Clase 6

Solución Clásica de Rayleigh-Jeans (1900)
La Hipótesis: Los electrones de las paredes se agitan térmicamente
y emiten radiación electromagnética dentro de la cavidad.
En la cavidad se establece y se mantiene un equilibrio térmico mediante la
absorción y re-radiación de la energía por las paredes.
La radiación dentro de la caja de volumen V consta de ondas estacionarias
con nodos en las paredes.
El número de ondas estacionarias para el intervalo de frecuencias
es
8πV 2
N ( f )df = 2 f df
c
f
y
f + df
La energía promedio por onda cuando el sistema esta en equilibrio es
donde T es la temperatura y k es la constante de Boltzman
E = kT
k = 1,37 *10 −23 J ⋅ K
Así multiplicando el número de ondas por la energía promedio se obtiene la
densidad de energía (acuérdese del grafico!)
8πν 2
ρT ( f )df = 3 kTdf
c
Al comparar esta ecuación con los
resultados experimentales queda de
manifiesto un error en la teoría
clásica.
predice una energía infinita, lo
que difiere del resultado
experimental.
Solución de Planck
Max Planck
Explica el mecanismo que hace que los
átomos radiantes produzcan
la distribución de energía observada,
El Nacimiento de La Teoría Cuántica
Planck sugirió:
La radiación dentro de la cavidad está en equilibrio con los átomos de las paredes
que se comportan como osciladores armónicos de frecuencia dada f . (i.e la energía)
Promedio de las ondas estacionarias depende de la frecuencia
Cada oscilador puede absorber o emitir energía de la radiación en una cantidad
proporcional a f. Cuando un oscilador absorbe o emite radiación electromagnética,
su energía aumenta o disminuye en una cantidad hf . (Energías Discretas)
Las suposiciones de Planck se pueden resumir en la igualdad:
En = nhf ,
Donde h es una constante. La famosa constante de Planck h=6,63*10-34Js, n es un
NUMERO ENTERO y f es la frecuencia.
En son los posibles valores de energía correspondiente del modo de frecuencia f, as
La energía promedio viene dada por
E =
hf
e hf / kT − 1
Con la fórmula de Planck la densidad de energía radiada toma la forma
8πf 2 hf
ρT ( f )df = 2 hf / kt df
−1
c e
FORMULA DE PLACK PARA LA RADIACIÓN DE CUERPO NEGRO
O bien en terminos de la longitud de onda,
c = λf
8πc
1
 df 
ρT (λ )dλ = ρT ( f ) dλ = 5 hc / λkT dλ
−1
λ e
 dλ 
Antes de seguir examinemos el curioso supuesto de las energías discretas
Energía proporcional a la amplitud de la oscilación, todo valor esta permitido.
Energía Clásica es Continua
Cuánticamente (la idea de Planck), no todas las amplitudes estan permitidas.
Los posibles cambios en la energía NO pueden tener un
tamaño arbitrariamente pequeño
Periodo = 2 (s)
f = 0.5 (ciclos/s)
Si calculamos el cambio en la energía
usando la idea de Planck
∆E = hf = 3,3 *10 −34 J
Por otro lado clásicamente la energía del péndulo
∆E << E
E = mgd ≈ 2 J
La Ley del Desplazamiento de Wien
La posición del máximo en el espectro de la radiación del cuerpo negro depende de la
temperatura del cuerpo negro y está dado por la ley de desplazamiento de Wien.
Calculando la derivada primera de la función de la distribución de Planck expresada
en términos de la longitud de onda o de la frecuencia
d 1
1

 5 hc / λkT
=0
−1 
dλ  λ e
Obtenemos la ecuación trascendente
con
(
)
5 e x − 1 − xe x = 0
hc
x=
= 4.965
λm kT
Este resultado constituye la ley de desplazamiento de Wien,
que establece que el máximo de la densidad de energía a distintas temperaturas
T1, T2, T3, .., se produce a las longitudes de onda λ1, λ2, λ3 tales que
λ1T1 = λ2T2 = λ3T3 = 2898 *10 mK
−3
Donde C es una constante 2,897 y
T es la temperatura del cuerpo en
kelvin
5800 K
0.5 µm
Espectro del Sol. El sol emite la mayor parte de su radiación en la banda
de longitud de onda entre los 0.1 y 4.0 micrometros (µm).
288 K
10 µm
Espectro de la Tierra. La tierra emite la mayor parte de su radiación en la banda
de longitud de onda entre los 0.4 y 30.0 micrometros (µm).
La Ley de Stefan-Boltzmann
El flujo de energía emitida por un cuerpo negro esta relacionado
con la cuarta potencia de la temperatura absoluta del cuerpo T
La intensidad (energía por unidad de área y unidad de tiempo)
por unidad de longitud de onda para la longitud de onda l , de un cuerpo negro
a la temperatura absoluta T, viene dada por la expresión
dEλ 2πhc
1
=
dλ
λ5 e hc / λkt − 1
2
La intensidad total en W·m2, de la radiación emitida por un cuerpo negro,
se obtiene integrando la expresión anterior para todas las longitudes
de onda (o frecuencias).
∞
∞
0
0
E = ∫ dEλ = ∫ dE f
luego:
Eλ = 2πhc
∞
2
∫
0
dλ
λ5 (e
usamos el cambio de variables x =
hc
λhT
− 1)
hc
y obtenemos que
λkT
dx = −
reemplazamos en la expresión anterior
∞
2π (kT ) x 3
dx
Wλ =
3 2
x
∫
hc
e −1
0
4
usamos el hecho BIEN SABIDO QUE:
∞
x3
π
∫0 e x − 1 dx = 15
hc
dλ
2
λ kT
2π k 4
T
Eλ =
3
15h c
5
o bien
4
W=σT4, con σ =5.670·10-8 (Wm-2K-4)
Esta expresión se conoce como Ley de Stefan-Boltzmann.
