Relación 3

Algebra III (Grado en Matemáticas)
Relación 3
Curso 2015-2016
Extensiones de cuerpos
Ejercicio 1. Razonar cuales de los siguientes números complejos son algebraicos o trascendentes sobre Q:
√
√
√
3
7,
3,
π2,
e3 + 1,
i+2
Ejercicio 2. Sea C/K una extensión de cuerpos. Clasificar como algebraico
o transcendente sobre K cada uno de los elementos
√
q
√
√
√
√
1+ 2
3
2
,
1 + i,
π ,
2 + 3,
1 + 2,
π
2
√
siendo K = Q, Q(i), Q(π) y Q( 6 2).
Ejercicio 3. Sea F/K una extensión de cuerpos y α ∈ F un elemento
algebraico sobre K. Demostrar que los elementos α + 5 y α2 son algebraicos
sobre K. ¿Es cierto el recı́proco?.
Ejercicio 4. Sea α una raı́z de x3 +2x+2 ∈ Q[x]. Demostrar explı́citamente
(mediante un polinomio) que los elementos α + 1 y α2 son algebraicos sobre
Q. ¿Cuál es su grado?
Ejercicio 5. Sea K [X] el anillo de polinomios con coeficientes en un cuerpo
K. Demostrar que cada elemento de K [X] que no está en K es trascendente
sobre K. Demostrar el resultado análogo para K(X), el cuerpo de fracciones
de K [X].
Ejercicio 6. Demostrar que si f (X) es un polinomio irreducible sobre K
de grado n y si F/K es una extensión finita de grado primo relativo con n
entonces f (X) es irreducible sobre F .
Ejercicio 7. Demostrar que el polinomio f (X) = X 3 +3X +1 es irreducible
en Q [X]. Si α es una raı́z de f (X) en una extensión de Q calcular (1+α)(1+
α + α2 ) y (1 + α)/(1 + α + α2 ) .
1
Ejercicio 8. Demostrar que el polinomio f (X) = X 3 + X + 1 es irreducible
sobre Z2 [X]. Si α es una raı́z de f (X) calcular todas las potencias de α
√ √
Ejercicio 9. Demostrar que cualquier elemento de Q( 3, 5) puede expresarse de forma única como
√
√
√
a + b 3 + c 5 + d 15
√
√
donde a, b, c, d ∈ Q. Calcular explı́citamente el inverso de 1 + 3 − 15.
√
Ejercicio 10. Demostrar que Q( 3 2)/Q es una extensión finita de cuerpos.
Hallar una base de ella y expresar
√
√
√
3
−1
√
√
1+ 32+ 34
1
4
3
3
√
√
√
,
4+5 2
,
+
3
3
2−1
2+1 2− 32
en función de los elementos de la base.
p
√
Ejercicio 11. Encontrar una base de p
la extensión Q( 2 + 2). Expresar
√
en función de dicha base el inverso de 2 + 2.
√ √
una extensión finita de cuerEjercicio 12. Demostrar que Q( 3 5, 2)/Q
√ es √
pos. Hallar una base de ella y expresar ( 3 5 + 2)−1 en función de los elementos de la base.
Ejercicio 13. Calcular Irr(α, Q) en los siguientes casos:
√
√
√
√
√
4
3
3
α = 2 + 5,
α = 5 + 5,
α= 2+ 4
Ejercicio 14.
Calcular Irr(α, Q) en los siguientes casos:
α = β 2 − 1 siendo β una raı́z del polinomio X 3 − 2X − 2
α = β 2 + β siendo β una raı́z del polinomio X 3 + 3X 2 − 3
α = 1/β 2 con β una raı́z del polinomio X 4 + X 3 + 1
Ejercicio 15. Calcular [F : Q] en los siguientes casos:
√
√ √
√
√
F =√Q( 7, i),
F = Q( 3√5, √−2),
F = Q(
18, 4 2),
√
√ √
√
F = Q( 8,√
3 + 50),
F = Q( 2, 3),
F = Q( 3, −5, 7),
F = Q( 3 2, β)
Irr(β, Q) = X 4 + 6X + 2
En cada uno de los casos dar una Q-base de F .
√
√
Ejercicio 16. Demostrar que Q( i) = Q(i, 2).
2
Ejercicio 17.
√
√
1. Calcular Irr( 2 + 3, Q).
√
√
√ √
2. Demostrar que 3 ∈
/ Q( 2). Deducir que [Q( 2, 3) : Q] = 4.
√ √
√
√
3. Demostrar que Q( 2, 3) = Q( 2 + 3).
√ √
4. Describir dos bases diferentes de Q( 2, 3)/Q.
Ejercicio 18. Razonar si el elemento α genera cada una de las siguientes
extensiones de Q:
√
√
√ √
√
√
3
3
α= 2+
5
∈
Q(
2,
5),
α
=
2
+
9
∈
Q(
3),
√
√
2−1
2
α = 1+√2 ∈ Q( 2),
α = β + β + 1 ∈ Q(β)
donde Irr(β, Q) = X 3 + 5X − 5.
Ejercicio 19.
Demostrar que si F/K es una extensión de grado primo entonces para todo
α ∈ F, α ∈
/ K se tiene F = K(α).
Ejercicio 20. Demostrar que si [K(α) : K] es impar entonces K(α) =
K(α2 ).
Ejercicio 21. √
Sea F = Q(u1 , . . . , un ) donde u2i ∈ Q para i = 1, . . . , n.
Demostrar que 3 2 ∈
/ F.
√
√
Ejercicio 22. Calcular Irr((−2 + i 3)/2, Q) y Irr( t + 1, Z3 (t)).
Ejercicio 23. Sea F/K una extensión algebraica y sea A un anillo contenido
en F y conteniendo K. Demostrar que A es un cuerpo.
Ejercicio 24. Sea f ∈ K[X] un polinomio irreducible de grado n. Sea
g ∈ K[X] arbitrario. Demostrar que todo factor irreducible del polinomio
h(X) = f (g(X)) tiene grado divisible por n.
Ejercicio 25. Sea p(x) = x2 +x+1 ∈ Z5 [x]. Consideramos el anillo cociente
K = Z5 [x]/(x2 + x + 1).
1. Demostrar que K es un cuerpo extensión de Z5 .
2. Demostrar que p(x) no tiene raı́ces en Z5 pero si en K.
3. Demostrar que K = Z5 (α) siendo α una raı́z de p(x) en K.
4. Demostrar que p(x) es irreducible en Z5 y reducible en K. Hallar una
factorización de p(x) en K.
3
Ejercicio 26. Sean n y m dos números naturales distintos mayores que 1 y
libres de cuadrados.
√
√
1. Demostrar que m ∈
/ Q( n).
√ √
2. Demostrar que [Q( n, m) : Q] = 4.
√
√
√
3. Demostrar que nm ∈ Q( n + m).
√
√
√
√
4. Demostrar que n m + m n ∈ Q( n + m).
√ √
√
√
5. Demostrar que m, n ∈ Q( n + m).
√ √
√
√
6. Demostrar que Q( n, m) = Q( n + m).
√
√
√
√
7. Calcular Irr( n + m, Q) y Irr( n, Q( m)).
Ejercicio 27. Demostrar que si Irr(α, Q) = x2 − 2 y Irr(β, Q) = x2 − 4x + 2,
entonces Q(α) = Q(β).
4