Trigonometría II

T3: TRIGONOMETRÍA
1
1º BCT
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS
Queremos calcular las razones trigonométricas de la suma de dos ángulos, α + β, a partir de las razones de
los ángulos α y β.
1.1
SENO DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS
sen(α + β) = sen α · cos β + cos α · sen β
Demostración:
Como se muestra en el dibujo, para deducir la fórmula combinamos dos triángulos rectángulos.
Trazando triángulos semejantes podemos suponer que R = 1
ABC que tiene un ángulo α
ADE "
"
"
" β
D
F
La hipotenusa del triángulo ADE es AD = R = 1
Por consiguiente:
DE = sen β
α
AE = cos β
C
R=1
E
El triángulo ADG, rectángulo, se verifica:
90 - α
sen (α + β) = DG = FH
Por otra parte: FH = FE + EH
β
α
A
G
H
B
o En el triángulo AEH:
EH = AE · sen α = cos β · sen α
Observamos en el dibujo que los triángulos AEH y EFD son semejantes, por tener sus ángulos iguales.
o En el triángulo rectángulo EFD:
FE = ED · cos α = sen β · cos α
Luego, hemos obtenido:
sen (α + β) = DG = EH + FE = cos β · sen α + sen β · cos α
Luisa Muñoz
- 1-
T3: TRIGONOMETRÍA
1.2
1º BCT
COSENO DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS
cos(α + β) = cos α · cos β – sen α · sen β
Demostración:
Según el dibujo anterior: cos (α + β) = AG = AH – GH
o En el triángulo AEH:
AH = AE · cos α = cos β · cos α
o En el triángulo rectángulo EDF:
GH = DF = DE · sen α = sen β · sen α
Luego, hemos obtenido:
cos(α + β) = AH – GH = cos α · cos β – sen α · sen β
1.3
TANGENTE DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS
tg(α + β) =
tgα + tgβ
1- tgα· tgβ
Demostración:
tg (α + β) =
sen(α + β) sen α·cosβ + senβ·cos α
=
=
cos(α + β) cos α·cosβ - senβ·sen α
(Dividimos numerados y denominador por cos α · cos β)
senα·cosβ senβ·cos α
+
tgα + tgβ
cos α·cosβ cos α·cosβ
tg (α + β) =
=
cos α·cosβ senβ·sen α
1- tgα·tgβ
cos α·cosβ cos α·cosβ
Luisa Muñoz
- 2-
T3: TRIGONOMETRÍA
2
1º BCT
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS
Empleando las fórmulas de la suma de dos ángulos y las razones de ángulos opuestos, vamos a determinar
las razones de la diferencia de dos ángulos.
2.1
SENO DE LA DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS
sen (α – β) = cos β · sen α – sen β · cos α
Demostración:
sen (α - β) = sen [α + (-β)] = cos (-β) · sen α + sen (-β) · cos α
Teniendo en cuenta:
cos (-β) = cos β
sen (-β) = - sen β
Obtenemos:
sen (α – β) = cos (-β) · sen α + sen (-β) · cos α = cos β · sen α – sen β · cos α
2.2
COSENO DE LA DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS
cos(α – β) = cos α · cos β + sen α · sen β
Demostración:
cos (α – β) = cos [α + (-β)] = cos (-β) · cos α – sen (-β) · sen α
Teniendo en cuenta:
cos (-β) = cos β
sen (-β) = - sen β
Obtenemos:
cos (α – β) = cos (-β) · cos α – sen (-β) · sen α = cos β · cos α + sen β · sen α
2.3
TANGENTE DE LA DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS
tg(α - β) =
tgα - tgβ
1+ tgα· tgβ
Demostración:
tg[α + (-β)] =
tgα + tg(-β)
1- tgα·tg(-β)
Teniendo en cuenta:
tg (-β) = - tg β
Obtenemos:
tg(α - β) =
Luisa Muñoz
tgα + tg(-β)
tgα - tgβ
=
1- tgα·tg(-β) 1+ tgα·tgβ
- 3-
T3: TRIGONOMETRÍA
3
1º BCT
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DOBLE
Vamos a determinar las razones del ángulo doble a partir de las razones de la suma de dos ángulos.
2
1) sen (2α) = 2 sen α · cos α
2
3) tg2α =
2) cos (2α) = cos α – sen α
2 tgα
1- tg 2 α
Demostración:
sen (2α) = sen (α + α) = cos α · sen α + sen α · cos α = 2 sen α · cos α
2
2
cos (2α) = cos (α + α) = cos α · cos α – sen α · sen α = cos α – sen α
tg (2α) = tg (α + α) =
4
tgα + tgα
2 tgα
=
1- tgα·tgα 1- tg 2 α
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO MITAD
α
1) sen   =
2
1- cos α
2
α
2) cos   =
2
α
3) tg   =
2
1+ cos α
2
1- cos α
1+ cos α
Demostración:
α
Teniendo en cuenta que α = 2· , vamos a determinar las razones del ángulo mitad empleando las
2
razones del ángulo doble.
α
α
α
α
α
 α  1- cos α
cos (α) = cos2   − sen2   = 1- sen2   − sen2   = 1- 2sen2   → sen2   =
→
2
2
2
2
2
2
2
α
sen   =
2
1- cos α
2
1- cos α 1+ cos α
α
α
α
cos2   = 1- sen2   = 1=
→ cos   =
2
2
2
2
 
