Regla del Trapecio Un metodo para encontrar e l área bajo l a curva y = f HxL es aproximandose el área con un serie de trapecios construidos en los intervalos 8@xk-1 , xk D<mk=1 . Teorema. Considere y = f HxL sobre @a, bD. Suponga que el intervalo @a, bD es subdividido en m subintervalos 8@xk-1 , xk D<mk=1 de igual longitud b - a h= , usando la partición xk = x0 + k h for k = 1, 2, ..., m. Entonces se tiene que m T Hf, hL = h 2 Hf HaL + f HbLL + h â f Hxk L. m-1 k=1 Está es una aproximación numérica a la integral de f HxL sobre @a, bD à b f HxL â x » T Hf, hL. a Código usando la instrucción For para la regla del trapecio In[27]:= ReglaTrap@a0_, b0_, m0_D := ModuleB8a = N@a0D, b = N@b0D, m = m0, k<, h = b-a ; m sum = 0; For@ k = 1, k £ m - 1, k ++, sum = sum + f@a + h kD; D; h ReturnB Hf@aD + f@bDL + h sumF; F; 2 Regla de Simpson´s Teorema IRegla de Simpson 'M Considere y = f HxL sobre @a, bD. Suponga que el intervalo @a, bD is subdividido en 2 m subintervalos b - a m 8@xk-1 , xk D<2k=1 de igual longitud h = usando los puuntos xk = x0 + k h para k = 0, 2m 1, 2, ..., 2 m. La suma para la regla de Simpson para 2 m subintervalos es S Hf, hL = h 3 Hf HaL + f HbLL + 2h 3 â f Hx2 k L + m-1 k=1 Está es una aproximación numérica a la integral de f HxL sobre @a, bD. à b a f HxL â x » S Hf, hL. 4h 3 â f Hx2 k-1 L. m k=1 2 integrnum2011.nb Código usando la instrucción For para la regla de Simpson´s In[28]:= Simpson@a0_, b0_, m0_D := ModuleB8a = N@a0D, b = N@b0D, m = m0, k<, h = Hb - aL H2 mL; SumPar = 0; For@ k = 1, k £ m - 1, k ++, SumPar = SumPar + f@a + h 2 kD; D; SumImpar = 0; For@ k = 1, k £ m, k ++, SumImpar = SumImpar + f@a + h H2 k - 1LD; D; h ReturnB Hf@aD + f@bD + 2 SumPar + 4 SumImparL F; F; 3 Riemman Código usando la instrucción For para sumas de Riemman In[29]:= Riemman@a0_, b0_, m0_D := ModuleB8a = N@a0D, b = N@b0D, m = m0, k<, h = b-a ; m sum = 0; For@ k = 1, k £ m - 1, k ++, sum = sum + f@a + h kD; D; Return@ h sumD; F; Ejemplo Aproxime de forma numérica à I2 + CosA2 2 x EM â x usando la regla del trapecio, 0 Riemman y Simpson´s con m = 1, 2, 4, 8, y 16 subintervalos. integrnum2011.nb 3 Solución f@x_D := ExpA- x2 E; Plot@f@xD, 8x, 0, 2<, PlotRange ® 880, 2<, 80, 3<<, Filling ® BottomD 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 a = 0; b = 2; m = 2; TableForm@Table@8i, NumberForm@ReglaTrap@a, b, iD, 815, 20<D, NumberForm@Riemman@a, b, iD, 825, 20<D, NumberForm@Simpson@a, b, iD, 815, 20<D<, 8i, 1, m, 1<D, TableHeadings ® 8None, 8"iteración", "Regla del Trapecio", "Riemman", "Simpson´s"<<D Out[41]//TableForm= iteración 1 2 Regla del Trapecio 0.90929742682568200000 1.29611969822074000000 Riemman 0.00000000000000000000 0.84147098480789700000 Ejercicios è à 1 è à 1 4 1 + x2 0 2 0 âx 6 âx 1 - x2 è à SinIx2 M â x 1 0 Demostraciones è Numerical Integration using Rectangles, the Trapezoidal Rule, or Simpson’s Rule è Comparing Basic Numerical Integration Methods Simpson´s 1.42506045535242000000 1.41665358287908000000