Probabilidad: condicionalidad e independencia

UNIDAD
4
Probabilidad:
condicionalidad
e independencia
Objetivos
Al finalizar la unidad, el alumno:
•
•
•
•
•
comprenderá el concepto deprobabilidad condicional
distinguirá eventos dependientes e independientes
aplicará problemas de eventos dependientes con el
uso de la regla de multiplicación de probabilidades y
los diagramas de árbol
aplicará los conceptos de dependencia e independencia para la solución de problemas
resolverá problemas relacionados con los teoremas
de la probabilidad total y de Bayes
Introducción
E
n esta unidad se trabajará con la corriente bayesiana para la asignación de probabilidades
a eventos. Cabe mencionar que en la mayoría de los libros dedicados a la probabilidad, no
se hace tanto énfasis en la probabilidad condicional como aquí. Generalmente, se introduce
como ejemplo para calcular probabilidades de eventos restringidos a la ocurrencia de uno
u otroseventos; pero como se verá esto no es así, puesto que la probabilidad condicional es
en realidad un tipo muy especial de probabilidad.
Esta unidad inicia con la definición de probabilidad condicional y con algunos
ejercicios que muestran su aplicación, posteriormente se aborda la regla de multiplicación
de probabilidadesy loseventosindependientes, su relación con laprobabilidad condicional
y la regla de multiplicación.
Es importante entender el concepto de independencia, puesto que aparece en la
mayoría delasaplicacionesestadísticas(intervalosdeconfianza, laspruebasdehipótesis, etcétera).
La unidad finaliza con los teoremas de probabilidad total y de Bayes; se verá que el
teorema de Bayes no es más que una probabilidad condicional dentro de una partición de
eventos.
4.1 Probabilidad condicional
En las unidades 2 y 3 se estudiaron probabilidades de eventos que no estaban restringidos
o relacionados con la ocurrencia de otros sucesos, con frecuencia, al tratar de calcular la
probabilidad de un evento A, se observa que puede estar restringido a la ocurrencia de
algún evento B. Este tipo de problemas es muy común. En la práctica es necesario reunir
la mayor cantidad de datos si se quiere calcular la probabilidad de la ocurrencia de un
fenómeno determinado, por ejemplo, para calcular la probabilidad de que mañana llueva
se puede comenzar por identificar la época del año, medir la humedad, analizar el viento,
etc. Desde luego, las probabilidades asignadas a este tipo de problemas dependen en gran
medida de los conocimientos previos sobre los factores que se vayan agregando, por lo que,
muchos autores le llaman probabilidad
.
En primer lugar se simboliza la probabilidad del evento A, el cual está restringido
a la ocurrencia del evento B (desde luego se asume que P(B) 0; en caso contrario no
tendría sentido la restricción sobre la ocurrencia del evento B), por P( A | B), que se lee
probabilidad de A dado B.
En segundo lugar se introduce una fórmula para el cálculo de P( A | B); obsérvese
que los eventos A y B están dentro de un mismo espacio muestral (S); por tanto, la probabilidad de que ocurra el evento A sujeto a que ocurra B, está dada por la expresión
P( A | B)
P( A B)
, P(B) 0
P(B)
(1)
118
donde tanto P(B) como P( A B) son probabilidades de eventos definidos en un mismo
espacio muestral S.
Se puede verificar que la fórmula 1 cumple con los tres axiomas de Kolmogorov
sobre la probabilidad axiomática; por tanto
P( A B)
, P(B) 0
P(B)
P( A | B)
Ésta no es sólo una simple división de probabilidades, representa una probabilidad
axiomática a la que se llama probabilidad condicional, y se lee probabilidad de que suceda A,
dado que sucedió B.
Definición 4.1
Dados los eventos A y B, se llama probabilidad condicional del evento A, puesto que sucedió B, a
P( A | B)
Ejemplo 1
P( A B)
, con P(B) 0
P(B)
1. Dados los eventos A y B (dentro de un mismo espacio muestral S), tales que P(A) = 0.6,
P(B) = 0.4 y P( A B) = 0.1, se calcula P( A | B) .
De la fórmula 1, se tiene que
P( A | B)
0.1
0.4
0.25 P( A )
2. Dados los eventos A y B (dentro de un mismo espacio muestral S), tales que P(A) = 0.6,
P(B) = 0.4 y P( A B) = 0.3, se calcula P( A | B).
De la fórmula 1, se tiene que
P( A | B)
0.3
0.4
0.75 P( A )
3. Dados los eventos A y B (dentro de un mismo espacio muestral), tales que P(A) = 0.6,
P(B) = 0.5 y P( A B) = 0.3, se calcula P( A | B).
De la fórmula 1, se tiene que
P( A | B)
0.3
0.5
0.6 P( A )
Delosejemplosanterioresseconcluye queentreP(A) y P( A | B) puedecumplirse
cualquier relación de orden, ya sea mayor ( ), menor ( ) o igual (=).
4. En un lote de 50 automóviles nuevos se reparten aleatoriamente 20 para el mercado
interno y 30 para el de exportación. Diez de los automóviles de exportación son de
color blanco, y los otros 20 de color azul, mientras que la mitad de los automóviles
del mercado interno son de color blanco y la otra mitad azul. Si el gerente considera
aleatoriamente un automóvil de color blanco, ¿cuál es la probabilidad de que dicho
automóvil sea de exportación?
Este tipo de problemas se resuelve fácilmente empleando una tabla para
representar los datos.
119
Blanco
B
Azul
A
Total
Mercado interno, I
10
10
20
Mercado externo, E
10
20
30
Total
20
30
50
Puesto que existe testricción a considerar un automóvil blanco, la probabilidad
de que el automóvil sea de exportación es de tipo condicional.
Donde I representa a los automóviles del mercado interno, E a los del externo,
B a los de color blanco, y A a los de color azul. El espacio muestral en este caso consta
de 50 elementos. Por tanto, la probabilidad de elegir un automóvil blanco es
P(B)
(B)
(S)
20
50
0.40
Mientras que la probabilidad de elegir un automóvil blanco y de exportación es
P(E
B)
(E B)
(S)
10
50
0.20
0.20
0.40
0.5
por tanto
P(E| B)
P(E B)
P(B)
5. Una urna contiene trece esferas iguales numeradas del uno al trece, de las cuales
cinco son rojas y ocho blancas. Se toman al azar dos esferas de la urna una tras otra
sin reemplazo; si la primer esfera extraída es blanca, se calcula la probabilidad de que
la segunda también lo sea.
