Valor de Shapley

1
Valor de Shapley
Definición 1 Un carrier para un juego v es una coalición T tal que para
cualquier S, v(S) = v(S ∩ T ).
Ejemplo 1 Sea v un juego de 3 jugadores, v({1, 2, 3}) = v({1, 2}) = 1, y
v(S) = 0 para las otras coaliciones. El carrier de v es T = {1, 2}.
Definición 2 Dado un juego n–personal y cualquier permutación π del conjunto de jugadores N . Denotamos por πv al juego n–personal tal que para
cualquier S = {i1 , ..., is }
πv({π(i1 ), ..., π(is )}) = v(S).
Ejemplo 2 Considere nuevamente el juego anterior, y π(1) = 3, π(2) = 1 y
π(3) = 2. Entonces πv({1, 2, 3}) = πv({3, 1}) = 1 y πv(S) = 0 para las otras
coaliciones.
Axiomas (Shapley) Por el valor de un juego v al que denotamos por ϕ (v) =
(ϕ1 (v) , ..., ϕn (v)) satisface
S1. Sı́ S es un carrier, entonces
X
ϕi (v) = v (S) .
i∈S
S2. Para cualquier permutación π, e i ∈ N
ϕπ({i}) (πv) = ϕi (v) .
S3. Si υ y v son dos juegos
ϕi (v + w) = ϕi (v) + ϕi (w) .
Teorema 1 (Shapley) Existe una única función ϕ : (N, v) → RN que satisface los Axiomas S1, S2 y S3. Esta función cumple que para cada i ∈ N
ϕi (v) =
X
S⊆N \{i}
s! (n − s − 1)!
[v (S ∪ {i}) − v (S)] .
n!
1
Curso :
Indices de Poder
Valor de Shapley
Indice de Banzhaf-Coleman
J. Oviedo
Universidad Nacional de San Luis
Demostración. Esta demostración se sigue de los resultados siguientes.
Lema 1 Para cualquier coalición S, sea wS el juego definido por
0 si S * T
wS (T ) =
1 si S ⊆ T.
Entonces, si s es el número de jugadores de S,
1/s si i ∈ S
ϕi (wS ) =
0
si i ∈
/ S.
Corolario 1 Si c > 0, entonces
c/s si i ∈ S
0
si i ∈
/ S.
ϕi (cwS ) =
Lema 2 Si v es cualquier juego, entonces existen 2n − 1 números reales cS
para S ⊆ N tal que
X
v=
cS wS
S⊆N
donde wS esta definido como en Lema anterior.
Demostración.
CS =
X
(−1)s−t v(T ).
T ⊆S
Demostración.Del Teorema. El Lema anterior dice que para cualquier juego
v es combinación de los juegos wS , además el valor de Shapley para estos
juegos esta unı́vocamente definido.
ϕ(u − v) = ϕ(u) − ϕ(v)
(
)
X
X 1
X1 X
ϕi (v) =
cS ϕi (wS ) =
cS =
(−1)s−t v(T ) =
s S⊆N s T ⊆S
S⊆N
S⊆N
i∈S
X
T ⊆N




X
i∈S
(−1)s−t



S⊆N
T ∪{i}⊆S
2




1
v(T )
s


X
γi (T ) =
S⊆N
T ∪{i}⊆S
1
(−1)s−t .
s
Sı́ i ∈
/ T 0 y T = T 0 ∪ {i}, entonces γi (T 0 ) = −γi (T )
X
X
X
ϕi (v) =
γi (T )v(T ) =
γi (T )v(T ) +
γi (T 0 )v(T 0 ) =
T ⊆N
X
s−t 1
X
(−1)
S⊆N
T ∪{i}⊆S
0
1
n
X
s=t
γi (T )v(T 0 ) =
T 0 ⊆N
T 0 ∪{i}=T
T ⊆N
i∈T
Z
X
γi (T )v(T ) −
γi (T ) =
T 0 ⊆N
i∈T
/ 0
T ⊆N
i∈T
s−t
(−1)
s
=
n
X
X
γi (T )[v(T ) − v(T \{i})
T ⊆N
i∈T
s−t
(−1)
s=t
Z 1
n
n−t 1 X
s−t n − t
=
(−1)
xs−1 dx =
s−t s
s
−
t
0
s=t
Z 1
n
X
n − t s−1
t−1
s−t n − t
x dx =
x
(−1)
xs−t dx =
s−t
s
−
t
0
s=t
Z 1
(t − 1)!(n − t)!
.
xt−1 (1 − x)n−t dx =
n!
0
Reemplazando obtenemos la fórmula del Valor de Shapley. Queda como
ejercicio probar que la fórmula cumple los tres axiomas de Shapley.
