Teorema del Valor Medio para Funciones de Varias Variables Sea f : U ⊂ Rn → R una función definida en el conjunto abierto u de Rn . Si x0 , y0 ∈ U se pide que el conjunto U sea tal que [x0 , y0 ] ⊂ U . Sea U un vector unitario en la dirección del vector y0 − x0 . Si la función f es continia en los puntos del segmento [x0 , y0 ] y tiene derivadas direccionales en la dirección del vector U en los puntos del segmento (x0 , y0 ), entonces existe θ ∂f 0 < θ < 1 tal que f (x0 + hu) − f (x0 ) = (x0 + θhu)h donde h = ky0 − x0 k. ∂u Demostración: Considere la función φ : [0, h] → R dada por φ(t) = f (x0 + tu) ciertamente la función φ es continua en [0, h] pues f lo es en [x0 , y0 ]. Ademas φ(t + h) − φ(t) h→0 h φ0 (t) = lı́m f (x0 + (t + h)u) − f (x0 + tu) h→0 h = lı́m f (x0 + tu + hu) − f (x0 + tu) h→0 h = lı́m = ∂f (x0 + tu) ∂u de modo que para t ∈ (0, 1) φ0 (t) existe y es la derivada direccional de f en x0 + tu ∈ (x0 , y0 ) en la dirección del vector u. Aplicando entonces el teorema del valor medio a la función φ, concluimos que existe un múmero θ ∈ (0, 1) que da φ(h) − φ(0) = φ0 (θh)h es decir de modo que f (x0 + hu) − f (x0 ) = ∂f (x0 + θtu)h ∂u ∂f (x + θh, y + θk)h + ∂x x = y = 0 h = 12 , k = 14 . Tenemos que Ejemplo: Hallar un valor θ para el cual f (x + h, y + k) − f (x, y) = ∂f (x + θh, y + θk)k. Si f (x, y) = xy + y 2 ∂y 2 1 1 1 1 1 1 1 3 f (x + h, y + k) = f , = + = + = 2 4 2 4 4 8 16 16 1 ∂f =y ∂x ∂f θ = ∂x ( θ , θ ) 4 ⇒ 2 4 ∂f = x + 2y ∂y ⇒ θ θ ∂f = + =θ ∂y ( θ , θ ) 2 2 2 4 ∴ 1 3θ ∂f ∂f 1 θ + (θ) = h +k = ∂x ( θ , θ ) ∂y ( θ , θ ) 2 4 4 8 2 4 ∴ 2 4 3θ 3 = 8 16 ⇒ θ= 1 2 Ejemplo: De un ejemplo de funcion vectorial que cumpla el teorema del valor medio y otra que no lo cumpla. En el segmento de extremos (0, 0) y (1, 1) la función de R2 en R2 definida por f (x, y) = (x2 − y 2 + 1, x2 + 2y) cumple el teorema del valor medio f ((0, 0) − (1, 1)) − f (0, 0) = f (1, 1) − f (0, 0) = (1, 3) − (1, 0) = (0, 3) 2x −2y Dfα,β (1, 1) = 2x 2 ∴ ∴ 2α −2β 2α 2 1 1 = 2α − 2β = (α,β) 2α −2β 2α 2 2α + 2 2α − 2β = 0 2α + 2 = 3 −2α + 2β = 0 ∴ 2α + 2 = 3 1 β= 2 y 1 α= 2 y (α, β) = 1 1 , 2 2 2β + 2 = 3 pertenece al segmento (0, 0)(1, 1) En el segmento de extremos (0, 0)(1, 1) la función de R2 → R2 definida por f (x, y) = (2x2 − y 3 , x2 + 2y 3 ) 2 No cumple el teorema del valor medio f (1, 1) − f (0, 0) = (1, 3) − (0, 0) = (1, 3) 1 4α − 3β 2 4α −3β 2 4x −3y 2 = (1, 1) = Dfα,β (1, 1) = 2 2 2 2α + 6β 2α 6β 1 2x 6y (α,β) 8α − 6β 2 = 2 2 ∴ 4α − 3β = 1 2α + 4β 2 = 3 ⇒ 2α + 6β 2 = 3 ⇒ α= 5 1 = 10 2 10α = 5 1 β = ±√ 3 1 1 1 1 ,√ y , −√ no pertenecen al segmento (0, 0)(1, 1) y los puntos 2 3 2 3 ∴ 3