Estos problemas, aunque sencillos, ilustran bastante bien el concepto de
probabilidad condicional. Para su solución se simbolizan los eventos
A: “la primer esfera extraída es blanca”
B: “ la segunda esfera extraída es blanca”
Existe restricción para extraer una esfera blanca y quedan doce esferas en la
urna (siete son blancas), se tiene que la probabilidad de extraer una segunda bola
blanca es
P(B| A )
7
= 0.58
12
Ejercicio 1
1. Dados los eventos A y B, tales que P(A) = 0.2, P(B) = 0.3 y P(A
a)
b)
P(Ac Bc )
P(Ac | B)
B) = 0.4, calcula
120
2. Dados los eventos A y B mutuamente excluyentes, tales que P(Ac) = 0.6 y P(B) = 0.5,
calcula
a)
b)
P(A B)
P(Ac | Bc )
3. Al lanzar dos dados, uno de ellos resulta cuatro, calcula la probabilidad de que la
suma de los dos dados sea igual a siete.
4. Unabolsa contienecinco pelotasblancasy tresnegras, y una segunda bolsa contiene
tres blancas y seis negras. Sin ver se toma una pelota de la segunda bolsa y se
coloca en la primera; calcula la probabilidad de que una pelota extraída bajo estas
condiciones de la primera bolsa sea negra.
5. De un lote de 200 automóviles nuevos se reparten aleatoriamente 120 para el
mercado interno y 80 para el de exportación; 30 de los automóviles de exportación
son grises, 30 verdes y el resto azules; mientras que la mitad de los automóviles
del mercado interno son grises, 30 verdes y el resto azules. Si el gerente elige
aleatoriamente un automóvil gris, calcula la probabilidad de que dicho automóvil
sea de exportación.
4.2 Regla de multiplicación de probabilidades
Al calcular la probabilidad de la intersección de dos eventos A y B, cuando se conoce
la probabilidad de uno de ellos y la probabilidad del otro condicionado al primero,
se emplea la fórmula 1; la operación se hace con el uso de la regla de multiplicación de
probabilidades.
Dado Sel espacio muestral y A, B dos eventosen él, talesque P(B) 0. De la fórmula
(1), al calcular la probabilidad condicional P( A | B), se deduce
P( A
B) P(B)P( A | B)
(2)
También, de forma equivalente a partir de P(B | A), se obtiene
P( A
B) P(A )P(B| A)
(3)
Las fórmulas anteriores se conocen como regla de multiplicación de probabilidades.
Ejemplo 2
1. Una urna contiene trece esferas iguales numeradas del uno al trece, de las cuales
cinco son rojas y ocho blancas. Si se toman al azar dos, una tras otra sin reemplazo,
se calcula la probabilidad de que sean blancas.
Se simboliza
A: “la primer esfera extraída es blanca”
B: “la segunda esfera extraída es blanca”
Como originalmente en la urna existen trece esferas, de las cuales ocho son
blancas, se tiene
P( A )
8
13
121
Cuando se calcula la probabilidad del evento B existe restricción para extraer
una esfera blanca, quedando doce esferas en la urna de las cuales siete son blancas.
Se tiene entonces que la probabilidad de extraer una segunda esfera blanca es
P(B| A )
7
12
Finalmente, con las probabilidades calculadas, y empleando la fórmula (3), se
obtiene
P( A
B) P( A )P(B| A )
8 7
13 12
56
156
0.3590
2. Una urna contiene trece esferas iguales de las cuales tres son rojas, cuatro blancas y seis
azules. Se toman al azar dos, y se calcula la probabilidad de que una de ellas sea roja, si
se extraen una tras otra sin reemplazo.
Al tomar dos esferas al azar, se tienen dos opciones de que una sea roja:
1. Cuando la primer esfera es roja y la segunda no lo es.
2. Cuando la primer esfera no es roja y la segunda sí lo es.
Losdoscasosanterioresson mutuamenteexcluyentesy, por tanto, laprobabilidad
final será la suma de los dos resultados.
1. Se simboliza
A1: “la primer esfera extraída es roja”
B2: “la segunda esfera extraída no es roja”
Empleando esta notación, se tiene que la probabilidad es P( A1 B2 ).
Si se tienen trece esferas de las cuales tres son rojas, P(A1) = 3/ 13.
Si la primera esfera extraída es roja, nos quedan dos rojas y diez no rojas.
Por tanto, P(B2 | A1 ) = 10/ 12.
Para calcular la probabilidad P( A1 B2 ) , se emplea la regla de multiplicación de probabilidades y se sustituyen las probabilidades encontradas
P( A1
B2 ) P( A1 )P(B2 | A1 )
3 10
13 12
30
156
2. Sesimboliza
B1: “la primer esfera extraída no es roja”
A2: “la segunda esfera extraída es roja”
Empleando esta notación, se tiene que la probabilidad es P(B1 A2 ).
Se tienen trece esferas, de las cuales diez no son rojas, P(B1) = 10/ 13. Si la
primer esfera extraída no fue roja, quedan tres rojas y nueve no rojas. Por
tanto, P( A2 | B1 ) = 3/ 12.
Para calcular la probabilidad P(B1 A2 ) se emplea la regla de multiplicación de probabilidades y se sustituyen las probabilidades encontradas
P(B1
A2 ) P(B1 )P( A2 | B1 )
10 3
13 12
30
156
122
Como se puede observar, el espacio muestral Stendrá (S) = 13 12 =
156 elementos.
