Examen de Física-1, 1° Ingeniería Química Examen final. Enero de 2013 Cuestiones (Un punto por cuestión). Cuestión 1 (Primer parcial): Un punto recorre la mitad del camino con la velocidad v0 . La parte restante la hace a una velocidad v1 la mitad del tiempo, y a la velocidad v2 el trayecto final. Determinar la velocidad media del punto durante el recorrido. Solución: Si llamamos d a la longitud del camino el tiempo que invierte en recorrer la primera mitad será d /2 . v0 En la segunda mitad emplea un tiempo Δt2 a velocidad velocidad v2 con lo que tenemos que Δt1 = d = ( v1 + v2 ) Δt2 2 ⇒ Δt2 = v1 y el mismo tiempo a d /2 . v1 + v2 Aplicando la definición de velocidad media tenemos que vm = 2v ( v + v ) d d d 1 1 = = = = = 0 1 2 . d 2d 1 1 v1 + v2 + 2v0 2v0 + v1 + v2 Δt Δt1 + Δt2 + Δt2 + + 2v0 2 ( v1 + v2 ) 2v0 ( v1 + v2 ) 2v0 ( v1 + v2 ) Cuestión 2 (Primerque parcial): Analizar el tipo de movimiento quepeso posee 3) Analizar el tipo de movimiento posee una partícula sometida a su propio y auna unapartícula fuerza de que parte del reposo y está sometida a su propio peso y a una fuerza de rozamiento directamente proporcional a su velocidad. Sin necesidad de resolver la rozamiento ecuación del directamente proporcional a su velocidad, constante yde proporcionalidad k . Sin la movimiento, discútase los aspectos más relevantes de dichocon movimiento dibújense aproximadamente necesidad de resolver la ecuación del movimiento, discútanse los aspectos más relevantes aceleración y la velocidad de la partícula en función del tiempo. ¿Como se calculara el espacio recorrido de dicho movimiento y dibújense aproximadamente la aceleración y la velocidad de la por la partícula? partícula en función del tiempo. ¿Cómo se calculará el espacio recorrido por la partícula? SOLUCION: Solución: Aplicando segundalaley de Newton, la suma deactúan las fuerzas queaactúan es por Aplicando la segunda ley delaNewton, suma de las fuerzas que es igual la masa igual a la masa por la aceleración, 3) Analizar el tipo de movimiento que posee una partícula sometida a su propio peso y a una fuerza de la aceleración: mg rozamiento directamente proporcional a su velocidad. Sin necesidad de resolver la ecuación del mglos−aspectos kv = ma.más(3.1) (1) de dicho movimiento y dibújense aproximadamente la relevantes –movimiento, kv = ma discútase aceleración y la velocidad de la partícula en función del tiempo. ¿Como se calculara el espacio recorrido por la partícula? Si la partícula parte del reposo, la velocidad inicial es 0 y por lo tanto la aceleración inicial es: a = g. El convenio de signos escogido es que el eje y crece hacia abajo. A medida que pasa elSOLUCION: tiempo, la partícula va adquiriendo velocidad por lo que la aceleración va Si la partícula parte del reposo, la velocidad inicial es 0 y, por lo tanto, la aceleración es disminuyendo. a = g. Aplicando la segunda ley de Newton, la suma de las fuerzas que actúan es igual a la masa por la aceleración: Este proceso continua hasta que la velocidad es tan grande que la fuerza de rozamiento compensa al peso A medida que pasa el mg tiempo, la partícula va adquiriendo velocidad por lo que la – kv = ma (3.1) (kv = mg), y la aceleración es a = 0; alcanzándose entonces la velocidad límite: vL = mg/k. aceleración va disminuyendo. Si la partícula parte del reposo, la velocidad inicial es 0 y por lo tanto la aceleración inicial es: a = g. Las graficas aproximadas son: continúa hasta que la velocidad es tan grande que la fuerza de rozamiento Este proceso A medida que pasa el tiempo, la partícula va adquiriendo velocidad por lo que la aceleración va compensa al peso ( kv = mg ), y la aceleración es a = 0 , alcanzándose la velocidad límite disminuyendo. 