Dada una variable aleatoria X definida sobre un espacio de

Dada una variable aleatoria X definida sobre un espacio de probabilidad (
define la función Y : (
(
de la forma Y(
Demuéstrese que Y es una variable aleatoria sobre
siguientes casos:



X(
X(
X(
>0
<0
≠0
, se
=
en cada uno de los
є
є
є
Para demostrar que Y es una variable aleatoria, basta comprobar que Y -1((- ,a]) є A
para cada a є .
Como X(
{
є
:
≠ 0 en cualquiera de los tres casos, se tiene que Y-1((- , a]) =
≤a}
a). Supongamos que X(
valores de a є
· Si a ≤ 0, como X(
=
>0
є . Entonces existen dos posibilidades para los
> 0, también lo es
> 0, y por tanto {
є
:
≤ a}
є A.
· Si a > 0, {
є
:
≤ a}= {
є
b) Supongamos ahora que X( < 0
posibilidades para el valor de a.
· Si a < 0, como X(
Por tanto, {
є
:
· Si a ≥ 0, como X(
є A.
≥
} = X-1 [
є A.
є . Entonces existen de nuevo dos
< 0, entonces
≤ a} = {
: X(
≤ a , o lo que es lo mismo, X(
є
< 0 , también es
: X(
≥
} X-1 [
< 0, y por tanto, {
≥ .
є A
є
:
≤ a} =
c) Supongamos por último que X(
para los valores de a.
· Si a = 0 {
є
:
≤ 0} = {
· Si a < 0, como como X(
y que X(
≥ . Por tanto {
X-1 [
є A
· Si a > 0,
<a
є
: X(
є
є
є
:
≥
є
: X(
< 0} = X-1(-
: X(
єA
≤ a, todo ello implica que X(
≤ a} = {
siempre que
< 0} U {
Entonces existen tres posibilidades
< 0, entonces
≤ a es equivalente a
= {
≠0
є
:
} =
Además, si
Por tanto, {
≥
} =
є
X-1 [
:
es positivo,
≤ a} =
U X-1 [
є A.
<0