Geometr´ıa de Curvas y Superficies. 2 Matemáticas. Curso 2014

Geometrı́a de Curvas y Superficies. 2o Matemáticas.
Departamento de Matemáticas, UAM.
Curso 2014-15.
Ejercicios sueltos, marzo 2015
Estos ejercicios no hay que entregarlos, son para practicar. Su dificultad es variable.
1. Consideramos la curva implı́cita {x4 + y 4 = 1} en el plano xy. Halla una parametrización
regular que la recorra toda entera.
2. Para cada constante a > 1 consideramos la elipse de semiejes a y 1, parametrizada por:
α(t) ≡ ( a cos t , sen t ) .
Utiliza el resultado del ejercicio 3 de la Hoja 2 para hallar una parametrización de la
evoluta de esta elipse.
Comprueba que la evoluta tiene cuatro puntos de retroceso. Dos de ellos están situados
en el eje x ¿coinciden con los focos de la elipse?
Cuando la excentricidad a es pequeña toda la evoluta es interior a la elipse, mientras que
para a grande los dos retrocesos situados en el eje y son exteriores a la elipse ¿para qué
valor especial de a yacen esos dos retrocesos justo sobre la elipse?
3. Determina todas las funciones h(t) tales que α(t) ≡ cos t , sen t , h(t) define una curva
espacial plana.
4. Dada una parametrización regular Φ(u, v), con imagen S, demuestra que son equivalentes:
(a) Φ conserva ángulos del plano Euclı́deo a la superficie S.
(b) Se tiene FΦ ≡ 0 y EΦ ≡ GΦ .
Las parametrizaciones que cumplen esto se llaman conformes.
5. Consideramos la parametrización estereográfica de la esfera menos el polo norte:
Φ(u, v) ≡
( 2u , 2v , u2 + v 2 − 1 )
.
u2 + v 2 + 1
Calcula IΦ y deduce que la estereográfica es una parametrización conforme de la esfera.
6. El helicoide es la superficie parametrizada por Φ(λ, v) ≡ ( λ cos v , λ sen v , v, ). Encuentra
una función h(u) con h0 (u) > 0 y tal que Ψ(u, v) ≡ Φ h(u) , v sea una parametrización
conforme del helicoide.
7. Para cada constante c > 0 tomamos el perfil {r = c + z 2 } en el semiplano rz y lo rotamos
alrededor del eje z. Resulta una superficie parametrizada por:
Φ(u, θ) ≡ (c + u2 ) cos θ , (c + u2 ) sen θ , u .
Para c = 1 comprueba que las lı́neas asintóticas forman ángulo variable. Determina el
valor de c para el cual forman ángulo constante.
8. Dada la superficie implı́cita S = { y 2 + x2 z 2 − z 2 = 0 , z > 0 }, halla una parametrización
que la tenga por imagen [indicación: examina los cortes S ∩ {z = c}] y después determina
todos los elementos rectilı́neos (rectas, semirrectas, segmentos) contenidos en S.
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9. Sea α ⊂ S una curva contenida en la superficie S, y supongamos α birregular. Demuestra
que α es una lı́nea asintótica si y sólo si para cada punto p ∈ α el plano osculador de α
en p coincide con el plano tangente a S en p.
Calcula las lı́neas de curvatura del helicoide Φ(u, v) ≡ ( u cos v , u sen v , v ) y comprueba
que son birregulares. Fijada una tal lı́nea γ comprueba que, a medida que el punto p
recorre γ, va variando el ángulo entre el plano osculador de γ en p y el plano tangente al
helicoide en p.
10. Sea α(t) curva regular contenida en una superficie S. Sea Sα la superficie reglada formada
por las normales afines de S en los puntos de α, que podemos parametrizar por:
Φα (t, λ) ≡ α(t) + λ Nα(t) .
Demuestra que α es lı́nea de curvatura de S si y sólo si Sα es desarrollable, es decir que
a lo largo de cada regla el plano tangente a Sα permanece constante.
11. Dada una superficie S, a partir del endomorfismo de Weingarten W definimos la tercera
forma fundamental como el campo de formas cuadráticas III en S dado por:
III(v) = I v , W 2 (v) .
Demuestra que también III(v) = I W (v) , W (v) . En el caso de que todos los puntos
de S sean elı́pticos, o todos hiperbólicos, demuestra que III
es una métrica de Riemann
en S y que N : ( S , III ) → esfera unidad , Iesfera unidad es una isometrı́a local.
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