12 6 mg (t) . proceso continua hasta que la velocidad es tan grande que la fuerza de rozamiento compensa al peso vL = v Este 10 5 k(kv = mg), y la aceleración es a = 0; alcanzándose a (t) entonces la velocidad límite: v = mg/k. 6 2 0 5 t(s) 10 2 4 10 2 4 3 12 a (t) 8 2 V(m/s) 1 0 v (t) 5 6 a(m/s ) 3 8 2 Las gráficas aproximadas son Las graficas aproximadas son: a(m/s ) V(m/s) L 4 15 0 0 5 6 4 t(s) 1 2 0 0 10 15 5 10 0 5 10por la15partícula, si lo0 queremos En cuanto a determinar el espacio recorrido calcular en15 función de la t(s) t(s) velocidad, se parte de la ecuación (3.1): mg – kv = ma En cuanto a determinar el espacio recorrido si lo calcular en función y sustituimos la aceleración a = el dv/dx • dx/dt = dv/dx por • v lalapartícula, En cuanto atomando determinar espacio recorrido por partícula, si queremos lo queremos calcular en de la velocidad, se parte de la ecuación (3.1): mg – kv = ma función de la velocidad, se parte de la ecuación (1), mg − kv = ma, y sustituimos la La ecuación que aceleración nos queda es kv = m (dv/dx) v, Finalmente pasamos la v y el dv a un lado de la comomgla –aceleración y sustituimos tomando a = dv/dx • dx/dt = dv/dx • v ecuación , el dx a otro, e integramos. La ecuación que nos queda es mg – kv = m (dv/dx) v, Finalmente pasamos la v y el dv a un lado de la ecuación , el dx a otro, integramos. Si lo queremos calcular en función del etiempo, hay que hacerlo en dos pasos. Primero escribimos la aceleración como a = dv/dt y sustituimos en la ecuación (3.1), nos queda mg – kv = m • dv/dt. Despejando Si lo queremos calcular en función del tiempo, hay que hacerlo en dos pasos. Primero escribimos la e integrando determinamos v(t). En un segundo paso, como v(t) = dx/dt, despejamos el dx e integrando aceleración como a = dv/dt y sustituimos en la ecuación (3.1), nos queda mg – kv = m • dv/dt. Despejando calculamos x (t). e integrando determinamos v(t). En un segundo paso, como v(t) = dx/dt, despejamos el dx e integrando a= dv dv dx dv = =v , dt dx dt dx la ecuación que nos queda es mg − kv = mv dv . dx Separando variables (llevando todas las velocidades a un lado y todo lo que dependa de la posición al otro) podemos integrar para conocer x(v) . Si queremos calcular el espacio recorrido como función del tiempo, tenemos que hacerlo en dos pasos. Primero escribimos la aceleración como a = dv / dt y sustituimos en la ecuación (1). Esto nos lleva a mg − kv = m dv . dt Despejando e integrando, determinamos v(t) . En un segundo paso, como v(t) = dx / dt , despejamos el dx e integramos para calcular x(t). 4) Determinar la posición del centro de masas de la placa Cuestión 3 (Segundo parcial): Determinar la posición homogénea la figura: la posición del centro de masas de la placa 4) de Determinar del centro de masas de la placa homogénea de la figura homogénea de la figura: Solución: SOLUCION: SOLUCION: Y Recordando la definición de centro de masas de una Y Recordando laRecordando definiciónladedefinición centro de masas de una superficie de centro de ∫masas x dSde una superficie Ymax Y max x = superficie homogénea y teniendo en CM x ds x ds " " dS ∫ homogénea xhomogénea cuentaen que ds = dx ds dy,= dx dy, = teniendo cuenta que x y=teniendo yen CM ds ds " " Y =2 KX2 Y = KX cuenta que dS = dx dy , donde este diferencial de donde estede diferencial de área en se integra en la superficie delimitada donde