Parcial III – Cálculo Vectorial Octubre 27 de 2009 Resuelva completamente el punto I y uno entre el II y el III (15 Puntos) I. Considere la esfera x2 + y 2 + z 2 = 4 y el cilindro x2 + y 2 − 2y = 0. (i) Haga una gráfica de ambas superficies, encuentre y grafique su curva de intersección. (ii) Encuentre el área de la superficie de la esfera que se encuentra sobre el plano x-y y dentro del cilindro. (iii) Encuentre el volumen de la región interior tanto al cilindro como a la esfera. (5 Puntos) II. Sea R el cuadrado de vértices (0, 1), (1, 2), (2, 1) y (1, 0). Calcule la siguiente integral: ZZ (x + y)2 cos2 (x − y) dA. R (5 Puntos) III. Haga una gráfica del sólido cuyo volumen está dado por la integral Z √ Z √ 2 Z √ 2 2 2 √ − 2 2−x √ − 2−x2 Calcule el volumen correspondiente. 6−x −y dz dy dx. x2 +y 2 Solución I. (i) La esfera x2 + y 2 + z 2 = 4 está centrada en el origen y tiene radio 2, el cilindro x2 + y 2 − 2y = 0 o, completando el cuadrado, x2 + (y − 1)2 = 1, tiene centro en (0, 1, 0) y su radio es 1, ası́ que su curva de intersección es la ilustrada en la siguiente gráfica: Esfera: xl+l+Z2=4 3 x Cilindro: r=2sen fJ (ii) El área de la superficieFigura de la 14.64 esfera que se encuentra sobre el plano x-y y dentro del cilindro está dada por la integral s 2 2 ZZ ZZ r ∂z 4 ∂z A(S) = 1+ dA, + dA = 2 − y2 ∂x ∂y 4 − x D D que, en coordenadas cilı́ndricas, con 0 ≤ θ ≤ π y 0 ≤ r ≤ 2 sen θ, queda Z π Z 2sen θ Z π2 h p i2sen θ 2 √ A(S) = r dr dθ = 2 −2 4 − r2 dθ 0 4 − r2 0 0 0 Z π2 hp i = −4 4 − 4 sen2 θ − 2 dθ 0 Z π 2 = −8 (cos θ − 1) dθ = 4π − 8. 0 (iii) El volumen interior a la esfera y al cilindro está dado por la integral V (E) = que, en coordenadas cilı́ndricas, con 0 ≤ θ ≤ π y 0 ≤ r ≤ 2 sen θ, queda π Z V (E) Z = 0 0 2 sen θ √ Z 4−r 2 √ − 4−r 2 Z π 2 Z r dz dr dθ = 2 0 E p 2 4 − r2 r dr dθ 0 2sen θ Z π i 3 3 2 4 2h 2 32 dθ = − − (4 − r ) = 2 (4 − 4 sen2 θ) 2 − 4 2 dθ 3 3 0 0 0 Z π2 Z π2 32 32 = − (cos3 θ − 1) dθ = (1 − cos θ + sen2 θ cos θ) dθ 3 0 3 0 π sen3 θ 2 16 32 = θ − sen θ + = (3π − 4). 3 3 9 0 Z π 2 2 sen θ RRR 2 dV II. La integral RR R (x + y)2 cos2 (x − y) dA sugiere la siguiente sustitución: v = x − y, u = x + y, que convierte el cuadrado R en un cuadrado con vértices en (1, −1), (3, −1) (3, 1),y (1, 1). Calculando las derivadas parciales de x = u+v y y = u−v tenemos que el jacobiano de la 2 2 transformación es ∂x ∂x 1 1 1 ∂u ∂v 2 2 J = det = det =− . 1 1 ∂y ∂y − 2 2 2 ∂u ∂v Ası́, en términos de las nuevas variables la integral a calcular es: ZZ (x + y)2 cos2 (x − y) dA = = 13 3 3 1 R Z Z 3 cos2 v dv = 1 13 3 3 Z 1 Z 1 u2 cos2 v | − −1 1 1 | dv du = 2 2 Z 1 3 u3 3 1 cos2 v dv −1 3 13 1 13 1 1 1 + cos 2v dv = v − sen 2v = 2 − sen 6 + sen 2 . 2 6 2 6 2 2 1 III. La gráfica del sólido cuyo volumen está dado por la integral Z √ Z √ 2 Z √ 2 2 2 √ − 2 6−x −y 2−x √ − 2−x2 dz dy dx x2 +y 2 es la siguiente: Esfera: X1+l+Z2=6 3 Paraboloide: z=X1+l 2 y x Q: X1+lszs -I6-X1-l - -12 - x2 s y s -12 - X1 -v'2sxs .,fi 14.58 Para calcular tal volumen,Figura pasando a coordenadas cilı́ndricas, tenemos que x = r cos θ, y = r senθ, 3 r2 = x2 + y 2 , luego √ Z 2 √ − 2 √ Z 2−x2 √ − 2−x2 Z √6−x2 −y2 Z 2π √ Z 2 √ Z dz dy dx = x2 +y 2 Z 0 √ 2 2π 0 Z = Z 2 √ Z 6−r 2 r dzdr dθ = 2π 0 = √ 6−r 2 √ r2 0 r2 p ( 6 − r2 − r2 )r dr √ 2 r 2π r dzdr 0 p 6− r2 Z dr − 2π 0 2 r3 dr 4 √2 i√ 2 3 2π h r = − (6 − r2 ) 2 − 2π 3 4 0 0 3 3 4 2π 2π 2π √ 2π = (6) 2 − (4) 2 − (2) 2 = ( 216 − 11). 3 3 4 3 4