SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO

SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO
Definición de Sistemas de Tiempo Discreto y su Representación Gráfica
Un sistema de tiempo discreto es un dispositivo o algoritmo diseñado para ejecutar ciertas operaciones,
o transformación, sobre cierta señal de entrada, o excitación, x[n], y obtener cierta señal de salida, o
respuesta, y[n]. Esta relación se puede representar como
(5.1)
donde T es la transformación u operador que representa el procesamiento realizado sobre la señal de
entrada x[n] para producir la salida y[n]. Esta relación se representa gráficamente como
Figura 5.1. Representación gráfica en diagrama de bloques de un Sistema Discreto.
El interior del sistema carece de importancia, por lo que el sistema puede ser considerado como una
caja negra.
Si la salida de un sistema dado en un momento dado y[n] depende de los valores de la misma salida en
un tiempo anterior y[n - k], la salida del sistema no estará unívocamente determinada a menos que se
conozca la salida del sistema (condiciones iniciales) en el momento en que este empieza a ser observado
y[n - k]. Cuando estas condiciones iniciales son nulas y[n - k] = 0, el sistema se dice inicialmente relajado
(initially relaxed).
A continuación se muestra la representación gráfica mediante diagramas de bloques de las distintas
operaciones básicas de un sistema de tiempo discreto.
Suma de señales
Figura 5.2. Multiplicación de Señales
Multiplicación por una Constante a
Figura 5.3. Multiplicación por una constante.
Multiplicación de Señales
Figura 5.4. Multiplicación de señales.
Retardo de Señales
Figura 5.5. Retardo de señales.
Adelanto de Señales
Figura 5.6. Adelanto de señales.
Clasificación de Sistemas de Tiempo Discretos
Según ciertas características de un sistema de tiempo discreto se le puede clasificar como:






Sistemas sin memoria (sistemas estáticos) o sistemas con memoria (sistemas dinámicos).
Sistemas lineales o no lineales.
Sistemas invariantes en el tiempo o sistemas variantes en el tiempo.
Sistemas causales o sistemas no causales.
Sistemas estables o sistemas inestables.
Sistemas inversos y sistemas no inversos.
Sistemas sin Memoria (Estáticos o Instantáneos) y Sistemas con Memoria (Dinámicos)
Un sistema no tiene memoria (sistema estático) si su salida y[n] actual depende solo de la entrada x[n]
actual, y no de ninguno de los valores pasados o futuros de la entrada. Un sistema estático no posee
memoria.
Ejemplos:
y[n] = 5x[n]
y[n] = n x[n] - 10 x[n]2
En caso contrario, el sistema es un sistema con memoria (sistema dinámico) si su salida y[n] actual
depende de valores pasados o futuros de la entrada.
Ejemplo:
y[n] = x[n] + 3 x[n - 1] (memoria finita)
y[n] = x[n + 5] (memoria finita)
(memoria infinita)
Sistemas Lineales y Sistemas No Lineales
Un sistema lineal es aquel que satisface los principios de escalabilidad y de superposición:
- Principio de escalamiento
(5.2)
- Principio de superposición
(5.3)
O, equivalentemente de manera combinada, el sistema es lineal si y solo si
(5.4)
Si un sistema no es lineal, entonces es un sistema no lineal o alineal.
Sistemas Invariantes en el Tiempo y Sistemas Variantes en el Tiempo
Un sistema con entrada x[n] y salida y[n] es invariante en el tiempo si al alimentar el sistema con la
misma entrada pero desplazada en el tiempo por k unidades, x[n - k], se obtiene la salida y[n - k], es
decir, la salida también resulta desplazada en el tiempo por esas mismas k unidades. El desplazamiento
k puede ser un valor entero positivo (retardo) o negativo (adelanto). Esto es, un sistema es Invariante en
el tiempo si el sistema
(5.5)
implica que para cualquier desplazamiento de la entrada de k unidades en el tiempo se obtiene
(5.6)
En general, si la salida del sistema con una entrada desplazada en el tiempo se define como
(5.7)
y
(5.8)
entonces el sistema es invariante en el tiempo. Si no se cumple esta condición de invariabilidad en el
tiempo, el sistema es variante con el tiempo.
Esto puede interpretarse de la siguiente manera: un sistema es invariante en el tiempo si al ser utilizado
en cualquier momento, bajo las mismas condiciones iniciales, nos proporciona la misma salida; es decir,
las condiciones de operación o funcionamiento del sistema no se altera con el tiempo. Un sistema
variante en el tiempo no produce los mismos resultados (salidas) al ser utilizado en distintos momentos,
ya que su características internas varían con el tiempo.
Ejemplo:
a. Si un sistema de tiempo discreto está descrito por y[n] = x[n] + 5 x[n-2], y se aplica una señal de
entrada x[n - k], versión desplazada de la entrada x[n], tenemos
y[n, k] = x[n - k] + 5 x[n - k - 2] = y[n-k], por lo tanto, el sistema es invariante en el tiempo.
b. Si y[n] = n x[n], tenemos que
y[n, k] = n x[n-k], pero y[n - k] = (n - k) x[n-k]. Entonces, ya que y[n, k] ≠ y[n - k], el sistema es
variante en el tiempo.
Sistemas Causales y No Causales
El término causalidad denota la existencia de una relación causa-efecto. Un sistema causal es un
sistema en el que la salida y[n] depende únicamente de valores presentes de la entrada, x[n], y valores
pasados, x[n - 1], x[n - 2], x[n - 3], ...
En un sistema causal, la salida y[n] se expresa en la forma
(5.9)
Siendo F{ } una función arbitraria.
Un sistema que no es causal es un sistema no causal. Observe que todos los sistemas sin memoria son
causales, pero no todos los sistemas causales son sin memoria.
Ejemplo:
es un sistema causal porque la salida depende solo de valores presentes y
futuros de la entrada.
es un sistema no causal porque la salida depende de valores futuros de la
entrada
Sistemas Estables e Inestables
Un sistema se define estable si para una entrada acotada se obtiene una salida acotada (BIBO - del
inglés Bounded Input - Bounded Output). Esto es, un sistema es estable si existen dos números finitos
Mx y My, es decir, Mx < ∞ y My < ∞, tales que si
,
(5.10)
entonces
(5.11)
Si no se cumplen estas condiciones, el sistema es inestable.
Ejemplo:
- Si y[n] = n x[n], se puede ver que para todo valor acotado de x[n], por ejemplo, x[n] = 1 para todo valor
de n, se puede ver que la magnitud de la salida y[n] crece sin límite. Por lo tanto, el sistema es inestable.
- Si y[n] = x[n]2, para cualquier valor finito (acotado) de x[n], la magnitud de la salida y[n] también es
acotada. Por lo tanto, el sistema es estable.
Sistemas Inversos y No Inversos
Un sistema es invertible si entradas distintas producen salidas distintas. Como se muestra en la Figura
5.7, si un sistema es invertible, entonces existe un sistema inverso, el cual al serle aplicada como
entrada la salida del sistema invertible nos proporciona una salida igual a la entrada original en el
sistema invertible. En otras palabras, en un sistema invertible siempre es posible recuperar la entrada si
se conoce la salida. Si las entradas diferentes (únicas) producen salidas diferentes (únicas), entonces, en
principio, es posible asociar uno a uno la salida con la entrada que la produjo.
Figura 5.7. Sistemas Invertibles.
Ejemplo:
En la Figura 5.7 se muestran dos ejemplos de sistemas invertibles. Ahora veremos dos ejemplos
de sistemas no inversibles:
y[n] = 0
y[n] = x[n]2