INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA DIFUSA

INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA
DIFUSA
INTRODUCCIÓN
La lógica difusa o lógica borrosa, es la lógica que utiliza expresiones inciertas o imprecisas.
Lo difuso, borroso, impreciso o vago no es la lógica en sí, sino el objeto que estudia: expresa la falta de
definición del concepto al que se aplica.
Permite tratar información imprecisa, como estatura media o temperatura baja, en términos de conjuntos
borrosos que se combinan en reglas para definir acciones:
• Si la temperatura es alta entonces enfriar mucho.
Los sistemas de control basados en lógica difusa combinan variables de entrada, definida en términos de
conjuntos difusos, por medio de grupos de reglas que producen uno o varios valores de salida
BREVE HISTORIA
Investigada a mediados de la década
de los 60’ en la Universidad de
Berkeley por el ingeniero Lofty A.
Zadeh
Principio de incompatibilidad:
“Conforme la complejidad de un
sistema aumenta, nuestra capacidad
para ser precisos y construir
instrucciones sobre su comportamiento
disminuye hasta el umbral más allá del
cual, la precisión y el significado son
características excluyentes”
BREVE HISTORIA
Conjunto Difuso:
Lógica Difusa
Términos Lingüísticos
• Los elementos sobre
los que se construye el
pensamiento humano
no son números sino
etiquetas lingüísticas.
• Representa
el
conocimiento común,
de tipo lingüístico
cualitativo
y
no
necesariamente
cuantitativo,
un
lenguaje matemático a
través de la teoría de
conjuntos difusos y
funciones asociadas a
ellos.
• Son datos menos
precisos que los datos
numéricos pero en
muchas ocasiones
aportan una
información más útil
para el razonamiento
humano.
BREVE HISTORIA

Más formalmente se puede decir que si la lógica es
la ciencia de los principios formales y normativos
del razonamiento, la lógica difusa o borrosa se
refiere a los principios formales del razonamiento
aproximado.
BREVE HISTORIA

Un hito importante en el desarrollo de la lógica
difusa fue establecido por Assilian y Mamdani en
1974 en el Reino Unido al desarrollar el primer
controlador difuso diseñado para una máquina de
vapor, pero la primera implantación real de un
controlador de este tipo fue en 1980 por F. L.
Smidth & Co. en un planta cementera en Dinamarca
BREVE HISTORIA
1983
• Fuji aplica la lógica difusa para el control de inyección
química en plantas depuradoras de agua por primera
vez en Japón.
1987
• Hitachi pone en marcha un controlador fuzzy para el
control del tren – metro de Sendai y la empresa Omron
desarrolla los primeros controladores difusos comenciales.
80’
• Mamdani, Takagi y Sugeno desarrollan la primera
aproximación para construir la primera aproximación
para construir reglas fuzzy a partir de datos de
entrenamiento. (Modelos Fuzzy)
DEFINICIONES BÁSICAS Y
TERMINOLOGÍA


Sea X un espacio de objetos y x un elemento genérico
de X. Un conjunto clásico A, A ⊆ X, se define como una
colección de elementos u objetos x ∈ X, de tal manera
que cada x puede pertenecer o no pertenecer al
conjunto A .
Al definir una función característica para cada
elemento x en X, podemos representar un conjunto
clásico A por un conjunto de pares ordenados (x, 0) o
(x, 1), lo que indica x ∉ A o x ∈ A, respectivamente.
DEFINICIONES BÁSICAS Y
TERMINOLOGÍA

A diferencia de la serie convencional mencionado, un
conjunto borroso expresa el grado en que un elemento
pertenece a un conjunto. De ahí que la función
característica de un conjunto difuso se le permite tener
valores entre 0 y 1, que denota el grado de
pertenencia de un elemento en un conjunto dado.
CONJUNTO DIFUSO

Si X es una colección de objetos denotados genéricamente por
x, entonces un conjunto borroso A en X se define como un
conjunto de pares ordenados:
donde
se llama la función de pertenencia (MF) para el
conjunto difuso A. La "MF" mapea cada elemento de X a un
grado de pertenencia (o valor de pertenencia) entre 0 y 1.
CONJUNTO DIFUSO


Obviamente, la definición de un conjunto difuso es
una simple extensión de la definición de un conjunto
clásico en el que se permite la función característica
de tener cualquier valor entre 0 y 1.
Si el valor de la función de pertenencia µA (x) se
limita a 0 o 1, entonces A se reduce a un conjunto
clásico y µA (x) es la función característica de A.
CONJUNTO DIFUSO


También se refieren a los conjuntos clásicos como
conjuntos ordinarios, conjuntos duros, conjuntos no fuzzy,
o simplemente conjuntos.
Por lo general, X se conoce como el universo de
discurso, o simplemente el universo, y puede consistir
discreta (ordenado o no ordenado) objetos o espacio
continuo.

