Ejemplos de Ecuaciones Cuadráticas e Inecuaciones Cuadráticas

Ejemplos de Ecuaciones Cuadráticas e Inecuaciones Cuadráticas
Ecuaciones Cuadráticas
Las ecuaciones cuadráticas se pueden resolver por el método de factorización o utilizando la
fórmula cuadrática.
El primer paso para cualquiera de los dos métodos es escribir la ecuación en la forma estándar
2
ax  bx  c  0 , es decir, la ecuación igualada a cero.
Método de Factorización
Resolver ecuaciones cuadráticas mediante factorización de polinomios
Procedimiento:
1. Primero debemos expresar la ecuación en forma estándar igualando a cero;
ax
 bx  c  0
2
2. Factorizar completamente el polinomio.
3. Igualar a cero cada factor y despejar para la variable. Los valores encontrados
son la solución de la ecuación.
Ejemplo 1
Paso 1
x
x
2
2
 3 x  10
 3 x  10  0
Ejemplo 2
Paso 1
x
x
2
 9 x   14
2
 9 x  14  0
Paso 2 Factorización
Paso 2 Factorización
(x-2)(x+5)=0
(x+2)(x+7)= 0
Paso 3
Ejemplo 3
x  2  0
x  5  0
x  2
x  5
y
2
 7 y  12  0
Paso 3
x  2  0
x  7  0
x  2
x  7
Ejemplo 4
x
2
 x  20
Paso 1 Dado
Paso 1
Paso 2 Factorización
Paso 2 Factorización
( y  4 )( y  3 )  0
( x  5 )( x  4 )  0
Paso 3
Paso 3
x
2
 x  20  0
y  4  0
y  3  0
x  5  0
x  4  0
y  4
y  3
x  5
x  4
Ejemplo 5
Paso 1
2x
2x
2
2
Ejemplo 6
 5x  3
 5x  3  0
Paso 1
4x
Dada
2
4x
 12 x  9  0
2
Paso 2 Factorización
Paso 2 Factorización
( x  3 )( 2 x  1 )  0
(2 x  3)
Paso 3
2x 1  0
x  3  0
x 
x  3
2
 12 x  9  0
 0
2x  3  0
Paso 3
1
x 
3
2
2
Fórmula Cuadrática
Al utilizar la fórmula cuadrática encuentras la solución de la ecuación. Una ecuación cuadrática
puede tener una solución o dos soluciones; éstas pueden ser valores en el conjunto de los
números reales o en el de los números complejos.
Fórmula
x 
 b 
b
2
 4 ac
, para ax
2
 bx  c  0
2a
Procedimiento:
1. Primero debemos expresar la ecuación en forma estándar igualando a cero.
2. Segundo identificar el valor de a, b y c, en la ecuación dada.
3. Sustituir en la fórmula cuadrática.
Se debe comenzar con el radical, el radicando en esta fórmula se conoce como el
discriminante: b  4ac . El tipo de solución de la ecuación depende del valor del
discriminante.
2
Si el discriminante es:
 Positivo la ecuación tiene dos valores reales como solución
 Negativo la ecuación tiene dos valores no reales ( complejos ) como solución
 Cero sólo tenemos un valor real como solución
4. Simplificar
EJEMPLO 1
Resuelve la siguiente ecuación
 5x  3  0
2
2x
PROCEDIMIENTO
ECUACIÓN
Expresar la ecuación en forma estándar
igualando a cero
2x
Identificar el valor de a, b, y c
a  2, b  5, c   3
5
2
2
2x
2
 5x  3  0
 5x  3  0
 4 ( 2 )(  3 )  25  (  24 )  25  24  49
Hallar el discriminante y determinar el tipo
de solución
Positivo la ecuación tiene dos valores reales como
solución
Sustituir en la fórmula
x 
5
49
2(2)
x 
5 7
4
x 
Simplificar
5 7

