II. EXTENSIONES DE CUERPOS. F un cuerpo. II.1 PROPIEDADES BÁSICAS DE LAS EXTENSIONES. • Cuerpo extensión de F (notación: E/F). Obs.: (1) Todo homomorfismo de cuerpos (de a.c.u.) es inyectivo; (2) Si E/F , E contiene como subcuerpo una copia isomorfa de F ( que identificaremos con F ); (3) Si E/F , E es un F -espacio vectorial. Lem.II.1. Sea p(x) ∈ F [X] irreducible. E = F [X]/(p(X)) es un cuerpo extensión de F y p(X) tiene una raı́z en E. • Teorema de Kronecker II.2. Sea f (X) ∈ F [X]. Existe un cuerpo E/F sobre el que f (X) se descompone. Lem.II.3. Sean E/F , α ∈ E, p(X) ∈ F [X] mónico e irreducible. Si p(α) = 0 entonces, (i) gr(p(X)) ≤ gr(f (X)) para todo f (X) ∈ F [X] no nulo tal que f (α) = 0; (ii) p(X) es el único polinomio mónico de F [X] de grado gr(p(X)) que tiene a α como raı́z. El grado de E sobre F (notación: [E : F ]). Extensión finita e infinita. • Prop.II.4. Sea p(X) ∈ F [X] irreducible y con gr(p(X)) = d. E = F [X]/(p(X)) es una extensión de F de grado d y si α = X + (p(X)) (raı́z de p(X)) entonces {1, α, α2 , . . . , αd−1 } es una base de E como F -espacio vectorial. Cuerpo obtenido mediante la adjunción a F de elementos α1 , . . . , αn ∈ E de una extensión E/F (notación F (α1 , . . . , αn )). Extensión simple (notación F (α)). Obs.F (α1 , . . . , αn ) = {f (α1 , . . . , αn )/g(α1 , . . . , αn ) : f (X1 , . . . , Xn ), g(X1 , . . . , Xn ) ∈ F [X1 , . . . , Xn ], g(α1 , . . . , αn ) 6= 0}. Elemento algebraico sobre F , elemento trascendente sobre F , extensión E/F algebraica. Prop.II.5. Toda extensión de cuerpos finita es una extensión algebraica. • Tma.II.6. Sean E/F y α ∈ E algebraico sobre F . Entonces, (i) existe p(X) ∈ F [X] mónico e irreducible que tiene a α como raı́z; (ii) Φ : F [X]/(p(X)) → F (α) : f (X) + (p(X)) 7→ α es un isomorfismo que restringido a F es la identidad; (iii) el p(X) de (ii) es el único polinomio mónico de grado mı́nimo en F [X] que tiene a α como raı́z; (iv) [F (α) : F ] = gr(p(X)). Polinomio irreducible de α sobre F (notación: Irred(α : F )). • Cuerpo primo de F . Prop.II.7. El cuerpo primo de F es isomorfo a Q o a Fp . Caracterı́stica de un cuerpo. n n n Obs.1. Si ch(F ) = p entonces para todo a, b ∈ F (a+b)p = ap +bp y para todo n ∈ N, (a+b)p = ap +bp . Obs.2. Todo cuerpo finito tiene pn elemento para algún primo p y algún n > 0. Tma.II.8. Para cada primo p y para cada n > 0 existe un cuerpo con pn elementos. Prop.II.9 (Fórmula de los grados). Si F ⊆ E1 ⊆ E son cuerpos con [E : E1 ] y [E1 : F ] finitas entonces E/F es finita y [E : F ] = [E : E1 ][E1 : F ]. 6