Cálculo I eserved@d = *@let@token Tema 11: Convergencia

Cálculo I
Tema 11: Convergencia absoluta.
Series alternadas.
Criterio de Leibniz.
Series absolutamente convergentes
Definición
Una serie de números reales
P
P
an es absolutamente convergente si la serie
|an | es convergente.
Es claro que si una serie es de términos positivos, entonces la convergencia de
la serie y la convergencia absoluta coinciden. Lo mismo ocurre si todos los
términos de la serie son menores o iguales que cero.
Comprobaremos que la convergencia absoluta de una serie implica
convergencia. El recı́proco no es cierto en general.
Series absolutamente convergentes
Proposición
Toda serie (de números reales) absolutamente convergente es convergente.
Pn
Pn
Si An = k=1 ak , Bn = k=1 |ak | para cada natural n, la clave de la
demostración consiste en probar que si {Bn } es una sucesión de Cauchy,
entonces {An } también lo es. El enunciado se deduce entonces usando el
Teorema de complitud de R.
Para comprobar que el recı́proco del resultado
no es cierto, daremos un
Panterior
criterio que permite comprobar que la serie
(−1)n n1 converge. Como la serie
P
armónica no converge, entonces la serie
(−1)n n1 no es absolutamente
convergente.
Criterio de Leibniz
En el tema anterior dimos criterios de convergencia para series de términos
P
positivos. Por tanto, si con alguno de ellos
P se puede probar que la serie |an |
converge, sabemos que también la serie
an será convergente. El siguiente
criterio permite comprobar la convergencia de una serie en casos donde la
convergencia no tiene que ser absoluta.
Proposición (Criterio de Leibniz)
Sea {an } una sucesión
positivos decreciente y convergente a cero.
P den números
Entonces la serie
(−1) n1 converge.
Ejemplo
P
La serie
(−1)n
1
converge.
n
Series
P
En caso de que una serie de términos positivos
an sea convergente,
P si
σ : N −→ N es inyectiva, entonces es fácil comprobar que la serie
aσ(n)
también es convergente.
Como consecuencia, si una serie es absolutamente convergente,P
entonces para
cualquier aplicación inyectiva σ : N −→ N, se tiene que la serie
aσ(n)
converge, en particular, esto ocurre para aplicaciones biyectivas.
Para series que no convergen absolutamente, la situación es muy distinta, como
muestra el siguiente resultado.
Teorema (Riemann)
P
Sea
an una serie de números reales convergente y que no converge
absolutamente. Dado
Pun número real positivo x, existe una aplicación biyectiva
aπ(n) converge y su suma vale x.
π : N −→ N tal que
También
existen aplicaciones biyectivas σ,P
τ : N −→ N tales que la serie
P
aσ(n) diverge positivamente y la serie
aτ (n) diverge negativamente.