Finalmente, la probabilidad buscada esla unión de loseventosmutuamente excluyentes A1 B2 y B1 A2. Por tanto
P ( A1
B2 )
(B1
A2 )
P( A1
B2 ) P(B1
A2 )
30 30
156 156
0.3846
4.2.1 Generalización de la regla de multiplicación de probabilidades
Ahora se presenta el caso de la regla de multiplicación para tres eventos. Sea Sel espacio
muestral con los eventos A, B y C, tales que P(C) 0 y P(B C) 0 y aplicando la
fórmula 3 de multiplicación de probabilidades y la ley asociativa del álgebra de eventos,
se deduce
P( A
B C) P A
(B C)
P(B C)P( A | B C)
P(C)P(B| C)P( A | B C)
De forma equivalente, empleando las leyes conmutativa y asociativa del álgebra de
eventos, se obtienen las 3! = 6 combinaciones posibles
P( A
B C) P(C)P(B| C)P( A | B
P(B)P(C| B)P( A | B
P( A)P(B| A)P(C| A
P(B)P( A | B)P(C| A
P( A)P(C| A)P(B| A
P(C)P( A | C)P(B| A
C), con P(C), P(B C) 0
C), con P(B), P(B C) 0
B), con P( A), P( A B) 0
B), con P(B), P(A B) 0
C), con P(A), P( A C) 0
C), con P(C), P( A C) 0
En su forma general, la regla de multiplicación de probabilidades para n eventos
está dada por la expresión
P A1
A2
An
P A1 P A2 | A1 P A3 | A1
A2
P A n | A1
A2
An
1
Al igual que en el caso de tres eventos, se pueden obtener n! combinaciones posibles.
Para el cálculo de probabilidades condicionales se pueden emplear diferentes
técnicas. Una de ellas son las tablas (como en el numeral 1 del ejercicio 4); otras, aunque
un poco más complicadas para estos casos, son las técnicas de conteo. Enseguida se
empleará la técnica de los diagramas de árbol.
4.2.2 Empleo de diagramas de árbol en la probabilidad condicional
Los diagramas de árbol se aplicaron en la unidad 3 como una herramienta en el cálculo
de la cantidad de arreglos. En especial, se determinó que constituyen una forma sencilla
(aunque engorrosa) de encontrar todos los arreglos posibles entre los elementos de varios
123
conjuntos. Ahora se mostrará que muchos problemas de probabilidad condicional se
pueden resolver con su uso. En primer lugar se analizarán sus detalles técnicos.
El árbol comienza a trazarse desde un punto que se llama vértice, hacia las diferentes ramas,
llamadas caminos o aristas; cada una de ellas llega a otro vértice y de igual forma desde ese punto
pueden trazarse otras aristas y así sucesivamente hasta terminar con todos los caminos posibles.
En la teoría de las probabilidades debe cumplirse que la suma de todas las
probabilidades de los diferentes caminos de cualquier vértice, sea igual a uno.
Laprobabilidad deunarama cualquiera seobtiene multiplicando lasprobabilidades
de los caminos descendentes, a partir del vértice de la última arista hasta llegar al vértice
inicial.
Es importante observar que las probabilidades de los caminos ascendentes son
probabilidades condicionales, puesto que están restringidas a que sucedan los eventos de
las aristas anteriores.
Ejemplo 3
Una bolsa contiene cinco pelotas blancas y tres negras; una segunda bolsa contiene tres
blancas y seis negras, y una tercer bolsa contiene ocho pelotas blancas y tres negras, todas
las pelotas son iguales en forma y tamaño. Se toma al azar una pelota de la bolsa 1 y se
coloca sin verla en la bolsa 2, y de ésta se toma una pelota y se coloca en la bolsa 3; se calcula
la probabilidad de que una pelota que se saque de la bolsa 3 sea negra, se resuelve mediante
diagramas de árbol y se anotan en forma simbólica las probabilidades encontradas.
Primero es necesario elaborar un diagrama de árbol que represente las diferentes
acciones que pueden ocurrir al tomar y colocar pelotas de una bolsa en otra. Después se
asignan probabilidades a las diferentes ramificaciones del diagrama
Si se toma una pelota blanca de la bolsa 1 y se coloca en la bolsa 2 se tendrán 3 + 1 = 4
pelotas blancas y seis negras.
En caso de que la pelota de la bolsa 1 sea negra, la bolsa 2 tendrá tres blancas y
6 + 1 = 7 negras.
Finalmente, si de la bolsa 2 se extrae una pelota blanca al colocarla en la bolsa 3 se
tendrán 8 + 1 = 9 blancas y tres negras, en caso contrario serán 3 + 1 = 4 negras y ocho
blancas.
124
Se simboliza
Bk: “la pelota extraída de la bolsa k es blanca”; donde k = 1, 2, 3
Nk: “la pelota extraída de la bolsa k es negra”
El siguiente diagrama muestra las probabilidades correspondientes:
Se tienen, según el diagrama anterior, las siguientes probabilidades:
Para la bolsa 1: P(B1) = 5/ 8 y P(N1) = 3/ 8.
Después de ocurrida la extracción de la bolsa 1, se tienen las probabilidades condicionales para la segunda bolsa:
1. Para el caso de la primer ramificación en la bolsa 1, P(B2 | B1 ) = 4/ 10 = 2/ 5 o
P(N2 | B1 ) = 6/ 10 = 3/ 5.
2. Para el caso de la segunda ramificación en la bolsa 1, P(B2 | N1 ) = 3/ 10 o
P(N2 | N1 ) = 7/ 10.
Finalmente, después de extraer las pelotas de las bolsas 1 y 2 se tienen las probabilidades condicionales para la bolsa 3
1. Para el caso de la primer ramificación en la bolsa 2, P(B3| B2 B1) = 9/ 12 = 3/ 4 o
P(N 3 | B2 B1 ) = 3/ 12 = 1/ 4.
2. Parael caso delasegundaramificación en labolsa2, P(B3| N2 B1) = 8/ 12 = 2/ 3 o
P(N 3 | N2 B1 ) =4/ 12 = 1/ 3.
3. Para el caso de la tercer ramificación en la bolsa 2, P(B3| B2 N1) = 9/ 12 = 3/ 4 o
P(N 3 | B2 N1 ) = 3/ 12 = 1/ 4.
4. Para el caso de la cuarta ramificación en la bolsa 2, P(B3| N2 N1) = 8/ 12 = 2/ 3 o
P(N 3 | N2 N1 ) = 4/ 12 = 1/ 3.