este diferencial se integra la superficie delimitada dy dy área se área integra 2en la superficie delimitada por la 2 pory la = kx y el eje x, allegamos a la ecuación de partida: por la parábola = parábola kx y elyyeje x,2 llegamos ecuación parábola y el eje x ,lallegamos adelapartida: ecuación = kx ! de partida, dx X X X ! dx Xmaxmax CM kx 2 X max x CM = "" "" X max kx 2 X max X max dy xmax X max kx 2 X max xdx " xdx x[max xdx kx 2 kx " kx y]0 " " 2 2 xmax xdxdy kx "" xdx= dy0 xdx 0 x dx x 2dxxdx x dx=kx 2 ...... x CM = = yX0dy [=y]0X0kx 0 xdxdy X maxdy kx 2 max max 0dxdy 0x dx 0 0 kx = "" = = Xdy =0 X max = 2 ...... , X max= xCM kx 2 2 = [y] " =dx x0kx " dx " x0max kx20 "kx dx xmax0 dxdy max " " ∫∫ dx dy " dx∫∫" dy 0 0 0 "∫ 0 2 2 [∫ ] ∫ " "∫ dx ] dx [∫ydy max 0 0 ∫ kx 2 0 2 y ] kx ∫ dx"[ dx 0 0 0 0 0 0 ∫ dx kx 2 0 2 donde primero hemos integrado dy entre el eje x y la parábola (kx ) y posteriormente integraremos la 2 variable x entre 0 y Xhemos donde primero hemos integrado dy. entre el eje xdyy entre la parábola y posteriormente la ! max donde primero integrado el eje x (kx y la) parábola posteriormente y = kx 2 yintegraremos X # x 4& max variable x entre 0integraremos y Xmax. X max ! la variable x entre 0 y xmax . X 4 " kx3 dx X max%% k 4 (( k max # x 4& $ '0 3 X max 0 4 ........... 3= X = =4 =x = X max % ( X k X 3 " kx dx max %2 4x(max # x 3& kmax xmaxmax 4 % max 4 X " 4 max x 3 " kx$ dx '0 %k 2( k xmax 4 3 dx k x dx kx kx $ ' ∫ ∫ ........... = X 0 = = = = X 3 k 0 % 3( 3 3 # 4 &0 4 max 4 max 0 # =x 3&0X max$ '0= X xCM = = 3 = xmax. max " kx 2 dx xmax kxmax %k (xmax 3 x 4 3 2 dx " x % 0 %$ 3 ('∫ dx kx 2 k max kx k ∫ $ ' 0 3 0 # 3 &0 Procediendo de forma análoga 0para la coordenada y: 2 X X X kx Procediendo forma análoga para y , y 2 kx k 2x4 Procediendo de forma análogade para la coordenada y: ladxcoordenada dx kx 2 y dy dx " " " " xmax xmax " y ds = "" ydxdy = xmax0 kx02 2 2 2 4 2 y = = X0 "kxy2 % 0 = 0Xk x = X dx kxy X 2 dx dy dx X X max " ds ∫∫""y dxdy k"22dx x 4 kx 2 dx dy kx ∫0 " dx∫0 " dymax ∫0 y 2" $#dx2['&y0]kx max∫0 0 = " dx " dx =" yxmaxdy0 kx02 " =dxxmax20 yCM = = xmax 02 y ds ydxdy " "" dx 0 kx 2 0 dy 0 0 0 2 ∫∫ y CM = = = X max kx 2 dx= dyX max ∫ dx [2y ] = X max∫ dx kx = ∫ ∫ 0 kx dxdy X " ds "" 2 5 50 k x y "0 dx kx2 [ ] "kxmax2dxX"maxdy50 0 2"Xdx 0 max k0 0 0 2 5 0 " k 2 x 5 %0 2 ! 3 3 2 5k 2 x 5 = 10 = = = kX max = Ymax max X $ 3 3 ' 3 10 10 X max X max2 2 5 x X max 3 3 # & 5 =5 k kx = y 0k 5 =2 =3 2 3X k k 2 x5 max max. 3 %xmax 3 k0 "X max 2 xmaxmax 10 3 10 x k k 2 5 0 ! 3 3 k 2 3 10 3 = = 2 $# 533'&0 = = kX max = Ymax X max 10 10 X max X max x3 k k k 3 3 3 ! max CM max [ ] ] [ ] 2 max 2 max [] max max [ [ ] 0 4 ! [] max 2 max Cuestión 4 (Segundo parcial): Calcular el trabajo realizado sobre un gas ideal en una expansión isotérmica cuasi-estática desde un volumen Vi hasta un volumen V f . El trabajo realizado sobre un gas viene determinado por la expresión Vf W = − ∫ P dV . Vi Como el gas es ideal y el proceso es cuasiestático, podemos utilizar la expresión PV = nRT para cada estado intermedio en el proceso. De esta manera tenemos que Vf Vf W = − ∫ P dV = − ∫ Vi Vi nRT dV . V Como T es constante en este proceso, puede salir fuera de la integral, al igual que n y R, Vf W = −nRT ∫ Vi #V dV V = −nRT lnV V f = −nRT ( lnV f − lnVi ) = nRT ( lnVi − lnV f ) = nRT ln %% i i V $ Vf & ((. ' Si el gas se expande, V f > Vi y el valor del trabajo realizado sobre el gas es negativo. Por el contrario, si el gas se comprime, V f < Vi y el trabajo realizado sobre el gas es positivo.