CES y sus casos especiales Claudia Aburto La función de utilidad CES (elasticidad de sustitución constante, por sus siglas en inglés) está dada por: γ ρ ρ ρ U ( x, y ) = A(α x + β y ) ........................(1) En donde ρ ≤1 es el parámetro de sustitución γ >0 es el parámetro que determina el grado de homogeneidad de la función. α y β >0 son parámetros que representan las preferencias relativas que el individuo tiene por los bienes. 1) Grado de homogeneidad. Vamos a ver que esta función de utilidad es homogénea de grado γ : Para ver si la función de utilidad CES es o no homogénea necesitamos multiplicar todas sus variables por una constante (λ) de tal forma que si esta puede ser factorizada, la función es homogénea y el exponente al que esté elevada dicha constante λ nos dice el grado de homogeneidad de la función. ( U (λ x, λ y) = A α ( λ x ) + β ( λ y ) ρ ( (α x =A λ ρ ρ +βy ρ )) ρ γ ρ ) γ ρ = A (αλ x + βλ y ρ γ ρ ρ ρ ) γ ρ γ = A λ ρ ρ (α x ρ + β y ρ ) ρ γ = Aλ γ (α x ρ + β y ρ ) ρ = λ γ U ( x, y ) ⇒ Homogénea de grado γ 2) Tasa Marginal de Sustitución. Ya sabemos que la tasa marginal de sustitución (TMS) está dada por la razón de las utilidades marginales de los bienes : TMS = UMgx/UMgy En el caso de la función de utilidad CES, las utilidades marginales de x e y son: UMg x = γ −ρ ∂U ( x, y ) γ = A (α x ρ + β y ρ ) ρ ρα x ρ −1 ..........................................(2) ∂x ρ UMg y = γ −ρ ∂U ( x, y ) γ = A (α x ρ + β y ρ ) ρ ρβ y ρ −1 .........................................(3) ∂y ρ Por tanto, la TMS es: γ −ρ γ ρ ρ A (α x + β y ) ρ ρα x ρ −1 ρ −1 1− ρ α x α y ρ TMS = = = γ −ρ β y β x γ ρ ρ ρ −1 ρ A (α x + β y ) ρβ y ρ 1 .............(4) A partir de la TMS se puede ver que las preferencias son homotéticas, ya que dicha tasa depende de la razón de las cantidades de ambos bienes. 3) Elasticidad de sustitución. La elasticidad de sustitución nos dice que tan fácil es sustituir un bien por otro dentro de la función de utilidad. Dicha elasticidad está definida como: ∆% y d y x = x TMS ...............................................(5) σ= dTMS y ∆%TMS x Si derivamos totalmente la TMS (4) con respecto a y/x, tenemos que: dTMS α y = (1 − ρ ) β x d y x −ρ .........................................................(6) De tal forma que si sustituimos (6) en (5) tenemos que: σ= 1 (1 − ρ ) α y β x −ρ α y β x 1− ρ y x Eliminando términos, tenemos que la elasticidad de sustitución de una función de utilidad CES está dada por: σ= 1 ..........................................................................................(7) 1− ρ 2 4) Comportamiento de la TMS. Ahora nos interesa ver como es la curvatura de las funciones de utilidad y para eso necesitamos ver como cambia la TMS al cambiar x. Lo que necesitamos hacer entonces es derivar la TMS (4) con respecto a x. Es importante notar que esta derivada es una derivada total ya que un cambio en la TMS implica un cambio tanto en x como en y. De esa forma tenemos que: dTMS dx −ρ U =U 0 α y y'x− y = (1 − ρ ) ⋅ β x x2 dy En donde: y ' = = −TMS dx U =U 0 dTMS ⇒ dx −ρ U =U 0 α y − x ⋅ TMS − y = (1 − ρ ) ⋅ β x x2 −ρ α y x ⋅ TMS + y = −(1 − ρ ) x2 β x Cuyo signo, como puede apreciarse, dependerá del valor de ρ <1 • Si entonces dTMS dx ρ: < 0 . Es decir, la TMS es decreciente (Curvas de indiferencia u =u0 son estrictamente convexas) ρ = 1 , entonces • Si dTMS dx = 0 . Es decir, la TMS es constante (Curvas de indiferencia son u =u0 líneas rectas). Es decir los bienes x y y son sustitutos perfectos. ρ > 1 , entonces • Si dTMS dx > 0 . Es decir, la TMS es creciente (Curvas de indiferencia son u =u0 cóncavas). Para evitar estos casos es que desde el principio la CES se define para ρ ≤ 1. 5) Casos Especiales. Ahora bien, si • ρ =0 ρ ≤ 1 podemos identificar tres casos especiales: En este caso, la ecuación (4) queda como TMS = α y β x que es la TMS de la función de utilidad Cobb Douglas. Esta TMS es decreciente y por lo tanto las curvas de indiferencia son estrictamente convexas. Es decir si ρ = 0 la CES produce una CobbDouglas. En este caso la elasticidad de sustitución (7) es igual a 1 (σ=1) • ρ =1 En este caso, la ecuación (4) queda como TMS = α β . Es decir la TMS es constante. Las curvas de indiferencia son convexas (pero NO estrictamente). Es decir son líneas rectas. En este caso, los bienes x y y son sustitutos perfectos. En este caso la elasticidad de sustitución (7) es infinita o indeterminada (σ=∞). 3 • ρ = −∞ En este caso, la ecuación (4) queda como TMS = α y∞ β x∞ . De tal forma que: si x<y entonces la TMS → ∞ si x>y entonces la TMS → 0 Esto hace que las curvas de indiferencia tengan la siguiente forma: Si y x < y ⇒ TMS = ∞ Unidades adicionales de y, manteniendo x constante no cambian la utilidad. ⇒ Unidades adicionales de y son neutrales a la utilidad. Si x > y ⇒ TMS = 0 Unidades adicionales de x, manteniendo y constante no cambian la utilidad. ⇒ Unidades adicionales de x son neutrales a la utilidad. y x x En este caso, los bienes x y y son Complementos Perfectos y la elasticidad de sustitución es cero (σ=0). De esta forma, la función de utilidad CES nos ofrece, a través del valor del parámetro de sustitución (ρ), el siguiente espectro : ρ=1 ρ=0 ρ=-∞ Sustitutos Perfectos. Cobb Douglas. Complementos Perfectos. Complementos Brutos. Sustitutos Brutos. 4