Con base en los resultados anteriores es posible calcular las probabilidades de que
la bola extraída de la bolsa 3 sea negra. Para tal efecto se tienen cuatro casos
125
3 4 5
12 10 8
1
16
1. P(N 3 | B1
B2 )P(B2 | B1 )P(B1 )
2. P(N 3 | B1
N2 )P(N2 | B1 )P(B1 )
4 6 5
12 10 8
1
8
3. P(N 3 | N1
B2 )P(B2 | N1 )P(N1 )
3 3 3
12 10 8
9
320
4 7 3
12 10 8
Finalmente, por el principio de la suma, resulta
4. P(N 3 | N1
N2 )P(N2 | N1 )P(N1 )
P(N 3 )
1
16
1
8
9
320
7
80
97
320
7
80
0.303125
Ejercicio 2
1. Dados los eventos A y B, tales que P(Ac) = 0.6, P(B) = 0.5 y P A | B = 0.6, calcula
a)
b)
P(A B)
P(Ac | Bc )
2. Dados los eventos A y B, tales que P(A) = 0.7, P(Bc) = 0.6 y P( A
a)
b)
B) = 0.9, calcula
P A B| A
P(Ac B| B)
3. Las enfermedades I y II son comunes entre la gente de cierta población. Se supone
que 40% de la población contraerá la enfermedad I alguna vez en su vida, 15%
contraerá eventualmente la enfermedad II y 3% contraerá ambas.
a)
b)
calcula la probabilidad de que una persona considerada al azar de esta población
contraiga al menos una de las dos enfermedades
calcula la probabilidad de que una persona considerada al azar de esta población
contraiga ambas enfermedades, dado que ha contraído al menos una de ellas
4. Una bolsa contiene cinco pelotas blancas y tres negras, una segunda bolsa contiene
tresblancasy seisnegras, y una tercer bolsa contiene ocho pelotasblancasy tresnegras,
todas iguales en forma y tamaño. Se saca al azar una pelota de la bolsa 3 y se coloca sin
verla en la bolsa 2, posteriormente de ésta se saca una pelota y se coloca en la bolsa 1,
calcula la probabilidad de que una pelota extraída de la bolsa 1 sea negra.
5. En la ciudad de México se ha observado que 95% delosautomóvilesutilizan gasolina
y el restante gas. De los automóviles que usan gasolina, 70% emplea Magna y 30%
restante Premium, calcula:
a)
b)
la probabilidad de que el siguiente automóvil que pase por un crucero determinado emplee gasolina Premium
si el automóvil que pasó emplea gasolina, calcula la probabilidad de que sea Magna
126
4.3 Eventos independientes
En la sección anterior se analizaron los eventos A y B pertenecientes a un mismo
espacio muestral S, tales que la ocurrencia de un evento estaba condicionada a que el
otro sucediera. Ahora se estudiará el caso en el que los eventos A y B son tales que su
ocurrencia no está condicionada a la del otro: A sucede de manera independiente del
evento B, y viceversa.
Por ejemplo, al lanzar un dado, la probabilidad de que resulte un cinco es 1/ 6. Si se
lanza de nuevo, la probabilidad de que resulte otra vez un cinco sigue siendo 1/ 6.
De lo anterior se puede concluir que el resultado del segundo lanzamiento es
independiente del primero. Esto es, dado que A no está condicionado a B
P( A | B) P(A) , y P(B| A) P(B) , con P(A), P(B) 0
(4)
para eventos independientes A y B.
Empleando la regla de la multiplicación de probabilidades es posible establecer una
definición más apropiada para los cálculos con eventos independientes. Con base en las
fórmulas 2, 3 y 4, se determina la definición 4.2.
Definición 4.2
Dos eventos A y B son independientes, si y sólo si
P( A
B) = P(A)P(B).
(5)
En el caso de que P(A) = 0 o P(B) = 0, se sigue cumpliendo la definición, a diferencia
de la fórmula 4 que sólo se emplea para eventos A y B, tales que P(A), P(B) 0.
Ejemplo 4
Una urna contiene trece esferas iguales, de las cuales cinco son rojas y ocho blancas. Si se
toman al azar dos una tras otra con reemplazo, se calcula la probabilidad de que las dos
esferas extraídas sean blancas.
Se simboliza
A: “la primera esfera extraída es blanca”
B: “la segunda esfera extraída es blanca”
Originalmente en la urna existen trece esferas, de las cuales ocho son blancas y
se toman dos con reemplazo; por tanto, el espacio muestral S tiene (S) = 13 13 = 169
elementos.
Por otro lado, el evento A B (“ambas esferas blancas”) tiene ( A B) = 8 8 =
64 elementos; por tanto
P( A
B)
( A B)
(S)
64
169
Se calculan ahora las probabilidades de A y de B, comprobando que estos eventos
son independientes.
Para el evento A se tienen trece esferas, de las cuales ocho son blancas, por tanto
P( A )
8
13
127
Después de esto, se coloca de nuevo la esfera en la urna (quedan ocho blancas y
cinco rojas), de tal forma que al sacar otra vez una esfera la probabilidad del evento B es
8
13
P(B)
Se comprueba que los eventos son independientes, entonces
P( A
B) P( A )P(B)
8 8
64
13 13 169
En
n conclusión en los ejercicios donde se toman elementos, las condiciones de
hacerlo con o sin reemplazo influyen en los eventos para que éstos sean independientes
o dependientes.
con reemplazo
sin reemplazo
Teorema 4.1
Si S es un espacio muestral con los eventos
siguientes, también son independientes
A
independencia
dependencia
y
B independientes
en
S,
entonces las parejas
A y Bc; Ac y B; Ac y Bc.
Ejemplo 5
Dados A y B eventos independientes, tales que P(A) = 0.4 y P(B) = 0.7; se calcula
P(Ac B) .
Por lo analizado en la unidad 2, se sabe que P(Ac B) P(Ac ) P(B) P( Ac B) .
La probabilidad de Ac se calcula por P(Ac) = 1 – P(A) = 1 – 0.4 = 0.6. Mientrasque la
probabilidad de Ac B se calcula por el teorema 4.1, ya que Ac y B son independientes
P( A c
B) P( A c)P(B) 0.6 0.7 0.42
Finalmente,
P( A c
B) P( A c) P(B) P( A c
B) 0.6 0.7 0.42 0.88
4.3.1 Tomas sin reemplazo en poblaciones grandes
Al final de la sección anterior mencionamos que las tomas sin reemplazo daban como
resultado eventos dependientes. Sin embargo, como se verá a continuación, si las
poblaciones son grandes, entonces se podrá asegurar, con gran aproximación, que los
eventos en estas condiciones se pueden considerar independientes.
Ahora se resuelve un ejercicio parecido al anterior sobre las esferas en una urna.
Una urna contiene 1 300 esferas iguales, de las cuales 500 son rojas y 800 blancas. Si se
toman al azar dos bolas de la urna, sin reemplazo, se calcula la probabilidad de que las
dos esferas extraídas sean blancas.