4
EJEMPLO 2
Resuelve la siguiente ecuación
 .5
4x
2
PROCEDIMIENTO

 12
 3
4
 12 x  9  0
4x
Identificar el valor de a, b, y c
a  4 , b  12 , c  9
2
5 7
x  3
Expresar la ecuación en forma estándar
igualando a cero
12
x 
4
ECUACIÓN
2
ó
4
o
x  0 .5
2
4x
2
 12 x  9  0
 12 x  9  0
 4 ( 4 )( 9 )  144  144  0
Hallar el discriminante y determinar el tipo
de solución
Cero sólo tenemos un valor real como solución
Sustituir en la fórmula
Simplificar
x 
 12 
0
2(4)
x 
 12
8

3
2
  1 .5
EJEMPLO 3
Resuelve la siguiente ecuación
x
2
 25  0
PROCEDIMIENTO
ECUACIÓN
Expresar la ecuación en forma estándar
igualando a cero
x
Identificar el valor de a, b, y c
a  1, b  0 , c  25
0
Hallar el discriminante y determinar el
tipo de solución
Sustituir en la fórmula
2
 25  0
 25  0
2
2
x
 4 (1 )( 25 )  0  (100 )   100
Negativo la ecuación tiene dos valores no reales
(complejos), como solución
 100
x 
2 (1 )
x 

Simplificar
x  5i
 100

 10 i
2 (1 )
2
o
x   5i
  5i
No son soluciones reales
EJEMPLO 4
Resuelve la siguiente ecuación
3x
 8  10 x
2
2
PROCEDIMIENTO
ECUACIÓN
Expresar la ecuación en forma estándar
igualando a cero
3x
Identificar el valor de a, b, y c
a  3 , b  10 , c   8
10
Hallar el discriminante y determinar el tipo
de solución
Sustituir en la fórmula
2
2
3x
 8  10 x
 10 x  8  0
 4 ( 3 )(  8 )  100  (  96 )  100  96  196
Positivo la ecuación tiene dos valores reales como
solución
x 
 10 
196
2 (3)
x 
 10  14
6
x 
 10  14

