Solucion

1 026 MECÁNICA I
Examen de febrero 2010-01-29
RESOLUCIÓN POSIBLE para la Segunda Parte
1) Utilizando el teorema de Guldin para superficies, se tiene
1
4
2πη πr2 = πr3
2
3
r1
O2
r2
●
C1●
O1 P1
●
2) De acuerdo con la figura 1, el equilibrio vertical del
conjunto determina
●
C2 ●
P2
es decir
4r1
3π
4r2
η2 =
3π
η1 =
A
N2
N2 = P1 + P2
φ
Fig. 1: Sistema completo.
P1
3) De acuerdo con la figura 2, se ha impuesto sobre el
semicilindro 1 una condición necesaria para el equilibrio de tres fuerzas coplanarias que es la concurrencia en un punto común. De esta forma se satisface automáticamente la condición de nulidad del momento resultante que queda sustituida por la relación geométrica
r1
O2
●
C
η1 ● 1
x A
O1● ●
T
N
R
φ
x
η1
E.T.S.I.I.
Departamento de
Física Aplicada
a la Ingeniería
Industrial
φ
Fig. 2: Semicilindro superior.
tg ϕ =
al tener que situarse el punto A en la vertical de C1 .
El equilibrio de las fuerzas según el plano de contacto y su normal proporciona:
T = P1 sen ϕ
N = P1 cos ϕ
La determinación de ϕ se consigue a partir del semicilindro inferior, figura 3.
r2
O2
η2
C2 ●
P2
●
Anulando el momento del semicilindro inferior respecto a O2 resulta
C1
●
T
N
●
O1 ●
x A
N2
P1 (r2 − r1 + x) cos ϕ = P2 η2 sen ϕ
φ
Sustituyendo x = η1 tg ϕ y los valores de η1 , η2 ,
tg ϕ =
Fig. 3: Semicilindro inferior.
y sustituyendo en x
3π P1 (r2 − r1 )
4 P2 r2 − P1 r1
x = r1
P1 (r2 − r1 )
P2 r2 − P1 r1
4) La fuerza tangencial es T = P1 sen ϕ por lo que resulta
tg ϕ
T = P1 p
1 + tg2 ϕ
junto con
tg ϕ =
3π P1 (r2 − r1 )
4 P2 r2 − P1 r1
tg ϕ =
3π P1 (r2 − r1 )
4 P2 r2 − P1 r1
5) La fuerza normal es N = P1 cos ϕ por lo que resulta
N = P1 p
1
1+
junto con
tg2 ϕ
6) Dado que ha de ser T ≤ µN y que, según el apartado 3), es tg ϕ =
µmin =
T
, resulta µ ≥ tg ϕ, o sea
N
3π P1 (r2 − r1 )
4 P2 r2 − P1 r1
7) El punto A debe estar en la zona común de ambos cilindros. La condición es x ≤ r1 , es decir
r1
P1 (r2 − r1 )
≤ r1
P2 r2 − P1 r1
de la que resulta
P1 ≤ P2
8) Como los semiclindros son de igual longitud, la relación anterior determina
1
1
h πr12 κ1 ≤ h πr22 κ2
2
2
y como κ1 = 4κ2 , resulta
r1 1
≤
r2 2
E.T.S.I.I.
Departamento de
Física Aplicada
a la Ingeniería
Industrial