ÁLGEBRA Y ÁLGEBRA II PRÁCTICO 5 Espacios con producto interno 1. Determinar cuáles de las siguientes expresiones son productos internos en R2 . (a) ((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) = x p1 y2 , (b) ((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) = (x1 + x2 )2 + (y1 + y2 )2 , (c) ((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) = x1 y1 − x1 y2 − x2 y1 + 2x2 y2 . 2. Determinar cuáles de las siguientes son espacios con producto interno, con las funciones especificadas. P b) C[−1, 1] con (f, g) = f (0)g(0) a) Cn , con (α, β) = ni=1 xi yi Rb n×n t c) R con (A, B) = P tr(AB ), d) C[a, b] con (f, g) = a f (t)g(t)dt. e) Rn×n con (A, B) = i,j (AB(i, j)) 3. Sea V un espacio vectorial y ( , ) un producto interno sobre V . (a) Demostrar que (0, α) = 0 para todo α de V . (b) Demostrar que si (α, β) = 0 para todo β de V , entonces α = 0. (c) Demostrar que α = β si y solo si (α, γ) = (β, γ), para todo γ en V . 4. (a) Sean α1 = (1, 2) y α2 = (3, 4). Sea ( , ) un producto interno en C2 tal que (α1 , α1 ) = 1, (α1 , α2 ) = 1 + 2i, (α2 , α2 ) = 1/2. Calcular (α, β), para α, β en C2 . (b) Sea V un espacio vectorial con producto interno de dimensión n, y B = {α1 , . . . αn } base de V . Probar que dados α, β en V , el valor (α, β), queda determinado a partir de los valores (αi , αj ) para todo i, j y mostrar que existe una matriz G n × n autoadjunta, tal que y ¡ ¢ .1 (α, β) = x1 . . . xn G .. , yn x1 y1 .. .. donde . = [α]B y . = [β]B . xn yn 5. Considerar R4 con el producto interno canónico. Sea W el subespacio de R4 generado por α1 = (1, 0, −1, 1) y α2 = (2, 3, −1, 2) . Hallar una base de W ⊥ . 6. (a) Usando el procedimiento de Gram-Schmidt, construir la base ortonormal a partir de la base: B = {α1 = (1, 1, 1), α2 = (0, 1, 0), α3 = (−1, −1, 1)} en R3 y respecto del producto escalar canónico. (b) Resolver el mismo problema para la base B = {1, x, x2 } de P 3 con el producto interno (f, g) = R1 0 f (x)g(x) dx. 7. Sea V un espacio vectorial con producto interno de dimensión n. Sea v ∈ V un vector no nulo y W = {w ∈ V : w es ortogonal a v}. (a) Probar que W es un subespacio vectorial de V . (b) Probar que dim W = n − 1. 1 2 PRÁCTICO 5 8. Sea V el subespacio vectorial de todas las matrices n × n sobre R, con el producto interno (A, B) = tr(AB t ). Hallar el complemento ortogonal del subespacio de matrices diagonales. 1. Rectas y planos Si V un espacio vectorial, v ∈ V y W es un subespacio de dimensión k, llamaremos al conjunto v + W una k-variedad lineal de V, (ver Ej .. Práctico..) Definimos entonces, una recta como una 1-variedad lineal de Rn y un plano como una 2-variedad lineal de Rn . Recordar que una k-variedad lineal, v + W , es un subespacio si y solo si v ∈ W. 9. Si L ∈ R2 es una recta demostrar que (a) existen v, w ∈ R2 tal que L = {α ∈ R2 : α = t.w + v, t ∈ R} (llamada ecuación vectorial o paramétrica de la recta) (b) existen v, n ∈ R2 tal que L = {α ∈ R2 : hα − v, ni = 0} (llamada ecuación normal dela recta. A n se lo llama el vector normal) (c) existen a, b ∈ R tal que L = {(x, y) ∈ R2 : y − ax − b = 0} (llamada ecuación implı́cita de la recta.) 10. Si L ∈ R3 es una recta demostrar que (a) existen v, w ∈ R3 tal que L = {α ∈ R3 : α = t.w + v, t ∈ R} (llamada ecuación vectorial de la recta). (b) ¿Que puede decir de las otras dos ecuaciones? 11. Si π ∈ R3 es un plano demostrar que (a) existen v, u, w ∈ R3 tal que π = {α ∈ R3 : α = s.u + t.w + v, s, t ∈ R} (llamada ecuación vectorial o paramétrica del plano) (b) existen v, n ∈ R3 tal que π = {α ∈ R3 : hα − v, ni = 0} (llamada ecuación normal del plano. A n se lo llama el vector normal) (c) existen a, b, c, d ∈ R tal que π = {(x, y, z) ∈ R2 : a.x + b.y + c.z + d = 0} (llamada ecuación implı́cita del plano.) Definiciones: Dos rectas en R2 , L1 y L2 , se dicen paralelas si sus vectores normales satisfacen n1 = c.n2 para algún c ∈ R. Se dicen ortogonales si sus vectores normales satisfacen hn1 , n2 i = 0. Analogamente, dos planos en R3 , P1 y P2 , se dicen paralelos si sus vectores normales satisfacen n1 = c.n2 para algún c ∈ R y se dicen ortogonales si sus vectores normales satisfacen hn1 , n2 i = 0. 12. Describir paramétricamente e implı́citamente las siguientes rectas. R1 : recta que pasa por (2, 0) y es ortogonal a (1, 3). R2 : recta que pasa por (−3, 0, 2) y es paralela al vector (0, 3, −2). y−3 z+1 R3 = {(x, y, z) : x+2 2 = 1/2 = −3 }. 13. Describir paramétricamente e implı́citamente los siguientes planos. En todos los planos escribir la ecuación implı́cita y la ecuación normal. π1 : el plano que pasa por (0, 1, 6), (1, −1, 3), (2, −2, 2). π2 : el plano que pasa por (1, 2, −2) y es perpendicular a la recta que pasa por (2, 1, −1), (3, −2, 1). π3 = {X : X = s(1, 2, 0) + t(2, 0, 1) + (1, 0, 0); s, t ∈ R}.