La energía emitida por un cuerpo negro por unidad de área y unidad de tiempo
es proporcional a la cuarta potencia de la temperatura absoluta T.
Del mismo modo, integrando dEf/df para todas las frecuencias,
podemos comprobar que la densidad de energía de la radiación contenida
en una cavidad es proporcional a la cuarta potencia de la temperatura absoluta
T de sus paredes. La constante de proporcionalidad vale σ ‘=4 σ /c.
Efecto Fotoeléctrico
Luz Incidente
e
Electrón
eyectado
Un metal como un contenedor de
electrones
frecuencia ν
Intensidad I
Heinrich Hertz (1889)
Philipp Lenard (1899)
Dispositivo Experimental
En el circuito de la figura, conectamos el potenciómetro de manera que la
parte negativa (cátodo) esté conectada a placa iluminada. De esta manera
un aumento de potencial provoca que los electrones arrancados
sean atraídos hacia la otra placa (ánodo).y lleguen a ella
por efectos del campo eléctrico.
Si aumentamos el potencial observamos que un mayor número de
electrones llega al ánodo
Variando el voltaje que nos suministra el potenciómetro y registrando
la intensidad de corriente ( i ) para una intensidad de la radiación incidente
fija ( I ) y para luz de una determinada frecuencia de radiación
ν >ν 0
ν <ν 0
Mayor Intensidad
Ahora invertimos la conexión del potenciómetro
El fotón consigue desprender electrones del receptor pero las
fuerzas electrostáticas impiden su llegada a la otra placa,
no se observa circulación de corriente.
El potencial de corte está invertido y observa que lo
que antes era un cátodo ahora es positivo.
I1 = I 0
I 2 = 2I 0
I 3 = 3I 0
A mayor Intensidad conseguimos arrancar
mas electrones, OJO no significa electrones
Mas rápidos.
Potencial de corte es el mismo en todos los
casos
V0 Potencial de Frenado o Potencial de Corte
I1 = I 0
I2 = I0
Potencial de corte distinto en todos los
casos
I3 = I0
Observaciones Experimentales
•Sólo algunos materiales emiten electrones con luz visible
•Cada metal requiere, para que se produzca la extracción,
una radiación con una frecuencia mínima (νo). Cualquier otra radiación de
menor frecuencia, no será capaz de arrancar electrones.
Por debajo de la frecuencia mínima la intensidad de corriente
-"i" (amperios)- será cero. No hay efecto fotoeléctrico.
Existe una frecuencia umbral.
•La emisión es prácticamente instantánea y no depende de la
Intensidad - I- ( watt/m2)de la luz incidente.
El tiempo es del orden de 10 –9 s ( 1ns ).
•La intensidad de la corriente fotoeléctrica (i, amperes, reflejo del número
de electrones liberados) que origina una radiación de una determinada
longitud de onda que incide sobre una superficie metálica, aumenta
si aumentamos la intensidad de radiación "I" (watt/m2).
Teoría Electromagnética Clásica
La energía de los electrones debería depender de la intensidad,
NO de la frecuencia
Si la intensidad es baja, debería haber un tiempo de acumulación hasta que un
Electrón logre salir!!!!
Explicación de A. Einstein (PN 1921)
1.-La energía no se transmite repartida en toda la onda
(como se suponía en la teoría clásica), sino agrupada
en unos paquetes de energía que llamó CUANTOS DE
ENERGÍA (fotones ) (partícula sin masa en reposo,
pero con una cantidad de movimiento y energía)
que se mueven con la onda.
1905
2.- El cuanto de energía es proporcional a la frecuencia
Eγ = hν
Cuando la luz llega a la superficie del metal la energía no se reparte
equitativamente entre los átomos que componen las primeras capas en las que
el haz puede penetrar, sino que por el contrario sólo algunos átomos
son impactados por el fotón que lleva la energía y, si esa energía es
suficiente para extraer los electrones de la atracción de los núcleos,
los arranca del metal.
Función Trabajo de un Metal: mínima energía necesaria para sacar un electrón
(Ф)
Metales
Función
Trabajo
(eV)
Sodio
2.28
Aluminio
4.08
Cobre
4.7
Plata
4.73
Plomo
4.14
Fierro
4.50
Así
Si el fotón tiene
Eγ > eΦ
Si el fotón tiene
Eγ < eΦ
Los electrones salen de inmediato
NO salen electrones
Transferencia de energía es 1 fotón a 1 electrón
La energía cinética de los electrones emitidos
depende de la frecuencia de la radiación incidente y
de la posición que ocupa ese electrón en el metal.
K = hν − eΦ
Ecuación de Einstein.
(La energía incidente menos el trabajo de extracción es
igual a la energía cinética del electrón extraído)
Existe un potencial de corte (Vo) o potencial de frenado para el que i=0.
Este potencial de corte es independiente de la intensidad de la radiación (I),
pero depende de su frecuencia.
ν →ν c
K max → 0
hν c = eΦ
Volvamos al experimento con el Potencial Inverso
Logran llegar al cátodo solo los
Electrones con K > e∆V
I=0
Kmáx = e∆V
Experimental
∆V0 = aν + b
a: Pendiente del gráfico
b: Intercepto del grafico
Teórico de la ecuación de Eisntein
hν = e∆V0 + eΦ
h
a=
e
b = −Φ
Finalmente podemos afirmar que
La energía emitida es discontinua, va en paquetes, tal como había enunciado
Planck (que sin embargo creía que se propagaba repartida en la onda, como lo
suponía la teoría clásica).
El aporte original de Einstein es que la energía se transmite e
impacta de manera
discontinua o discreta, en paquetes.