Esto puede ser aclarada por los siguientes ejemplos.
Ejemplo 1:
Conjuntos difusos con un universo discreto no ordenado

Sea X = {San Francisco, Boston, Los Angeles} un conjunto de ciudades se
puede elegir una para vivir. El conjunto difuso C = “ciudad deseable para
vivir" puede ser descrito por:
Al parecer, el universo de discurso X es discreta y contiene objetos no
ordenados en este caso, tres grandes ciudades en los Estados Unidos. Como
se puede ver, los grados de pertenencia a lo anterior antes mencionados
son bastante subjetivos, cualquier persona puede llegar a tres valores
diferentes, pero valores legítimos para reflejar su preferencia.
Ejemplo 2:
Conjuntos difusos con un universo discreto ordenado

Sea X={0,1,2,3,4,5,6} un conjunto de números de hijos que una
familia puede elegir tener. Entonces el conjunto difuso
A=“número posible de hijos en una familia” puede ser descrito
como:
Donde se tiene un universo discreto ordenado X; la MF del
conjunto A se muestra en la figura 2.1(a). Nuevamente los
grados de membresía del conjunto difuso son obviamente
medidas subjetivas.
Ejemplo 2
Ejemplo 2:
Conjuntos difusos con un universo continuo

Sea X=R+ un conjunto de posibles edades del
humano.
Entonces
el
conjunto
difuso
B=“aproximadamente 50 años” puede ser
expresado como:
donde
Ejemplo 2
CONJUNTOS DIFUSOS

Para los ejemplos anteriores su construcción depende
de:
Identificación del universo de discurso y
 Especificación de una función de membresía adecuada.


La especificación de la función de membresía es
subjetiva, lo que significa que las funciones de
membresía especificada para el mismo concepto (por
decir, “numero aproximado de hijos en una familia”)
para
diferentes
personas
puede
variar
considerablemente.
CONJUNTOS DIFUSOS

Para denotar un conjunto difuso A :

Si X es una colección de objetos
discretos.

Si X es un espacio continuo
(usualmente los reales R).
Los signos de suma e integración se colocan para la unión de los pares (x, µA(x));
no indica la suma e integración. Similarmente “/” es solo un marcador y no una
división
Variables Lingüísticas y valores lingüísticas


Suponga que X=“edad”. Entonces podemos definir los
conjuntos “joven”, “edad media” y “viejo” que son
caracterizados como MF µviejo(x), µedadmedia(x) y
µjoven(x).
Una variable puede asumir varios valores, la variable
lingüística “Edad” puede tomar diferentes valores
lingüísticos, como “joven”, “edad media”, “viejo”.
Variables Lingüísticas y valores lingüísticas

Las MF para el valor lingüístico anterior se muestra
abajo, donde el universo de discurso X es totalmente
cubierto por las MF y la transición de una MF a otra s
muy suave y gradual.
CONJUNTO DIFUSO (Ejemplo)

Por ejemplo supongamos que se desea representar con
conjuntos difusos la variable altura de una persona, en
esta caso el universo de discurso será el rango de
posibles valores de la altura que tenga un persona
adulta
Se escoje un rango entre 140 cm y 200 cm, valores por
fuera de este rango son posibles pero son muy escasos.
 El universo de discurso U = [140, 200],

CONJUNTO DIFUSO (Ejemplo)
 Las
variables lingüísticas: es Muy Baja (MB), Baja (B),
Mediana (M), Alta (Alta) y Muy Alta (MA)
Etiqueta
Rango [min, max]
MB
[140,160]
B
[160,170]
M
[170,180]
A
[180,190]
MA
[190,200]
CONJUNTO DIFUSO (Ejemplo)

Si el ejemplo anterior se desea trabajar con conjuntos clásicos
(crisp) se tienen dos opciones o alguien Alto (A) o Bajo (B). Se
supondrá que alguien Alto si mide mas de 170cm en caso
contrario es bajo
CONJUNTO DIFUSO (Ejemplo)


En un conjunto difuso su frontera no está precisamente
definida, y la prueba de pertenencia regresa un
valor entre 0 y 1.
Para ésto, existe un grado de pertenencia (µ) el cual
es subjetivo y dependiente del dominio.