Conceptos básicos de Algebra

CONCEPTOS ALGEBRAICOS BASICOS
OBJETIVOS:
1.Expresar relaciones numéricas mediante símbolos numéricos y
literales.
2.Reconocer las expresiones algebraicas y sus elementos.
3.Reducir y evaluar expresiones algebraicas con y sin parámetros
4.Resolver operaciones de adición, sustracción y multiplicación de
expresiones algebraicas.
5.Calcular productos notables.
NOMENCLATURA ALGEBRAICA :
Variable:
Es un símbolo que representa cualquier número o valor de un
conjunto dado y que puede cambiar. Normalmente se utilizan
las últimas letras del alfabeto para identificar una variable (sin que
ello sea excluyente).
Por ej:
t ; x ; y ; z ; u ; v ; etc.
Constante: Es un valor fijo, que no sufre modificaciones y puede ser
numérica o literal, en cuyo caso se acostumbra a utilizar las
primeras letras del alfabeto para identificarlas.
Por ej:
18
3.141516
a
b
c
4
etc.
Término algebraico:
Es el producto de una o más variables o una constante literal ó
numérica. Están separados, entre ellos, uno de otro por un signo
de suma o resta.
3
Por ej:
3a ; 6abx ; -acy ; r5 ; etc.
4
Cuando no existe signo explícito escrito entre dos símbolos, se
entiende que es multiplicación.
Monomio:
Binomio :
Trinomio :
Polinomio:
Es la expresión algebraica con 1 sólo término algebraico.
Es la expresión algebraica con 2 términos algebraicos.
Es la expresión algebraica con 3 términos algebraicos.
Es la expresión algebraica con 4 o más términos algebraicos.
Expresiones Algebraica:
Es la combinación de uno ó más términos algebraicos mediante la
operación de adición o substracción.
5
Por ej:
ax + 2by2 − xy
6
2
3x + 4x2 −
3
ax2 + bx + c
Grado de un término algebraico:
Es la suma de los exponentes de sus factores literales.
Por ej :
-5a3c2d
3x2
2 2
xy
3
Grado del término = 3 + 2 + 1 = 6
Grado del término = 2
Grado del término = 2 + 1 = 3
Grado de un polinomio :
Está determinado por el mayor grado de alguno de sus términos
cuyo coeficiente es distinto de cero.
Polinomio de una variable :
Es una expresión algebraica de la forma:
an xn + an-1 xn-1 + an-2xn-2 + ........ + a1x + a0
n ∈ N0
que también puede expresarse de la forma:
a0 + a1 x + a2 x 2 + ............. + an x n
2
p. ej: 5x 2 +3x 3 − x+1
3
3 + 4x - 5x 2
t 2 - 6t + 8
y - 2y 3 + 3y 4 - 2y 5
3y - 6
n ∈ N0
polinomio de 4º grado
trinomio de 2º grado
trinomio de 2º grado
polinomio de 5º grado
binomio de 1er grado
VALORACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS:
Valorar una expresión algebraica significa asignar un valor numérico o
literal a cada variable de los términos y resolver las operaciones indicadas en la
expresión para determinar su valor final.
p. ej: Valorar la expresión 5x 2 y - 8xy 2 - 9y 3 para x = 2 e
1º)
y = −1
Se reemplaza cada variable por el valor asignado, cuidando de usar
paréntesis para los valores negativos.
5x 2 y - 8xy 2 - 9y 3 = 5·2 2 ·(−1) - 8·2·(−1) 2 - 9·(−1) 3
2º) Se resuelven en primer lugar las potencias
5x 2 y - 8xy 2 - 9y 3 = 5· 4 ·(-1) - 8·2·1 - 9·(-1)
3º) A continuación se resuelven las multiplicaciones y/o divisiones
5x 2 y - 8xy 2 - 9y 3 = - 20 - 16 + 9
4º)
Finalmente (y siempre en último lugar) las adiciones y/o
substracciones
5x 2 y - 8xy 2 - 9y 3 = -27
REDUCCION DE TERMINOS SEMEJANTES :
Se denominan términos semejantes en una expresión algebraica, a
todos aquellos términos que tienen igual factor literal.
p. ej:
2x - 0,3x + 2x 3 - 0,5x
En la expresión
2x
es semejante con − 0,3x y con − 0,5x
En la expresión
5a 2 b + 3axb + 6a 2 b 3 - 7a 2 b
5a 2 b es semejante con − 7a 2 b
Reducir términos semejantes :
Consiste en sumar los coeficientes numéricos, conservando el factor
literal que es común.