6
Simplificar
x 
 . 67
6
 10  14
6
x  0 . 67
4

 24
6
o
x  4
 4
ó
Inecuaciones Cuadráticas
Resolvemos las inecuaciones cuadráticas de forma similar a las ecuaciones. La diferencia
en estos casos es que la solución es dada por un intervalo de la recta numérica.
Procedimiento:
1. Expresar la inecuación en forma estándar, según el caso que corresponda:
ax
ax
2
2
 bx  c  0
 bx  c  0
ó
ó
ax
ax
2
2
 bx  c  0
 bx  c  0
2. Hallar las raíces ( solución ) de la ecuación correspondiente a la inecuación dada;
2
ax  bx  c  0 .
 VER PROCEDIMIENTO PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA
3. Marcar las raíces en la recta numérica.
4. Identificar los intervalos formados por las raíces en la recta numérica.
5. Llevar a cabo la prueba de los signos:
a. Seleccionar un número de cada intervalo de la recta, según el paso anterior.
b. Evaluar el polinomio con el valor seleccionado en el paso anterior.
c. Anotar el signo que le corresponde a cada intervalo.
6. Seleccionar el o los intervalos en los que se obtenga el resultado esperado. El
resultado depende del tipo de inecuación, los cuales serán los siguientes:
ax
ax
ax
ax
2
 bx  c  0
; la solución consiste en el intervalo, donde se obtengan
valores, para el cual la expresión asuma un resultado
negativo o cero.
2
 bx  c  0
; la solución consiste en el intervalo, donde se obtengan
valores, para el cual la expresión asuma un resultado
negativo. El cero NO se incluye.
2
 bx  c  0
; la solución consiste en el intervalo, donde se obtengan
valores, para el cual la expresión asuma un resultado
positivo o cero.
2
 bx  c  0
; la solución consiste en el intervalo, donde se obtengan
valores, para el cual la expresión asuma un resultado
positivo. El cero NO se incluye.
EJEMPLO 1
2x
Resuelve la siguiente inecuación
 5x  3  0
2
PROCEDIMIENTO
Expresar la inecuación en la
forma estándar
2x
2x
Resolver la ecuación
correspondiente. Se puede
utilizar la factorización o la
fórmula cuadrática.
2
 5x  3  0
2
 5x  3  0
( 2 x  1 )( x  3 )  0
2x 1  0
x 
1
x  3  0
o
x  3
2
Marcar las raíces en la recta
numérica e identificar los
intervalos formados.
1
-3
2
2
x= -4
Intervalo
3  x 
x=0
valor
x  3
Evaluar el polinomio en cada valor y
anotar los signos.
1
-3
Seleccionar un número de cada
intervalo.
1
x=1
evaluar
x=-4
2(4)
x=0
2 (0)
x=1
2 (1 )
2
signo
2
 5(4)  3  9
 5(0 )  3   3
+
-
2
x 
1
2
 5 (1 )  3  4
+
2
Seleccionar el o los intervalos en
los que se obtenga el resultado
esperado. 2 x 2  5 x  3  0
La solución consiste en el intervalo, donde se
obtengan valores, para el cual la expresión
asuma un resultado positivo o cero.
x  3
x 
ó
1
2
Gráfica
-3
1
2
EJEMPLO 2
x
Resuelve la siguiente inecuación
 x  6  0
2
PROCEDIMIENTO
Expresar la inecuación en la
forma estándar
x
x
Resolver la ecuación
correspondiente. Se puede
utilizar la factorización o la
fórmula cuadrática.
2
 x  6  0
2
 x  6  0
( x  2 )( x  3 )  0
x  2  0
o
x  2
Marcar las raíces en la recta
numérica e identificar los
intervalos formados.
2
-3
2
x= -5
Intervalo
x  3
 3  x  2
x  2
Seleccionar el o los intervalos en
los que se obtenga el resultado
esperado. x 2  x  6  0
x  3
-3
Seleccionar un número de cada
intervalo.
Evaluar el polinomio en cada valor y
anotar los signos.
x  3  0
x=0
valor
x=-5
x=0
x=3
x=3
evaluar
(5)
0
3
2
2
2
signo
 (  5 )  6  14
 0  6  6
 3 6  6
+
+
la solución consiste en el intervalo, donde se
obtengan valores, para el cual la expresión
asuma un resultado negativo. El cero NO se
incluye.
 3  x  2
Gráfica
-3
2
EJEMPLO 3
Resuelve la siguiente inecuación
4x
2
 12 x  9  0
PROCEDIMIENTO
Expresar la inecuación en la forma estándar
4x
4x
Resolver la ecuación correspondiente. Se puede
utilizar la factorización o la fórmula cuadrática.
2
 12 x  9  0
2
 12 x  9  0
( 2 x  3 )( 2 x  3 )  0
2x  3  0
x 
 3
2
Marcar las raíces en la recta numérica e
identificar los intervalos formados.
 3
2
Seleccionar un número de cada intervalo.
X= -2
 3
x=0
2
Intervalo valor evaluar signo
x 
Evaluar el polinomio en cada valor y anotar los
signos.
 3
x=-2
4(2)
2
 12 (  2 )  9  1
2
+
x 
 3
x=0
4(0)
2
 12 ( 0 )  9  9
2
+
Seleccionar el o los intervalos en los que se
obtenga el resultado esperado.
4x
2
 12 x  9  0
La solución consiste en el intervalo, donde
se obtengan valores, para el cual la
expresión asuma un resultado positivo o
cero.
AMBOS INTERVALOS CUMPLEN CON EL
RESULTADO ESPERADO POR LO TANTO
LA SOLUCIÓN SON LOS NÚMEROS
REALES
EJEMPLO 4
Resuelve la siguiente inecuación
x
2
 49  0
PROCEDIMIENTO
Expresar la inecuación en la forma estándar
Resolver la ecuación correspondiente. Se puede
utilizar la factorización o la fórmula cuadrática.
x
x
2
 49  0
2
 49  0
No tiene solución en los reales.
Esta inecuación no tiene solución ya que para cualquier valor que se sustituya en la
expresión será siempre positiva.