Ejemplo 3 Calculemos el valor de Shapley para el juego dado por v ({1, 2, 3}) =
v ({1, 2}) = 300 y v ({i, j}) = v ({i}) = 0 para todo i, j = 1, 2, 3.
Calculemos v( 1) − v ({∅}) = 0, v ({1, 2}) − v ({1}) = 300, ası́ formamos
la tabla siguiente, en la primer columna ponemos todas las permutaciones
(de los jugadores) y en las otras columnas el valor marginal del jugador i a
la coalición que encuentra al entrar a ella. Note que el jugador 1 al entrar en
la primer permutación no encuentra a nadie,de allı́ que v ({1}) − v ({∅}) = 0,
mientras que el jugador 2 encuentra al 1, es decir v ({1, 2}) − v ({1}) = 300.
Cuando el jugador 3 entra a la primera permutación encuentra al 1, 2 por lo
tanto v ({1, 2, 3}) − v ({1, 2}) = 300 − 300 = 0.
3
v (S ∪ {i}) − v (S)
Permutación
1
2
3
(1,2,3)
0
300
0
(1,3,2)
0
300
0
(2,1,3)
300
0
0
(2,3,1)
300
0
0
(3,1,2)
0
300
0
(3,2,1)
300
0
0
Valor de Shapley 900/6 900/6 0/6
En este ejemplo tenemos que el carrier es S = {1, 2}.
1.0.1
Extensiones Multilineales
Presentaremos otro método para calcular el Valor de Shapley.
Como v es una función del conjunto partes de N (2N ) en los reales podemos ver el conjunto partes de N como
2N = {0, 1}N
es decir que lo vemos como el conjunto de vértices del cubo n–dimensional. Es
decir que podemos decir que v es una función real definida sobre los vértices
del cubo n–dimensional. La función v puede ser extendida a todo el cubo.
Nosotros extenderemos esta función para que resulte lineal en cada variable.
Definición 3 Sea v un juego n–personal con carrier N = {1, ..., n}. La extensión multilineal (M:LE) de v es la función f : [0, 1]N → R definida por
(
)
X Y Y
f (x1 , ..., xn ) =
xi (1 − xi ) v(S).
S⊆N
i∈S
i∈S
/
Ejemplo Sea v el juego 3–personal de mayorı́a en la normalización (0,1). Su
extensión multilineal es
f (x1 , x2 , x3 ) = x1 x2 (1 − x3 ) + x1 x3 (1 − x2 ) + x2 x3 (1 − x1 ) + x1 x2 x3 ,
o
f (x1 , x2 , x3 ) = x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 − 2x1 x2 x3 .
Justificación de la definición:
4
• La función es multilineal (lineal en cada variable acá lineal significa que
cada variable está elevada a la potencia 1 o 0) es fácil de verificar.
• f es una extensión de v. Sea S ⊆ N , y αS la S–esquina del cubo, es
decir
1 si i ∈ S
S
α =
0 si i ∈
/S
entonces
f (αS ) =
X
(
Y
T ⊆N
i∈T
)
Y
αiS
(1 − αiS ) v(T ) = v(S).
i∈T
/
• Unicidad. f es la única función que tiene estas propiedades. Por ser f
una función multilineal debe ser de la forma
X
Y
f (x1 , ..., xn ) =
CT
xj
T ⊆N
j∈T
pero para cada S ⊆ N tenemos que:
X
f (αS ) =
CT = v(S)
T ⊆S
este es un sistema lineal de 2N ecuaciones con igual número de incógnitas.
La matriz asociada es triangular inferior con 1 en la diagonal principal,
por lo tanto es no–singular, es decir el sistema tiene solución única.
También tenemos que la C definida en la demostración del Lema 2 es
solución de este sistema.
Teorema 2 Sean v, w juegos con conjuntos de jugadores M, N disjuntos y
f, g sus extensiones multilineales. Entonces para cada α, β el juego αv + βw
tiene como extensión multilineal αf + βg.
Teorema 3 Sean v, w juegos con conjuntos de jugadores M, N disjuntos y
v ⊕ w (v ⊕ w(S ∪ T ) = v(S) + w(T )) la suma de von Neuman Morgesntern.
Si f, g son las extensiones multilineales de v, w respectivamente. Entonces la
extensión multilineal de v ⊕ w es f ⊕ g definida por:
f ⊕ g(x1 , ..., xn , y1 , ..., ym ) = f (x1 , ..., xn ) + g(y1 , ..., ym ).
5
Teorema 4 Sea v un juego a suma constante y f su extensión multilineal.
Entonces para cualquier x
f (1 − x1 , ..., 1 − xn ) = v(N ) − f (x1 , ..., xn ).
