj
qj =
rjj
end for
5
Algoritmo modificado de Gram-Schmidt
F=RoC
Algoritmo modificado de Gram-Schmidt
Dada A = a1 a2 · · ·
an ∈ Fm×n , m ≥ n, rang(A) = n,
R=zeros(n,n)
Q=A
for j = 1:n
for i = 1:j − 1
rij = qi∗ qj (Método Clásico: rij = qi∗ aj )
qj = qj − rij qi
end for
rjj = kqj k2
qj
qj =
rjj
end for
6
Existencia y unicidad de factorización QR
Teorema
Si A ∈ Cm×n (m ≥ n) tiene rango completo admite una única
factorización QR.
Teorema
Toda matriz A ∈ Cm×n (m ≥ n) admite una factorización QR.
Factorización reducida vs completa Si A ∈ Cm×n , m ≥ n y
A = QR es una factorización reducida
Q̃ = Q Q1 ∈ Cm×m unitaria
R
R̃ =
∈ Cm×n
0
A = Q̃ R̃ factorización completa
7
Un análisis experimental de la estabilidad
disp(’Escogidas U y V matrices unitarias 80x80
aleatorias’)
0
10
S=diag(2.^(-1:-1:-80));
A=U*S*V’;
[QC,RC]=clgs(A);
[QM,RM]=mgs(A);
axis([1 80 10^(-25) 10^0])
semilogy(1:80, diag(RC),’*’);
hold on
semilogy(1:80,diag(RM),’o’);
−5
10
eps1/2
−10
rjj
10
−15
10
eps
−20
10
2−j
−25
10
10
20
30
40
j
semilogy(1:80, 2.^(-1:-1:-80),’r.-’);
plot(1:80,sqrt(eps).*ones(80),1:80,eps.*ones(80))
8
50
60
70
80
Pérdida numérica de la ortogonalidad
>> A=[ 0.70000 0.70711; 0.70001 0.70711];
>> [Q R]=mgs(A)
>> norm(A-Q*R)
ans =
0
>> norm(Q’*Q-eye(2))
ans =
2.301436818896718e-11
>> [Q R]=qr(A)
>> norm(A-Q*R)
ans =
2.680315483308931e-16
>> norm(eye(2)-Q’*Q)
ans =
2.351490101248793e-16
9