Se simboliza
A: “la primer esfera extraída es blanca”
B: “la segunda esfera extraída es blanca”
128
Para el evento A se tienen 1 300 esferas, de las cuales 800 son blancas; por tanto,
P( A )
800
1 300
8
13
Al extraer una esfera blanca quedan en la urna 1 299, de las cuales 799 son blancas;
por tanto,
P(B| A )
799
1 299
Finalmente, la probabilidad de que ambassean blancas se calcula por la fórmula (3)
P( A
B) P( A )P(B| A )
8 799
13 1 299
0.3785
Por otro lado, considerando loseventos A y B independientes: para el evento A se tiene
1 300 esferas, de las cuales 800 son blancas; por tanto,
P( A )
8
13
Igualmente para el evento B (considerando A y B independientes), resulta,
P(B)
8
13
y se comprueba
P( A
B) P( A )P(B)
8 8
64
13 13 169
0.3784
0.3785
Ejercicio 3
1. Dados A y B eventos independientes, tales que P(Ac) = 0.6 y P(B) = 0.5, calcula
a)
b)
P(A B)
P(Ac | Bc )
2. Dados A y B eventos independientes, tales que P(A) = P(B) = 0.5, calcula
a)
b)
P(Ac | B)
P(Ac B)
3. Dados S= {1, 2, 3, 4, 5, 6} como el espacio muestral que denota los posiblesresultados
del lanzamiento de un dado, y A y B los eventos simbolizados por
A: “el resultado del lanzamiento es uno o dos”
B: “el resultado es dos, tres o cuatro”
Indica si existe independencia en estos eventos. Justifica tu respuesta mediante
un modelo de probabilidades.
4. Un sistema para detectar humo utiliza dos dispositivos (A y B), que trabajan
independientemente. Si hay humo, la probabilidad de que sea detectado por
129
el dispositivo A, es de 0.9 y por el dispositivo B, de 0.95. Si hay humo, calcula la
probabilidad de que sea detectado por cualquiera de los dos dispositivos A o B, o
ambos.
5. En un fraccionamiento residencial se bombea el agua potable, para tal efecto se
tienen dos bombas, una trabajando y la otra de repuesto. Si la probabilidad de que
cualquiera de las dos bombas falle es 0.01 y su funcionamiento es independiente,
calcula la probabilidad de que en un día determinado los habitantes del fraccionamiento se queden sin agua.
4.4 Teorema de la probabilidad total
Ahora se verá cómo se resuelven ciertos problemas donde se conoce el espacio muestral
y una partición de éste, se tiene conocimiento de las probabilidades de los eventos de la
partición y se quiere calcular la probabilidad de otro evento del mismo espacio muestral.
Pero antes de continuar recuérdese el concepto de partición de un espacio muestral,
estudiado en la unidad 2.
Dado Sun espacio muestral, donde los eventos E1, E2,..., En forman una partición
de S, si cumplen con lo siguiente
a) P(Ek )
0 , para toda k = 1, 2,..., n
n
b) S
Ek
k 1
c) para cualesquier par de eventos Ei y Ej , con i
Ei Ej
Ejemplo 6
j, de la partición se cumple
1. Un experimento consiste en lanzar dos monedasy se anotan lascombinaciones de los
resultados. Se tiene S= {ss, sa, as, aa} (donde cara sol = s y cara águila = a).
Los siguientes eventos forman una partición de S.
E1:“resulte sólo una cara águila”, E1 = {sa, as}
E2: “resulten dos caras águilas”, E2 ={aa}
E3: “no resulte ninguna cara águila”, E3 = {ss}
2. Un transportista conoce tres caminos diferentes para viajar de la ciudad A hacia la B.
La frecuencia con que elige el camino 1 es30%, la del camino 2 es50% y la del camino
3 es 20%. Si la elección de uno de los caminos es aleatoria, sea Stodas las formas de
viajar de A hacia B utilizadas por el transportista, se tiene entonces que los eventos
siguientes forman una partición de S
E1:“el transportista viaja por el camino 1”
E2: “el transportista viaja por el camino 2”
E3: “el transportista viaja por el camino 3”
Cabe notar que en este caso no se indica la cantidad de elementos del espacio
muestral, ni de los eventos, sin embargo, dichos eventos forman una partición de S,
puesto que cumplen con las tres condiciones.
130
3. Un espacio muestral Ssiempre tiene eventos Ei , con i = 1, 2, 3, . . . , n formando una
partición de S; tal que 0 P(E) 1.
Este tipo de partición se emplea con mucha frecuencia en los problemas de
probabilidad. Dichos eventos forman una partición de S, puesto que cumplen con
las tres condiciones enunciadas. Gráficamente una partición del espacio muestral se
observa de la siguiente forma:
S
E1
E3
E2
E6
E4
E5
... En
E7
4. Se tiene una caja que contiene pelotas de las marcas A y B con las siguientes
proporciones, según el color; 30% son verdes, 50% son blancas y el resto son negras.
Los porcentajes por marcas se muestran en la siguiente tabla
a)
Marca
A
Marca
B
Verde
40
60
Blanco
50
50
Negro
30
70
Si se selecciona de forma aleatoria una pelota, ¿cuál es la probabilidad de que sea
de la marca A?
Se simboliza
V: “la pelota es verde”
B: “la pelota es blanca”
N: “la pelota es negra”
A: “la pelota es de la marca A”
W: “la pelota es de la marca B”
Como se puede observar, los eventos V, B y N forman una partición de
todas las pelotas y se conocen además sus probabilidades (puesto que A y W
también forman una partición, pero no se conocen sus probabilidades).
Para calcular la probabilidad de que la pelota elegida sea de la marca
A, se observa que puede ser de color verde A V , blanca A B o negra
A N y que las pelotas según su color forman una partición, se tiene que la
probabilidad de que resulte A es la suma de P( A V ), P(A B) y P( A N )
por ser los eventos A V , A B y A N mutuamente excluyentes, ya que
como se mencionó, A, B y N forman una partición de todas las pelotas. Lo
anterior se expresa
P( A ) P( A
V ) P( A
B) P( A
N)
131
Si se aplica la regla de multiplicación para las probabilidades de las intersecciones
P( A ) P(V )P( A | V ) P(B)P( A | B) P(N )P( A | N )
0.3 0.4 0.5 0.5 0.2 0.3 0.43
Una generalización de problemas similares al anterior se puede llevar a
cabo cuando el espacio muestral presenta partición (ver el siguiente teorema).
