Hoja 7. - Departamento de Matemática Aplicada ETS de Arquitectura

Dpto. Matemática Aplicada. E.T.S. Arquitectura. U.P.M.
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CÁLCULO
Hoja 7. Algunas técnicas de integración.
Z
•
R(sen x, cos x)dx, m, n ∈ Z y R función racional
Se utiliza el cambio de variable t = tan(x/2) para el que se verifica:
sen x =
2t
1 + t2
cos x =
1 − t2
1 + t2
dx =
2dt
1 + t2
Sin embargo en casos particulares, resultan más “cómodos” otros cambios de variable.
– Si R es impar en sen x se toma t = cos x.
– Si R es impar en cos x se toma t = sen x.
– Si R es par en sen x y cos x se toma t = tan x.
– Si R es par sólo en sen x o cos x se toma sen2 x =
1 + cos 2x
1 − cos 2x
o cos2 x =
.
2
2
• Integración de algunas funciones irracionales cuadráticas: Sea R una función racional. Se
consideran las siguientes integrales:
Z
p
– ∗
R x, 1 − x2 dx, se toma x = sen t o x = cos t.
Z
p
∗
R x, 1 + x2 dx, se toma x = tan t o x = senh t.
Z
p
∗
R x, −1 + x2 dx, se toma x = sec t o x = cosh t.
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