TEORÍA DE COLAS: OTROS MODELOS ALEJANDRO TERÁN C. MODELO M/G/1 APLICABLE A SISTEMAS CON: • LLEGADAS POISSONIANAS (M/). • TIEMPO DE SERVICIO CON CUALQUIER DISTRIBUCIÓN (/G/). • UN SERVIDOR (/1). • DISCIPLINA FIFO. TEORÍA DE COLAS: OTROS MODELOS 2 MODELO M/G/1: MEDIDAS DE DESEMPEÑO ρ= λ µ λ P0 = 1 µ =1-ρ ρ <1 λ2σ 2 + ρ 2 λ2σ 2 + ( λ/µ ) 2 Lq = = 2(1 − ρ ) 2(1 − λ / µ ) L = Lq + Wq = λ µ = Lq + ρ Lq λ 1 W = Wq + µ λ PW = =ρ µ TEORÍA DE COLAS: OTROS MODELOS 3 EJEMPLO UN RESTAURANTE DE HAMBURGUESAS CUENTA CON UNA ÚNICA CAJA DE PAGO. EL CAJERO TOMA EL PEDIDO, DETERMINA EL COSTO TOTAL, RECIBE EL DINERO DEL CLIENTE Y SURTE EL PEDIDO. UNA VEZ CUBIERTO EL PEDIDO DE UN CLIENTE, EL EMPLEADO TOMA EL PEDIDO DEL SIGUIENTE CLIENTE EN LA COLA. SI LLEGA UN CLIENTE CUANDO EL CAJERO SE ENCUENTRA AÚN TOMANDO UN PEDIDO, EL CLIENTE QUE LLEGA SE FORMA EN LA FILA. LAS LLEGADAS SON POISSONIANAS (PROMEDIO DE LLEGADAS: 45 CLIENTES/HORA). LA DURACIÓN DEL TIEMPO DE SERVICIO SIGUE UNA DISTRIBUCIÓN NORMAL (SERVICIO PROMEDIO: 60 CLIENTES/HORA), CON DESVIACIÓN ESTÁNDAR DE 2 MINUTOS. TEORÍA DE COLAS: OTROS MODELOS 4 EJEMPLO (CONTINUACIÓN) λ ρ = µ = 0.75/1 = 0.75 P0 = 1 - λ = 1 - ρ = 1 - 0.75 = 0.25 µ L = Lq + λ = Lq + ρ µ ρ <1 = 5.625 + 0.75 = 6.375 λ2σ 2 + ( λ/µ ) 2 λ2σ 2 + ρ 2 = [(0.75)2(2)2 + (0.75/1)2]/[2(0.25)] Lq = = 2(1 − λ / µ ) 2(1 − ρ ) = 5.625 TEORÍA DE COLAS: OTROS MODELOS 5 EJEMPLO (CONTINUACIÓN) Wq = Lq λ = 5.625/0.75 = 7.5 MINUTOS W = Wq + PW = λ µ 1 = 7.5 + 1 = 8.5 MINUTOS µ = ρ = 0.75 TEORÍA DE COLAS: OTROS MODELOS 6 EJEMPLO (CONTINUACIÓN) TEORÍA DE COLAS: OTROS MODELOS ColasMG1Cl.xls 7 EJEMPLO (CONTINUACIÓN) TEORÍA DE COLAS: OTROS MODELOS ColasMG1Cl.xls 8 MODELO M/D/1 APLICABLE A SISTEMAS CON: • LLEGADAS POISSONIANAS (M/). • TIEMPO DE SERVICIO DETERMINISTA (/D/). • UN SERVIDOR (/1). • DISCIPLINA FIFO. TEORÍA DE COLAS: OTROS MODELOS 9 MODELO M/D/1: MEDIDAS DE DESEMPEÑO ρ= λ µ λ P0 = 1 µ Lq = ( λ/µ ) 2 2(1 − λ / µ ) L = Lq + Wq = ρ <1 =1-ρ λ µ = ρ2 2(1 − ρ ) = Lq + ρ Lq λ 1 W = Wq + µ λ PW = =ρ µ TEORÍA DE COLAS: OTROS MODELOS 10 EJEMPLO UN RESTAURANTE DE HAMBURGUESAS CUENTA CON UNA ÚNICA CAJA DE PAGO. EL CAJERO TOMA EL PEDIDO, DETERMINA EL COSTO TOTAL, RECIBE EL DINERO DEL CLIENTE Y SURTE EL PEDIDO. UNA VEZ CUBIERTO EL PEDIDO DE UN CLIENTE, EL EMPLEADO TOMA EL PEDIDO DEL SIGUIENTE CLIENTE EN LA COLA. SI LLEGA UN CLIENTE CUANDO EL CAJERO SE ENCUENTRA AÚN TOMANDO UN PEDIDO, EL CLIENTE QUE LLEGA SE FORMA EN LA FILA. LAS LLEGADAS SON POISSONIANAS (PROMEDIO DE LLEGADAS: 45 CLIENTES/HORA). LA