Teorema 4.2
De la probabilidad total: si Ses un espacio muestral, con
partición de S, entonces
A, un evento en Sy E1, E2,..., En una
P( A ) P( A | E1 )P(E1 ) P( A | E2 )P(E2 )
P( A | En )P(En )
Si se aplica la ley de identidad del álgebra de eventos, se tiene A = A S.
Ahora si se emplea la segunda condición de una partición del espacio muestral,
n
S
Ek
k 1
y la ley distributiva del álgebra de eventos en su forma general, se tiene
A
A
S A
(E1
E2
En ) (A
E1 )
(A
E2 )
(A
En )
como lo muestra la figura 4.2.
S
A
E1
E3
E2
E6
E4
E5
... En
E7
Comose observa, pueden existir eventosdelapartición queno seinterceptan con A.
De la tercer condición de una partición, se deduce que A E1 , A E2 ,...,
A En , son eventos mutuamente excluyentes; y empleando la fórmula de la unión de
probabilidades para este tipo de eventos se obtiene
P( A ) P[( A
P( A
(A
E2 )
(A
En )]
E1 ) P( A
E1 )
E2 )
P( A
En )
Finalmente, considerando la primer condición de una partición, P(Ek) 0 para
toda k = 1, 2,...,n, se puede emplear la regla de multiplicación de probabilidades
P( A ) P( A | E1 )P(E1 ) P( A | E2 )P(E2 )
Con lo que se demuestra el teorema 4.2.
P( A | En )P(En )
132
b)
Si se selecciona de forma aleatoria una pelota, ¿cuál es la probabilidad de que sea
verde, dado que la pelota extraída fue de la marca A?
En primera instancia y según la tabla de porcentajes
Marca
A
Marca
B
Verde
40
60
Blanco
50
50
Negro
30
70
la probabilidad P(V | A) será igual a 0.40, pero se cometería un grave error
porque las probabilidades de los colores según una marca no provienen de
eventos que formen una partición (la suma 0.4 + 0.5 + 0.3 = 1.2 1). Por
tanto, el cálculo de la probabilidad anterior se puede hacer por medio de la
definición de probabilidad condicional, empleando la regla de multiplicación
de probabilidades y el resultado del evento A en el ejemplo correspondiente,
obteniéndose
P(V | A )
Ejemplo 7
P(V A )
P( A )
P(V )P( A | V )
P( A )
0.3 0.4
0.43
0.2791
Un preso que se fugó es buscado por la policía, la cual está segura de que el prófugo sólo
puede seguir uno de cinco caminos posibles C1, C2, C3, C4, y C5 con las probabilidades,
0.20, 0.30, 0.10, 0.25 y 0.15, respectivamente. Por las condiciones policiacas de cada
una de las ciudades a las que puede llegar, las probabilidades de que pueda ser atrapado
son 0.20, 0.10, 0.40, 0.30 y 0.40, respectivamente. Se calcula la probabilidad de que sea
capturado.
De las condiciones del problema, es posible deducir las probabilidades
P(C1 ) 0.20, P(C2 ) 0.30, P(C3 ) 0.10, P(C4 ) 0.25 yP(C5 ) 0.15
Como se puede observar, se tendrán tantas ciudades como caminos, por tanto se
numeran las ciudades con respecto al camino elegido.
Se simboliza
A: “el fugitivo es atrapado”
Por tanto, para ser atrapado en la ciudad k, con k = 1, 2, 3, 4, 5 primero el fugitivo
debe huir por el camino k. Se tienen entonces las probabilidades condicionales
P( A | C1 ) 0.20, P( A | C2 ) 0.10, P( A | C3 ) 0.40, P( A | C4 ) 0.30y P( A | C5 ) 0.40
Finalmente aplicando el teorema de probabilidad total:
P( A ) P( A | C1 )P(C1 ) P( A | C2 )P(C2 )
P( A | C5 )P(C5 )
0.20 0.20 0.10 0.30 0.40 0.10 0.30 0.25 0.40 0.15 0.245
133
4.5 Teorema de Bayes
Problemas similares al anterior se pueden resolver mediante el teorema de Bayes.
Teorema 4.3
Teorema de Bayes
Si Ses un espacio muestral con el evento A en Sy E1, E2,...,
cualquier evento k de la partición, se tiene
P(Ek | A )
En una partición de S, entonces para
P( A | Ek )P(Ek )
P( A | E1 )P(E1 ) P( A | E2 )P(E2 )
P( A | En )P(En )
A partir de la definición de probabilidad condicional y del teorema de la probabilidad total:
P(Ek | A )
Ejemplo 8
P(Ek A )
P( A )
P( A | Ek )P(Ek )
P( A | E1 )P(E1 ) P( A | E2 )P(E2 )
P( A | En )P(En )
1. Del ejemplo anterior, si el fugitivo fue atrapado, se calcula la probabilidad de que la
detención se efectuará en la ciudad 2 (C2).
Empleando la simbología anterior y el teorema de Bayes
P(C2 | A )
P(C2 A )
P( A )
0.10 0.30
0.245
P( A | C2 )P(C2 )
P( A | C1 )P(C1 ) P( A | C2 )P(C2 )
P( A | C5 )P(C5 )
0.122
2. Se traza el diagrama de árbol del ejercicio anterior
El vértice inicial tiene cinco caminos. En cada uno de ellos se anotan sus probabilidades
de ser elegido (obsérvese que la suma de los cinco es 1). En la parte de arriba del siguiente
vértice, en cada caso, se trazan otros dos caminos, uno para el evento A, y el otro para su
complemento; la suma de probabilidades por vértice sigue siendo uno.
De lo anterior se deduce que las segundasprobabilidades son condicionales, puesto
que existe restricción a la ocurrencia de que haya elegido alguno de los caminos; por
tanto, las probabilidades son
P( A | C1 ) 0.20, P( A | C2 ) 0.10, P( A | C3 ) 0.40, P( A | C4 ) 0.30y P( A | C5 ) 0.40
134
Y sus respectivos complementos
P( A c | C1 ) 0.80, P( A c| C2 ) 0.90, P( A c | C3 ) 0.60, P(A c| C4 ) 0.70yP( A c | C5 ) 0.60
De la misma forma se tiene la primer ramificación con probabilidades
P(C1 ) 0.20, P(C2 ) 0.30, P(C3 ) 0.10, P(C4 ) 0.25 yP(C5 ) 0.15
Con estos datos y el diagrama de árbol es posible calcular fácilmente cualquiera de
las probabilidades requeridas.