 
2
α
sen  
α
2 =
tg   =
2

  cos α 
2
 
Luisa Muñoz
1- cos α
2
=
1+ cos α
2
1+ cos α
2
1- cos α
1+ cos α
- 4-
T3: TRIGONOMETRÍA
5
1º BCT
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Una ecuación trigonométrica es aquella ecuación en la que aparecen una o más razones trigonométricas. En
las ecuaciones trigonométricas la incógnita es el ángulo común de las razones trigonométricas.
Ejemplos:
sen x = 0.2
1 + tgx x = 2
sen x + cos x = 1
No puede especificarse un método general que permita resolver cualquier ecuación trigonométrica; sin
embargo, un procedimiento efectivo para solucionar un gran número de éstas consiste en:
1º.- Transformar, usando principalmente las identidades trigonométricas, todas las razones que aparecen en
una sola razón (es recomendable pasarlas todas a senos o cosenos).
2º.- Una vez expresada la ecuación en términos de una sola razón trigonométrica, se aplican los pasos
usuales en la solución de ecuaciones algebraicas para despejar la razón
3º.- Por último, se resuelve la parte trigonométrica, es decir, conociendo el valor de la razón trigonométrica
de un ángulo hay que pasar a determinar cuál es ese ángulo. Para ello, empleando la calculadora
determinamos el menor de los ángulos.
Ejemplos:
1) sen x = 1
Empleando la calculadora obtenemos x = 90º → Las soluciones son : 90º + 360º · k
2
2) cosec x =
4
3

2 3
cos ec x =
⇒ x = 60º , x = 120º

2
2 3

3
cosec x = ±
=±
→ 
3
3
2 3

cos ec x = − 3 ⇒ x = 240º , x = 300º
3) tg x = -1
Sabemos que la tangente es negativa en el 2ºC y en el 4º C
Empleando la calculadora, se obtiene
-
1
INV
TG
=
-45º
El ángulo obtenido está en el 4ºC, considerando el ángulo positivo
correspondiente
x = 360º - 45º = 315º
Para obtener el ángulo del 2º C prolongamos el lado extremo del ángulo:
x = 90º + 45º = 135º
Luisa Muñoz
- 5-
T3: TRIGONOMETRÍA
1º BCT
4) sec 4x = -2
Para poder calcular el ángulo a partir de la razón, es necesario que la razón que aparezca en la
ecuación sea seno, coseno ó tangente (ya que son la razones que tiene la calculadora)
Si sec 4x = -2 ⇒ cos 4x = -1/2 ⇒ 4x = 120º (calculadora)
El coseno es negativo en el segundo y tercer cuadrante:
4x = 180º + 60º = 240º ⇒ x = 60º
4x = 120º ⇒ x = 30º
5)
3 tg x – 1 = 0
3 tg x – 1 = 0 → tg x =
1
→ x = 30º + 360ºk , x = 210º + 360ºk
3
6) sen x · cos x = 0
sen x · cos x = 0 → sen x = 0 , cos x = 0
o
sen x = 0 → x = 0º, x = 180º
o
cos x = 0 → x = 90º, x = 270º
7) 1 + 2 sen x = 3 cosec x
1 + 2 sen x =
3
2
→ sen x + 2 sen x = 3
sen x
Realizamos el cambio: t = sen x
2
2
sen x + 2 sen x = 3 → 2t + t – 3 = 0
Resolvemos la ecuación de segundo grado:
3
 −1 − 5
=−
−1 ± 1+ 24 −1 ± 5  4
2
t=
=
=
−
1
+
5
4
4

=1
 4
Deshaciendo el cambio, obtenemos:
3
3
→ sen x = − (imposible ya que -1 ≤ sen x ≤ 1)
2
2
o
t= −
o
t = 1 → sen x = 1 → x = 90º + 360ºk
Luisa Muñoz
- 6-
T3: TRIGONOMETRÍA
6
1º BCT
AMPLIACIÓN: SUMA Y DIFERENCIA DE SENOS Y COSENOS
6.1
SUMA Y DIFERENCIA DE SENOS
sen A + sen B = 2 sen
A +B
A−B
· cos
2
2
sen A – sen B = 2 cos
A +B
A−B
· sen
2
2
Demostración:
Consideremos las fórmulas de los senos de suma y diferencia de ángulos:
sen (α + β) = sen α ·cos β + sen β · cos α
sen (α – β) = sen α ·cos β – sen β · cos α
Sumando ⇒ sen (α + β) + sen (α – β) = 2 sen α ·cos β
Restando ⇒ sen (α + β) – sen (α – β) = 2 sen β · cos α
Realizando el cambio:
α+β=A
⇒α=
α–β=B
A +B
A -B
;β=
2
2
Sustituyendo:
sen A + sen B = 2 sen
6.2
A +B
A -B
·cos
2
2
sen A – sen B = 2 cos
A +B
2
· sen
A -B
2
SUMA Y DIFERENCIA DE COSENOS
cos A + cos B = 2 cos
A +B
A−B
· cos
2
2
cos A – cos B = -2 sen
A +B
A−B
· sen
2
2
Demostración:
Consideremos las fórmulas de los cosenos de suma y diferencia de ángulos:
cos(α + β) = cos α · cos β – sen α · sen β
cos(α – β) = cos α · cos β + sen α · sen β
Sumando ⇒ cos (α + β) + cos (α – β) = 2 cos α ·cos β
Restando ⇒ cos (α + β) – cos (α – β) = - 2 sen α · sen β
Realizando el cambio:
α+β=A
α–β=B
⇒α=
A +B
A -B
;β=
2
2
Sustituyendo:
cos A + cos B = 2 cos
Luisa Muñoz
A +B
A -B
· cos
2
2
cos A – cos B = -2 sen
A +B
A -B
· sen
2
2
- 7-