DURACIÓN DEL TIEMPO DE SERVICIO ES DETERMINISTA (CAPACIDAD DEL SERVICIO: 60 CLIENTES/HORA). TEORÍA DE COLAS: OTROS MODELOS 11 EJEMPLO (CONTINUACIÓN) λ ρ = µ = 0.75/1 = 0.75 P0 = 1 - λ = 1 - ρ = 0.75/1 = 0.75 µ L = Lq + ρ <1 λ = Lq + ρ = 1.125 + 0.75 µ = 1.875 ( λ/µ ) 2 ρ2 Lq = = = (0.75)2/[2(0.25)] 2(1 − λ / µ ) 2(1 − ρ ) = 1.125 TEORÍA DE COLAS: OTROS MODELOS 12 EJEMPLO (CONTINUACIÓN) Wq = Lq λ = = 1.125/0.75 = 1.5 MINUTOS W = Wq + PW = λ µ 1 = 1.5 + 1 µ = 2.5 MINUTOS = ρ = 0.75 TEORÍA DE COLAS: OTROS MODELOS 13 EJEMPLO (CONTINUACIÓN) TEORÍA DE COLAS: OTROS MODELOS ColasMD1Cl.xls 14 EJEMPLO (CONTINUACIÓN) TEORÍA DE COLAS: OTROS MODELOS ColasMD1Cl.xls 15 MODELO M/G/k CON CLIENTES QUE ABANDONAN EL SISTEMA POR BLOQUEO APLICABLE A SISTEMAS CON: • LLEGADAS POISSONIANAS (M/). • TIEMPO DE SERVICIO CON CUALQUIER DISTRIBUCIÓN (/G/). • K SERVIDORES (/k). • DISCIPLINA FIFO. SI AL LLEGAR UN CLIENTE ENCUENTRA TODOS LOS SERVIDORES OCUPADOS, ABANDONA EL SISTEMA. TEORÍA DE COLAS: OTROS MODELOS 16 MODELO M/G/k CON CLIENTES QUE ABANDONAN EL SISTEMA: MEDIDAS DE DESEMPEÑO PROBABILIDAD DE QUE HAYA j SERVIDORES OCUPADOS Pj = (λ / µ )j / j! k (λ / µ )i ∑ i =0 i! PROBABILIDAD DE QUE TODOS LOS SERVIDORES ESTÉN OCUPADOS (λ / µ )k / k! PK = k (λ / µ )i ∑ i! i =0 NÚMERO PROMEDIO DE CLIENTES EN EL SISTEMA L= λ (1 - PK) µ TEORÍA DE COLAS: OTROS MODELOS 17 EJEMPLO EL SERVICIO TELEFÓNICO DE ATENCIÓN A CLIENTES DE UNA EMPRESA CUENTA CON TRES LÍNEAS. LAS LLAMADAS LLEGAN DE MANERA POISSONIANA, CON UNA TASA DE 12 LLAMADAS/HORA. EN PROMEDIO, CADA UNO DE LOS ASESORES PUEDE ATENDER 6 CLIENTES/HORA. TEORÍA DE COLAS: OTROS MODELOS 18 EJEMPLO (CONTINUACIÓN) λ = 12 LLAMADAS/HORA. µ = 6 LLAMADAS/HORA. K = 3 SERVIDORES. λ/µ = 12/6 = 2 K ∑ i =0 (λ / µ )i i! = 20/0! + 21/1! + 22/2! + 23/3! = 19/3 = 6.3333 TEORÍA DE COLAS: OTROS MODELOS 19 EJEMPLO (CONTINUACIÓN) PROBABILIDAD DE QUE HAYA j SERVIDORES OCUPADOS Pj = (λ / µ )j / j! k (λ / µ )i ∑ λ = 12 µ =6 i! λ/µ =2 P0 = (20/0!)/(19/3) = 3/19 = 0.15785 K=3 i =0 P1 = (21/1!)/(19/3) = 6/19 = 0.315789 P2 = (22/2!)/(19/3) = 6/19 = 0.315789 P3 = (23/3!)/(19/3) = 4/19 = 0.210526 TEORÍA DE COLAS: OTROS MODELOS 20 EJEMPLO (CONTINUACIÓN) PROBABILIDAD DE QUE TODOS LOS SERVIDORES ESTÉN OCUPADOS λ = 12 P3 = (λ / µ )3 / 3! k (λ / µ )i ∑ i =0 µ =6 = 4/19 = 0.210526 λ/µ =2 i! K=3 NÚMERO PROMEDIO DE CLIENTES EN EL SISTEMA L= λ (1 - PK) = (2)(1 - 4/19) = 30/19 = 1.578947 µ TEORÍA DE COLAS: OTROS MODELOS 21 EJEMPLO (CONTINUACIÓN) TEORÍA DE COLAS: OTROS MODELOS ColasMGKBloqCl.xls 