Ejercicio 4
1. En un lote de 50 automóviles nuevos se reparten aleatoriamente 20 para el mercado
interno y 30 para el de exportación. Diez de los automóviles de exportación son de
color blanco, y los otros 20 de color azul, mientras que la mitad de los automóviles
del mercado interno son de color blanco y la otra mitad azul.
a)
b)
Blanco
B
Azul
A
Total
Mercado interno, I
10
10
20
Mercado externo, E
10
20
30
Total
20
30
50
si el gerente considera aleatoriamente un automóvil de color blanco, calcula la
probabilidad de que sea de exportación
si el gerente considera aleatoriamente un automóvil de exportación, calcula la
probabilidad de que sea de color azul
2. De los artículos producidos diariamente por cierta fábrica 35% proviene de la línea
I, 25% de la línea II y 40% de la línea III. El porcentaje de artículos defectuosos de la
línea I es 8%, mientras que el de la línea II es 10% y el de la línea III 8%.
a)
b)
si se toma un artículo al azar de la producción diaria, calcula la probabilidad de
que sea defectuoso
si se toma un artículo al azar de la producción diaria y resulto ser defectuoso,
calcula la probabilidad de que dicho artículo haya sido producido en la línea II
3. Un agente de ventas viaja constantemente a cuatro ciudades C1, C2, C3 y C4, con un
porcentaje de visitas de 20%, 40%, 25% y 15%, respectivamente. La probabilidad
de que venda sus productos en las ciudades es 40%, 30%, 50% y 30%, respectivamente. Después de regresar de una ciudad el agente ha vendido sus productos,
calcula la probabilidad de que en esta ocasión haya viajado a la ciudad 2 (C2).
4. De los artículos producidos diariamente por cierta fabrica, 30% proviene de la línea
I, 40% de la línea II y 30% de la línea III; mientras que el porcentaje de artículos
producidos en buen estado por las líneas I y II es80%, y de la línea III 90%.
135
a)
b)
si se toma un artículo al azar de la producción diaria, calcula la probabilidad de
que no sea defectuoso
si se toma un artículo al azar de la producción diaria y resulta no ser defectuoso,
calculala probabilidad de que dicho artículo se haya elaborado en la línea II
Ejercicios propuestos
1. ¿Son las probabilidades P( A | B) y P( A | Bc ) complementarias?Considera 0 P(B) 1
(recuerda que las probabilidades complementarias, son aquellas cuya suma siempre
es uno).
2. Dados A, B y C eventos tales que A y B son mutuamente excluyentes; A y C son
independientes; B es subconjunto de C, y además cumplen con las siguientes
relaciones
4P( A ) 2P(B) P(C ) 0
P( A
B
C) 4P( A )
calcula P(A).
3. Cuando los artículos llegan al final de una línea de producción, un supervisor
escoge losque deben pasar por una inspección de calidad; 10% de todos losartículos
producidos son defectuosos; 60% de todos los artículos defectuosos y 20% de
todos los artículos no defectuosos pasan por una inspección completa; calcula la
probabilidad de que un artículo sea defectuoso dado que pasó por una inspección
completa.
4. Dados A, B y C eventos tales que A y B son mutuamente excluyentes
P(A C) 0.2, P(B C) 0.1, P(C) 0.6, P( A B) 0.6 yP( A C) 0.8, además
cumplen con la relación P(A)=2P(B), calcula las probabilidades de A y de B.
5. De los artículos producidos diariamente por cierta fábrica, 35% proviene de la
línea I y 65% de la línea II. Los defectuosos de la línea I equivalen a 40%,
mientras que los de la línea II equivalen a 8%. Si se escoge un artículo al azar de la
producción diaria, calcula la probabilidad de que no sea defectuoso.
6. Una máquina produce artículos de los que regularmente 5% son defectuosos. El
productor acostumbra revisar la máquina cada hora, y para ello toma e inspecciona
una muestra de diez unidades producidas. Si la muestra no contiene artículos
defectuosos, entonces permite que la máquina trabaje otra hora.
a)
b)
calcula la probabilidad de que este sistema le permita a la máquina seguir
funcionando si produce 10% de artículos defectuosos
calcula el tamaño de la muestra inspeccionada, para asegurar que si la cantidad
de artículos defectuosos es igual a 1%, la probabilidad de que la máquina no se
detenga sea menor o igual a 0.01
7. Supón que existe un método de diagnóstico rápido para la detección de diabetes,
con la particularidad de que los resultados son positivos en 95% de los casos
de pacientes enfermos; sin embargo, con este método algunos individuos sanos
también muestran lecturas positivas, indicando que poseen la enfermedad en 1%
de los casos.
136
a)
b)
si se seleccionan dos pacientes, uno enfermo y uno sano, calcula la probabilidad
de que un paciente considerado al azar y que reaccione positivamente, esté en
realidad enfermo de diabetes
si se seleccionan dos pacientes, uno enfermo y uno sano, calcula la probabilidad
de que la prueba falle en ambos casos; esto es, que la prueba indique erróneamente que el enfermo está sano y el sano enfermo
8. En cierta población, 40% de los votantes es republicano y 60% demócrata. Se
reporta que 8% de los republicanos y 10% de los demócratas está a favor de cierta
elección. Si se toma una persona al azar de esta población y declara a favor de dicha
elección, calcula la probabilidad condicional de que esta persona sea demócrata.
9. Un profesor diseña un examen de opción múltiple con diez preguntas, pero se detiene
a evaluar laconveniencia deponer cuatro o cinco opcionesde respuesta. Considerando
que únicamente opere el azar para la resolución del examen y 6 sea la calificación
mínima aprobatoria
a)
b)
calcula la probabilidad de que un estudiante apruebe, en uno y otro caso
si se asume que los estudiantes dominan completamente sólo 50% de los temas
que abarca el examen, evalúa losdoscasosanterioresy calcula la probabilidad que
tiene un estudiante de aprobar en cada caso
10. Un prisionero político en Rusia será exiliado a Siberia o a losUrales. La probabilidad
de ser enviado a estos dos lugares es 0.8 y 0.2, respectivamente. Se sabe que la
probabilidad de que un residente de Siberia seleccionado aleatoriamente lleve un
abrigo de piel es 0.5, mientras que para un residente de los Urales es 0.7; al llegar al
exilio la primera persona que el prisionero ve no lleva un abrigo de pieles, calcula la
probabilidad de que esté en Siberia.