Sea
fi (x) = ∂f (x)/∂xi =
XY
xj
T ⊆N j∈T
i∈T j6=i
Y
(1 − xj )v(T ) −
XY
xj
S⊆N j∈S
i∈S
/
j ∈T
/
Y
(1 − xj )v(S)
j ∈S
/
j6=i
haciendo T = S ∪ {i} la parcial se reduce a:
XY Y
xj
(1 − xj )[v(S ∪ {i}) − v(S)]
fi (x) =
S⊆N j∈S
i∈S
/
(1)
j ∈S
/
j6=i
en particular para x = (t, ..., t)
fi (t, ..., t) =
X
ts (1 − t)n−s−1 [v(S ∪ {i}) − v(S)]
S⊆N
i∈S
/
integrando
Z
X Z
s
n−s−1
fi (t, ..., t)dt =
t (1 − t)
dt [v(S ∪ {i}) − v(S)]
S⊆N
i∈S
/
o
Z
1
fi (t, ..., t)dt = ϕi (v).
0
Ejemplo Sea v el juego 3–personal de mayorı́a en la normalización (0,1). Su
extensión multilineal es
f (x1 , x2 , x3 ) = x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 − 2x1 x2 x3
y la derivada parciales son:
f1 (x1 , x2 , x3 ) = x2 + x3 − 2x2 x3
6
f2 (x1 , x2 , x3 ) = x1 + x3 − 2x1 x3
f3 (x1 , x2 , x3 ) = x1 + x2 − 2x1 x2
y
f1 (t, t, t) = 2t − 2t2 .
El valor de Shapley es ϕ (v) = (ϕ1 (v) , ϕ2 (v) , ϕ3 (v)) donde
Z 1
Z 1
2
1
ϕ1 (v) =
f1 (t, t, t)dt =
{2t − 2t2 }dt = [t2 − t3 ]10 =
3
3
0
0
similarmente ϕ2 (v) = ϕ3 (v) = 1/3.
Algunas ventajas de la aproximación multilineal es que:
• Sean wj , j = 1, ..., n juegos normalizados (0,1) con carrier disjuntos
M1 , ..., Mn y v el juego nonegativo con carrier N = {1, ..., n}. Sea
u(S) = v({j : wj (S ∩ Mj ) = 1})
para S ⊆ ∪j Mj esto define el juego composición u = v[w1 , ..., wn ].
• Considere
Y
XY
u(S) =
wj (S) [1 − wj (S)]v(T ) = f (w1 (S1 ), ..., wn (Sn )) (2)
T ⊆N j∈T
j ∈T
/
donde Sj = S ∩ Mj y f es la extensión multilineal de v. Como wj son
juegos simples tenemos que
(w1 (S1 ), ..., wn (Sn )) = αT ,
donde T ⊆ N y está dado por
T = {j : wj (Sj ) = 1}
u(S) = f (αT ) = v(T )
Sea gj , j = 1, ..., n la extensión multilineal de los juegos normalizados
(0,1) wj . Sea
g = g1 × ... × gn : [0, 1]M1 × ... × [0, 1]Mn → [0, 1]∪j Mj =M
7
∗
g(x) = (g1 (x1 ), ..., gn (xn ))
donde xj es la restricción del vector x a los ı́ndices i ∈ Mj . Sea f
la extensión multilineal de v, el dominio es [0, 1]N . Consideremos la
∗
composición definido sobre el cubo [0, 1]M
h(x) = f (g1 (x1 ), ..., gn (xn ))
h es una función multilineal de la variables xi , i ∈ M ∗ . Sea i ∈ Mj
como los Mk son disjuntos tenemos que:
hi (x) =
∂f (g1 (x1 ), ..., gn (xn )) ∂gj (x)
∂h(x)
=
= fj (g(x))(gj )i (xj )
∂xi
∂yj
∂xi
hi (x) no depende de xi . Por lo tanto h es lineal en xi . Es decir h es
multilineal.
Teorema 5 Sea v un juego n–personal nonegativo, wi , i = 1, ..., n juegos
que cumplen que:
wj (S) ≥ 0
wj (Mj ) = 1
para todo S ⊆ Mj
para todo j
y sea u = v[w1 , ..., wn ]. Sean f, g1 , ..., gn las respectivas extensiones multilineales de v y wi , sea h = f ◦ g. Entonces h es la extensión multilineal de
u.
• Este teorema dice que la composición de juegos se corresponde con la
composición de la extensión multilineal.
• Uno espera que poder componer el valor de Shapley, es decir espera
tener una fórmula
ϕi (u) = ϕi (wj )ϕj (v)
En general esta igualdad no es verdadera.
Z 1
fj (y(t))gji (t, ..., t)dt
ϕi (u) =
0
donde yk (t) = gk (t, ..., t)
Z
ϕi (wj ) =
1
gji (t, ..., t)dt
0
8
(3)
1
Z
ϕi (v) =
fj (t, ..., t)dt.