22 EJEMPLO (CONTINUACIÓN) TEORÍA DE COLAS: OTROS MODELOS ColasMGKBloqCl.xls 23 EJEMPLO (CONTINUACIÓN) TEORÍA DE COLAS: OTROS MODELOS ColasMGKBloqCl.xls 24 MODELO M/M/1 CON POBLACIÓN FINITA DE CLIENTES (MACHINE REPAIR PROBLEM) SISTEMA M/M/1 CON UNA POBLACIÓN DE N CLIENTES ATENDIDOS. • LLEGADAS POISSONIANAS (M/). • TIEMPO DE SERVICIO EXPONENCIAL (/M/). • UN SERVIDOR (/1). • DISCIPLINA FIFO. TEORÍA DE COLAS: OTROS MODELOS 25 MODELO M/M/1/N: MEDIDAS DE DESEMPEÑO P0 = 1 N N! λ ∑ (N − n )! µ n=0 n ρ <1 λ +µ (1 − P0 ) λ L = Lq + (1 - P0) Lq = N − Wq = Lq (N − L )λ W = Wq + 1 µ n N! λ Pn = P0 (N − n )! µ TEORÍA DE COLAS: OTROS MODELOS 26 EJEMPLO UNA EMPRESA TIENE SEIS EQUIPOS IDÉNTICOS DE MANUFACTURA. EL TIEMPO ENTRE FALLAS DE CADA UNO DE LOS EQUIPOS DE PRODUCCIÓN SIGUE UNA DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL, CON UN TIEMPO PROMEDIO ENTRE FALLAS DE 20 HORAS. PARA LA ATENCIÓN DE LAS FALLAS EN EL EQUIPO DE MANUFACTURA SE CUENTA CON UNA ÚNICA CUADRILLA DE MANTENIMIENTO. EL TIEMPO DE DURACIÓN DEL SERVICIO DE REPARACIÓN DE EQUIPO SIGUE UNA DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL, CON UNA MEDIA DE 2 HORAS/FALLA. TEORÍA DE COLAS: OTROS MODELOS 27 EJEMPLO (CONTINUACIÓN) λ = 0.05 µ = 0.50 λ/µ = 0.1 N=6 N N! λ ∑ (N − n )! µ n=0 n = (6!/6!)(0.1)0 + (6!/5!)(0.1)1 + (6!/4!)(0.1)2 + (6!/3!)(0.1)3 + (6!/2!)(0.1)4 + (6!/1!)(0.1)5 + (6!/0!)(0.1)6 = 2.06392 P0 = 1 N N! λ ∑ (N − n )! µ n=0 n = (1/2.06392) = 0.4845 TEORÍA DE COLAS: OTROS MODELOS 28 EJEMPLO (CONTINUACIÓN) λ = 0.05 Lq = N − λ +µ (1 − P0 ) = 6 - [(0.05+0.5)/0.05](1 - 0.0484515) λ = 0.329664 MÁQUINAS µ = 0.50 λ/µ = 0.1 N=6 P0 = 0.484515 L = Lq + (1 - P0) = 0.329664 + (1 - 0.0484515) = 0.844159 MÁQUINAS TEORÍA DE COLAS: OTROS MODELOS 29 EJEMPLO (CONTINUACIÓN) λ = 0.05 Wq = Lq (N − L )λ = (0.329664)/[(6-0.844159)(0.05)] = 1.279044 HORAS µ = 0.50 λ/µ = 0.1 N=6 P0 = 0.484515 W = Wq + 1 µ = 1.279044 + 1/0.5 = 3.279044 HORAS TEORÍA DE COLAS: OTROS MODELOS 30 EJEMPLO (CONTINUACIÓN) λ = 0.05 n N! λ P0 = [6!/(6-n)!](0.1)n(0.484515) Pn = (N − n )! µ µ = 0.50 λ/µ = 0.1 N=6 P0 = 0.484515 N 0 1 2 3 4 5 6 Pn 0.484514904 0.290708942 0.145354471 0.058141788 0.017442537 0.003488507 0.000348851 TEORÍA DE COLAS: OTROS MODELOS 31 EJEMPLO (CONTINUACIÓN) TEORÍA DE COLAS: OTROS MODELOS ColasMM1NCl.xls 32 EJEMPLO (CONTINUACIÓN) TEORÍA DE COLAS: OTROS MODELOS ColasMM1NCl.xls 33 EJEMPLO (CONTINUACIÓN) TEORÍA DE COLAS: OTROS MODELOS ColasMM1NCl.xls 34 EJEMPLO (CONTINUACIÓN) TEORÍA DE COLAS: OTROS MODELOS ColasMM1NCl.xls 35