11. Un juego consiste en ir de un extremo a otro por uno de cuatro caminos C1,
C2, C3 y C4, las probabilidades de elegir alguno de ellos, para cualquiera de los
concursantes son 0.2, 0.3, 0.25 y 0.25, respectivamente. Cada camino tiene una
trampa, las probabilidades de caer en la trampa son 0.4, 0.4, 0.5 y 0.5,
respectivamente.
a)
b)
calcula la probabilidad de que el próximo concursante caiga en una trampa
si la persona cae en una trampa, calcula la probabilidad de que haya elegido el
camino 1, C1.
Autoevaluación
1. De los artículos producidos diariamente por cierta fabrica, 40% proviene de la línea
I, 20% de la línea II y 40% de la línea III. El porcentaje de artículos defectuosos de
las líneas I y II, es 10%, y de la línea III 15%. Si se escoge un artículo al azar de la
producción diaria y resulta ser defectuoso, calcula la probabilidad de que el artículo
escogido se haya elaborado en la línea III.
a)
b)
c)
d)
0.40
0.50
0.75
0.06
137
2. Se diseñó una autoevaluación con diez preguntas de opción múltiple con cuatro
resultados. Considerando que el estudiante que está contestando la autoevaluación
no se preparó y todo lo contesta al azar, calcula la probabilidad de que apruebe, si
necesita contestar correctamente mínimo seis preguntas.
a)
b)
c)
d)
0.0197
0.9803
0.2500
0.0055
3. Una urna contiene ocho esferas rojas y cuatro negras; otra contiene tres rojas y seis
negras. Se saca una esfera al azar de la primer urna y se coloca sin verla en la segunda,
calcula la probabilidad de que una esfera que se saque de la segunda bolsa sea negra.
a)
b)
c)
d)
7
10
1
3
2
5
19
30
4. Si una empresa hace un pedido de 150 computadoras para ser distribuidas
aleatoriamente en sus departamentos; 50 son marca A, 70 C y el resto D. De las
computadoras marca A, 30 son Pentium II y 20 Pentium III. En cuanto a las C,
20 son Pentium II y 50 Pentium III, las D son todas Pentium III. Si un empleado
considera aleatoriamente una computadora Pentium III, calcula la probabilidad de
que dicha computadora sea marca C.
a)
b)
c)
d)
0.467
0.667
0.333
0.500
5. LasenfermedadesI y II son comunesentrela gentede cierta población. Sesupone que
30% de la población contraerá la enfermedad I alguna vez en su vida, 20% contraerá
eventualmente la enfermedad II y 3% contraerá ambas. Calcula la probabilidad de
que una persona elegida al azar de esta población contraiga ambas enfermedades,
dado que ha contraído al menos una de ellas.
a)
b)
c)
d)
0.0638
0.03
0.47
1
6. En la ciudad de México se ha observado que 70% de los trabajadores hacen uso del
transporte urbano para llegar a su trabajo y el restante usa automóvil propio. De
los usuarios del transporte urbano 80% hacen uso del metro y el 20% restante
138
emplea autobús. Si el trabajador que se entrevista hace uso del transporte urbano,
calcula la probabilidad de que sólo haga uso de autobuses.
a)
b)
c)
d)
0.56
0.14
0.20
0.16
7. Un sistema para detectar humo utiliza dos dispositivos, A y B, que trabajan
independientemente. Si hay humo, la probabilidad de que sea detectado por el
dispositivo A, es 0.8 y por el dispositivo B, 0.75. Si hay humo, calcula la probabilidad
de que sea detectado por ambos dispositivos.
a)
b)
c)
d)
1.55
0.45
0.60
0.95
8. En un fraccionamiento residencial se bombea el agua potable, para tal efecto se tienen
dos bombas, una trabajando y otra de repuesto. Si la probabilidad de que cualquiera
de las dos bombas falle es 0.10 y si su funcionamiento es independiente, calcula la
probabilidad de que en un día determinado los habitantes del fraccionamiento se
queden sin agua.
a)
b)
c)
d)
0.11
0.01
0.20
0.02
9. En unas elecciones, para elegir presidente de la república, 44% de losvotantesestuvo
a favor del partido de izquierda. Se reporta que 60% de los votantes a favor de este
partido fueron menores de 22 años, mientras que respecto de los otros partidos los
votantes a su favor menores de 22 años sólo fueron 10%. Si se escoge a un votante
de 20 años de edad al azar de esta población, calcula la probabilidad condicional de
que esta persona votará en favor del partido de izquierda.
a)
b)
c)
d)
0.264
0.056
0.825
0.320
10. ¿Cómo se llama la corriente probabilística utilizada para asignar probabilidades a
eventos dependientes?
a)
b)
c)
d)
subjetiva
bayesiana
clásica
frecuentista
139
Respuestas de los ejercicios
Ejercicio 1
1.
a)
0.6
b)
2
3
2.
a)
b)
0.9
0.2
3. 2
11
4. 0.4074
5. 1
3
Ejercicio 2
1.
a)
b)
0.6
0.8
a)
b)
1
1
a)
b)
0.52
0.0577
2.
3.
4. 0.4030
5.
a)
b)
0.285
0.7
Ejercicio 3
1.
a) 0.7
b) 0.6
140
2.
a) 0.5
b) 0.25
3. sí
4. 0.995
5. (0.01)2
Ejercicio 4
1.
a)
b)
0.5
2
3
2.
a)
b)
0.085
0.29
3. 0.3243
4.
a)
b)
0.83
0.3855
Respuestas de los ejercicios propuestos
1. no
2. 0.25
3. 0.25
4. 0.4 y 0.2
5. 0.808
6.
a)
b)
0.3487
n 458
a)
b)
0.9896
0.000125
7.
8. 0.6522
141
9.
a)
b)
para cuatro opciones 0.0197; para cinco opciones 0.0064
para cuatro opciones 0.7627; para cinco opciones 0.6723
10. 0.8696
11.
a)
b)
0.45
8 = 0.1778
45
Respuestas de la autoevaluación
1. b)
2. a)
3. d)
4. d)
5. a)
6. c)
7. c)
8. b)
9. c)
10. b)