p. ej: 5a 2 b + 3axb + 6a 2 b 3 - 7a 2 b = (5 + -7)a 2 b + 3axb + 6a 2 b 3
= -2a 2 b + 3axb + 6a 2 b 3
2x - 0,3x + 2x 3 - 0,5x = (2 + - 0,3 + - 0,5) + 2x 3
= 1,2x + 2x 3
MULTIPLICACIONES O PRODUCTOS
Multiplicación o Producto de 2 monomios:
Se multiplican los coeficientes con los coeficientes (repetando la regla de
los signos para la multiplicación de 2 enteros) y los factores literales entre si
(anotándolos en lo posible en orden alfabético), aplicando las propiedades de
las potencias.
p. ej: 2a2 b3 ⋅ 3ab2 = 6 a 3b 5
− 4 xy2 ⋅ 3xy = − 12 xy 3
− 6 ax2 y ⋅ −2 xy 2 = 12 ax3y 3
Multiplicación o producto de un monomio por un polinomio:
Se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio,
teniendo en cuenta en cada caso la regla de los signos del producto de 2
enteros, separando los productos parciales con los signos que resultaron de
cada producto.
Si corresponde, reduzca finalmente los términos semejantes.
p. ej: 3ax 2 ( 2ax − bx3) = 6a 2x 3 − 3abx5
− 2ax 3y2 ( 2x − 3xy + y 2) = − 4ax 4y 2 + 6ax 4y 3 − 2ax3 y 4
3x ( x 2 − 2xy + y 2) = 3x 3 − 6x 2y + 3xy2
4x(x − y) − 3y(x + y) − 2(x 2 − y 2) =
4x 2 − 4xy − 3xy − 3y 2 − 2x 2 + 2y 2
2x 2 − 7xy − y 2
reduciendo términos sem.
Multiplicación o producto de 2 polinomios:
Se multiplican todos los términos de uno de los factores por cada uno de los
términos del otro factor, teniendo en cuenta la ley de los signos en el producto.
Cada producto se separa del otro, con el correspondiente signo y finalmente se
reducen términos semejantes.
p.ej:
(2x − 1)(3x 2 − 4x + 2) = 6x 3 − 4x 2 + 4x −3x 2 + 4x − 2
reduciendo términos semejantes, queda
6x 3 − 7x 2 + 8x − 2
Orden de los términos:
En una expresión algebraica, los términos se ordenan de izquierda a derecha
3x 2 − 5x + 6xy − 3y 2
2º
3er 4º
1er
término
PRODUCTOS NOTABLES :
CUADRADO DE UN BINOMIO : ( a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2
Es igual al cuadrado del primer término, más o menos el doble producto
del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo término.
p. ej: ( 3x + 2 ) 2 = 9x 2 + 12x + 4
( x - 3y ) 2 = x 2 - 6xy + 9y 2
CUBO DE UN BINOMIO : ( a ± b) 3 = a 3 ± 3a2b + 3ab2 ± b 3
Es igual al cubo del primer término, más o menos el triple producto del
cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el
cuadrado del segundo, más o menos el cubo del segundo término
p. ej: ( 2 + 3x ) 3 = 8 + 36x + 54x 2 + 27x 3
( 1 - 2y ) 3 = 1 - 6y + 12y 2 - 8 y 3
SUMA POR DIFERENCIA : ( a + b )( a - b ) = a 2 - b 2
Es igual al cuadrado del primer término, menos el cuadrado del segundo
término.
p. ej: ( x - 3 )( x + 3 ) = x 2 - 9
( 2y +1)(2y - 1) = 4y 2 – 1
PRODUCTO DE 2 BINOMIOS CON UN TÉRMINO EN COMÚM:
( x + a )( x + b ) = x 2 + ( a + b )x + a⋅b
Es igual al cuadrado del término común, más la suma de los términos
diferentes por el término común, más el producto de los términos diferentes.
p. ej: ( x + 2 )( x + 3 ) = x 2 + ( 2 + 3)x + 2⋅3 = x 2 + 5x + 6
( 2y +1)(2y + 3) = (2y) 2 + ( 1 + 3)⋅ 2y + 1 ⋅ 3 = 4y 2 + 4y + 3
( x − 3)(x + 5) = x 2 + ( − 3 + 5)⋅x + (−3)(5) = x 2 + 2x − 15