Asintótica normalidad de la mediana

Asintótica normalidad de la mediana
por Víctor J. Yohai
Lema.
Sean Xn y Un dos sucesiones de variables aleatorias tales que
Xn !D F
donde F es continua y
Un !p 0:
Luego
Yn = Xn + Un !D F
Demostración
Para todo " > 0 se tiene
fYn
fXn
yg fXn y + "g [ fUn
y "g fYn yg [ fUn
"g
"g;
y tomando probabilidades se tiene
P (Yn
P (Xn
y) P (Xn y + ") + P (Un
y ") P (Yn y) + P (Un
")
"):
Tomando límite superior en la primer desigualdad, límite inferior en la segunda.
y teniendo en cuenta que limn!1 P (Un
") = 0 y limn!1 P (Un
") = 0
obtenemos
lim sup P (Yn
y)
F (y + ")
n!1
F (y
")
lim inf P (Yn
y);
y tomando límite cuando " ! 0 resulta
lim sup P (Yn
y)
F (y)
lim inf P (Yn
y):
n!1
Esto implica
lim P (Yn
y) = F (y);
n!1
con lo que se demuestra el Lema.
Teorema Sean x1 ; x2 ; ::::xn variables aleatorias independientes con distribución F (x); densidad f (x) y mediana : Supondremos que f es continua
en : y f ( ) > 0:Sea en =mediana(x1 ; :::; xn ); entonces se tiene
.
n1=2 (en
) !D N
1
0;
1
4f 2 (0)
:
(1)
Demostración
Sean para 1 i
n
win
= I(xi
+
wi
= I(xi
):
z
n1=2
)
Obsevemos que en el caso n = 2m + 1
fen
ag = fx(m+1)
ag =
( b
X
Ifxi
ag
fx(m)
n
ag >
2
i=1
)
;
y en el caso n = 2m
fx(m+1)
ag
lo cual es equivalente a que
( b
)
X
n
Ifxi ag >
2
i=1
fen
fen
( b
X
ag
ag
Ifxi
n
2
ag
i=1
)
Luego tenemos que en el caso n impar que
P (n1=2 (en
)
z
P (en
+ n1=2
!)
n
X
= P
win > n2
z)
=
i=1
y en el caso n par tendremos
!
n
X
n
P
win >
P (n1=2 (en
2
i=1
)
z)
n
X
P
n
2
win
i=1
!
:
Sea (x) de una vaiabe N(0,1). Luego la distribución fe una vaiable N(0; 2 )
es (z= ): Luego bastará demostrar que
!
!
n
n
X
X
n
n
z
lim P
win >
= lim P
win
=
(2)
n!1
n!1
2
2
2f (0)
i=1
i=1
Tenemos que
P
n
X
i=1
win
n
2
!
= P
= P
n
1 X
n1=2
1
n1=2
i=1
n
X
win
win
i=1
2
F
F
+
+
z
n1=2
z
n1=2
n
1=2
n
1=2
1
2
F
F
+
+
z
n1=2
z
n1=2
!
!
F ( ) (3):
Sea
n
1 X
Vn =
n1=2
y
Vn =
win
n
1 X
n1=2
Tenemos que
n
1 X
n1=2
(win
Luego las rin son Bi(
wi )
(4)
F
+
z
F( )
n1=2
;
wi ; se tiene
1 si
0 si
n
F ( )):
i=1
i=1
luego si llamemos rin = win
rin =
( wi
z
n1=2
Vn !p 0:
Vn
Vn =
+
i=1
Vamos mostrar que
Vn
F
z
< xi
+ n1=2
z
; o xi > + n1=2
:
xi
; 1) donde
n
=F
y entonces tenemos var(rin ) =
Vn
+
n (1
Vn =
z
n1=2
n)
1
n1=2
F ( );
y como
n
X
(rin
n)
i=1
se tendrá
n
var(Vn
Vn )
1X
n i=1
=
=
Como F es continua en resulta que
Luego por Chevichev se tiene
P (jVn
Vn j > ") =
n (1
n (1
n
n)
n ):
! 0 y luego también
var(Vn Vn )
=
"2
n (1
n)
"2
y luego (4) vale.
Usando el Teorema del Valor Medio se tiene
n1=2 vn
= n1=2 F ( + zn
F ( + zn
zn
= zf ( n );
= z
3
1=2
1=2
)
1=2
)
F( )
F( )
n (1
! 0;
n)
! 0:
donde
n
es un punto intermedio entre
y
lim
n
n!1
+ zn
1=2
y por lo tanto
= :
Luego como f es continua
lim n1=2 vn = zf ( ):
(5)
n!1
De acuerdo a (3) podemos escribir
!
n
X
n
P
win
= P (Vn
2
i=1
n1=2 vn )
= P (Vn + En
zf ( ))
= 1 P (Vn + En < zf ( ));
(6)
donde
Vn + n1=2 vn
En = V n
zf ( ):
p
De acuerdo a (4) y (5) tenemos que En ! 0. Las variables wi son independientes e identicamente distribuidas con distribucion Bi(1=2; 1), y por lo tanto
E(wi ) = F ( ) = 1=2 y var(wi ) = 1=4. Luego por el Teorema Central del Límite
Vn =
n
1 X
n1=2
( wi
i=1
F ( )) !D N
0;
1
4
:
Usando el Lema anterior se tiene que también Vn +En !D N (0; 1=4): Luego
de (6) se tiene que
!
n
X
n
lim P
win
= 1
( 2f ( )z)
n!1
2
i=1
=
(2f ( )z):
De la misma forma se demuestra que
lim P
n!1
n
X
i=1
win
n
>
2
y por lo tanto (2) vale.
4
!
= (2f ( )z):