Proyecciones ortogonales - Apuntes y ejercicios de matemáticas

Proyecciones ortogonales
Objetivos. Conocer algunas propiedades de proyecciones en espacios vectoriales (considerados sin producto interno), establecer su correlación con sumas directas. Conocer
proyecciones ortogonales en espacios con producto interno, establecer su relación con sumas ortogonales.
Proyecciones
1. Definición (proyección). Sea V un EV/F. Una transformación lineal P ∈ L(V ) se
llama proyección si P 2 = P .
2. Proposición (descripción de la imagen de una proyección). Sea P ∈ L(V ) una
proyección. Entonces
im(P ) = {v ∈ V : P v = v}.
Demostración. 1. Sea v ∈ im(P ). Entonces existe un u ∈ V tal que v = P u. De allı́
P v = P (P u) = P 2 u = P u = v.
2. Sea v ∈ V tal que P v = v. Entonces v = P v ∈ im(P ).
3. Proposición (proyección complementaria). Sea P ∈ L(V ) una proyección: P 2 =
P . Entonces I − P también es una proyección, y
im(I − P ) = ker(P ),
ker(I − P ) = im(P ).
Demostración. 1. Primero checamos que I − P es una proyección:
(I − P )2 = I − 2P + P 2 = I − 2P + P = I − P.
2. Demostremos la igualdad im(I − P ) = ker(P ). Si w ∈ im(I − P ), esto es, w = (I − P )v,
entonces
P (w) = P (I − P )v = (P − P 2 )v = (P − P )v = 0.
Si w ∈ ker(P ), entonces P w = 0 y
w = w − P w = (I − P )w ∈ im(I − P ).
3. Para obtener la igualdad ker(I − P ) = im(P ), apliquemos la parte 2 a la proyección
I − P.
4. Ejercicio. Demuestre directamente que ker(I − P ) = im(P ).
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5. Ejemplo (proyección del plano a una recta). Conseremos el plano con un punto
fijo O como espacio vectorial V 2 (O). Sean `1 y `2 dos rectas que intersectan en el punto
O. Sea P la proyección del plano V 2 (O) a la recta `1 paralelamente a la recta `2 .
6. Ejercicio. Cheque que la transformación de R2 asociada con la matriz
−5 −3
P =
10
6
es una proyección, construya una base de la imagen y una base del núcleo.
7. Proposición (proyección genera una suma directa). Sea V un EV/F y sea
P ∈ L(V ) una proyección. Entonces V es la suma directa de sus subespacios im(P ) y
ker(P ):
V = im(P ) u ker(P ),
8. Proposición (suma directa genera dos proyecciones complementarias). Sea
V un EV/F y sean W1 , W2 subespacios de V tales que V es suma directa de W1 y W2 :
V = W1 u W2 .
Entonces existe una única proyección P ∈ L(V ) tal que
im(P ) = W1 ,
ker(P ) = W2 .
La proyección complementaria Q = I − P tiene imagen W2 y núcleo W1 .
9. Tarea adicional. Sean A, B ∈ Mn (F) matrices tales que A2 = A, B 2 = B y la matriz
In − A − B es invertible. Demuestre que A y B son del mismo rango: r(A) = r(B).
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Proyecciones ortogonales
10. Definición (proyección ortogonal). Sea V un espacio vectorial real o complejo
con producto interno. Una transformación lineal P ∈ L(V ) se llama proyección ortogonal
si es una proyección y es autoadjunta:
P2 = P
P ∗ = P.
y
Nota acerca de la terminologı́a. ¿Y por qué se llama proyección ortogonal ? La siguiente proposición responde esta pregunta.
11. Proposición (criterio de proyección ortogonal). Sea P ∈ L(V ) una proyección.
Entonces:
P ∗ = P es ortogonal
⇐⇒
im(P ) ⊥ ker(P ).
Demostración. Implicación ⇒. Sea P ∗ = P . Sean u ∈ im(P ), w ∈ ker(P ), esto es,
P u = u,
P w = 0.
Entonces
hu, wi = hP u, wi = hu, P ∗ wi = hu, 0i = 0.
Implicación ⇐. Supóngase que im(P ) ⊥ ker(P ). Demostremos que P ∗ = P , esto es, para
todos u, v ∈ V se tiene que
hP u, vi = hu, P vi.
Consideremos el lado izquierdo:
∈
∈
hP u, vi = hP u, P v + (I − P )vi = hP u, P vi + h P u , (I − P )v i = hP u, P vi.
|{z} | {z }
im(P )
im(I−P )
k
ker(P )
De manera similar transformemos el lado derecho:
hu, P vi = hP u + (I − P )u, P vi = . . . = hP u, P vi.
12. Ejemplo. Sean `1 y `2 dos rectas en V 2 (O) tales que `1 ∩ `2 = {O}, y sea P la
proyección del plano V 2 (O) a la recta `1 paralelamente a la recta `2 . Entonces,
P es ortogonal
⇐⇒
`1 ⊥ `2 .
13. Corolario (proyección ortogonal genera una suma ortogonal). Sea P ∈ L(V )
una proyección ortogonal. Entonces V es suma ortogonal de im(P ) y ker(P ):
V = im(P ) ⊕ ker(P ),
esto es,
V = im(P ) + ker(P )
y
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im(P ) ⊥ ker(P ).
14. Corolario (suma ortogonal genera una proyección ortogonal). Sean W1 , W2
subespacios de V tales que V es suma ortogonal de W1 y W2 :
V = W1 ⊕ W2 .
Entonces existe una única proyección P ∈ L(V ) tal que im(P ) = W1 , ker(P ) = W2 , y
esta proyección es ortogonal: P ∗ = P .
15. Ejercicio (diagonalización unitaria de una proyección ortogonal). Sea P ∈
Mn (C). Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:
(a) P 2 = P y P ∗ = P .
(b) existe una matriz unitaria U ∈ Un (C) y una matriz diagonal D de forma
D = diag(1, . . . , 1, 0, . . . , 0)
tales que A = U DU −1 .
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