0
La fórmula (3) permite calcular el valor para los juegos compuestos
Z 1
X
X
ϕi (u) =
fj (y(t))
gji (t, ..., t)dt
0
i∈Mj
X
i∈Mj
1
Z
ϕi (u) =
fj (y(t))
0
i∈Mj
dyj (t)
dt.
dt
Ejemplo 4 Consideremos el Concejo de Seguridad de las Naciones Unidas.
Puede ser representado como un juego u = v[w1 , w2 ] donde w1 es un juego de
5 personas en la cual la única coalición ganadora es la total v({1, ..., 5}) = 1,
v(S) = 0 para cualquier subconjunto de {1, ..., 5}. w2 es un juego de 10 jugadores donde cualquier coalición de más de cuatro jugadores es una coalición
ganadora. v es un juego de dos–personas simple en la cual la coalición de
dos jugadores es ganadora. Las extensiones multilineales de w1 , w2 , v :
y1 (t) = y 5
g1 (x) = x1 x2 x3 x4 x5
g2 (x) =
10 Y
X
s=4 i∈S
g2i (t) =
X
S⊆M2 −{i}
ts (1 − t)9−s
xi
Y
(1 − xi )
i∈S
/
9 3
=
t (1 − t)6 = 84t3 (1 − t)6
3
f (y1 , y2 ) = y1 y2
El valor de Shapley para i ∈ M2 (miembros no–permanentes)
Z 1
Z 1
8!6!
4
ϕi (u) =
f2 (y(t))g2i (t, ..., t)dt =
84t5 t3 (1 − t)6 dt = 84
=
15!
2145
0
0
421/2145 = 0, 1963
si i es un miembro permanente
ϕi (u) =
4/2145 = 0, 00186
si i no es un miembro permanente
9
1.0.2
Indice de Poder de Banzhaf–Coleman
Sea v un juego simple normalizado (0,1), un ”swing” o impulso para jugador
i es un conjunto S ⊆ N tal que S es ganadora y S\{i} es perdedora.
Sea θi el número de impulsos para jugador i entonces
βi (v) = θi /
n
X
θj
j=1
Este es el ı́ndice normalizado de Banzhaf–Coleman.
Ejemplo 5 Considere un juego de tres–personas donde las únicas coaliciones
ganadoras son {1,2}, {1,3}, {1,2,3}. θ1 = 3, θ2 = θ3 = 1
3 1 1
2 1 1
β=( , , )yϕ=( , , )
5 5 5
3 6 6
En general podemos definir θi como:
X
θi (v) =
[v(S) − v(S − {i})]
S⊆N
i∈S
n−1
X 1 n−1
1
ψi (v) =
θi (v) =
[v(S) − v(S − {i})]
2
2
S⊆N
i∈S
1
1
ψi (v) = fi ( , ..., )
2
2
Teorema 6 Sı́ u, v son juegos n–personales y α, β escalares, entonces
ψ(αv + βw) = αψ(v) + βψ(w)
Teorema 7 Sı́ u, v son juegos con conjunto disjuntos de jugadores M y N,
entonces
ψi (v ⊕ w) = ψi (v)
i∈M
ψj (v ⊕ w) = ψj (w)
10
j ∈ M.
Teorema 8 Si i es un dummy (i no pertenece al carrier del juego), entonces
ψi (v) = 0.
Teorema 9 Sean w1 , ..., wn juegos con conjuntos de jugadores disjuntos Mj
j = 1, ..., n, que cumplen que wj ≥ 0, wj (Mj ) = 1, para cada j; sea v un juego
no–negativo con conjunto de jugadores N = {1, ..., n} y u = v[w1 , ..., wn ].
Entonces para cada j ∈ N, existe λj ≥ 0 tal que si i ∈ Mj tal que
ψi (u) = λj ψi (wj )
Se prueba usando la extensión multilineal f, g1 , ..., gn de los juegos v, w1 , ..., wn
que:
1
λj = fj y( ) .
2
Corolario 2 Sean u, v, wj como en el Teorema anterior, supongamos además
que los juegos wj son a suma constantes. Entonces si i ∈ Mj
ψi (u) = ψj (v)ψi (wj )
Ejemplo 6 Calculemos el ı́ndice de poder de Banzhaf–Coleman del Concejo
de Seguridad.
f1 (y) = y2 ,
f2 (y) = y1
5
1
1
1
=
=
y1
2
2
32
Sı́ i ∈ M1
1
1
1
g1i ( , ..., ) = .
2
2
16
1
53
=
y2
2
64
Sı́ i ∈ M2
1
1
21
g2i ( , ..., ) =
2
2
128
53 1
53
= 1024
si i es un miembro permanente
64 16
ψi (u) =
21
21 1
=
si
i no es un miembro permanente.
128 32
4096
11