Series y Siglas Multiplicativas.

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UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA
SEMILLERO DE MATEMÁTICAS. NIVEL 11
TALLER N º 10 SERIES Y REGLAS MULTIPLICATIVAS
INTRODUCCIÓN:
De acuerdo a una vieja fábula, el rey hindú Shirham concedió una dádiva al Gran Visir Sissa Ben
Dari por haber inventado el ajedrez. Sabiendo que éste se juega sobre un tablero de 64 cuadrados.
Sissa se dirigió al rey diciéndole: “Majestad, dadme un grano de trigo para colocar en el primer
cuadrado, dos para colocar en el segundo, cuatro granos de trigo para colocar en el tercero y ocho
para poner en el cuarto y así, ¡Oh Rey!, dejadme cubrir cada uno de los 64 cuadrados del tablero”
“¿Y, eso es todo lo que deseas, Sissa?”, exclamo el rey estupefacto. “Oh, Señor”, repuso Sissa “he
pedido más trigo que el que hay en todo vuestro reino, más aún, más trigo que el que hay en todo
el mundo, en verdad, suficiente para cubrir toda la superficie de la Tierra hasta una altura igual a la
vigésima parte de un codo” ( La vigésima parte de un codo es aproximadamente 1 pulgada = 2.5
cm.)
Ahora bien, el número de granos de trigo que Sissa pedía es 264-1.
RESEÑA HISTORICA
Pues la historia es la siguiente: estaba Carl Friedrich Gauss allá por el año 1787 en la escuela.
Tenía unos 10 años de edad. Con esa edad pasó lo que tenía que pasar, todos los niños
empezaron a tirarse papeles, tizas, etc.
En ese momento apareció el profesor y furioso que estaba, ordenó a todos los niños como castigo,
que le sumaran todos los números del 1 al 100.
El profesor debió pensar: ¡que idea mas buena he tenido!. ¡Durante un buen rato, me dejarán todos
estos mocosos en paz!.
A los pocos minutos, nuestro pequeño genio se levantó del pupitre, y entregó la respuesta correcta:
5050. El profesor, asombrado, debió pensar que había puesto un número al azar, y se dispuso él
mismo a hacer la interminable suma. Al cabo de un buen rato, comprobó que, efectivamente, la
suma pedida era 5050.
No es que Gauss fuera un calculador extraordinario, capaz de hacer sumas a la velocidad de un
computador moderno. Gauss llegaría a ser uno de los mejores matemáticos de la historia, y los
matemáticos no calculan: piensan...
Lo que hizo Gauss fue lo siguiente:
Tenía que sumar los siguientes números:
1+2+3+4+5+6+7+8+9+.....................................+95+96+97+98+99+100
Pero nadie le obligaba a sumarlos por orden. Gauss se percató de un hecho singular: si agrupaba
los números por parejas, tomando el primero y el último, el segundo y el penúltimo, etc., tenía lo
siguiente:
(1+100)=101; (2+99)=101; (3+98)=101; (4+97)=101; etc.
Es decir, todos los pares de números sumaban 101. Como entre el uno y el 100 podía hacer 50
pares con esa propiedad, 50 X 101 =5050.
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Más tarde, aplicaría este mismo principio para hallar la suma de la serie geométrica y muchas otras
series.
OBJETIVO GENERAL:
Deducir el término general de una situación dada.
TEORÍA
PROGRESIÓN ARITMÉTICA.
Una sucesión es una progresión aritmética, si cada término se obtiene del anterior sumándole un
número fijo d, llamado diferencia de la progresión.
CÁLCULO DE UN TÉRMINO CUALQUIERA DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA.
Sea la progresión aritmética: a1, a2, a3 …………… an-2, an-1, an.
a1 = a1
a2 = a1 + d
a3 = a2 + d = a1 + d + d = a2 + 2d
a4 = a3 + 3d
Sucesivamente se llega al término que ocupa el lugar n y se obtiene que: an = a1 + (n – 1)d
PROPIEDAD: En una progresión aritmética finita la suma de los términos equidistantes de los
extremos es igual a la suma de los extremos.
Por ejemplo en la progresión aritmética: 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31. Se tiene que: 3 + 31 = 34;
7 + 27 = 34; 11 + 23 = 34; 15 + 19 = 34.
SUMA DE n TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA:
Utilizamos la propiedad anterior para deducir una fórmula que nos permita encontrar la suma de
n términos de una progresión aritmética (Sn).
Sn = a1 + a2 + a3 + ……………………… + an-2 + an-1 +an
Sn = an + an-1 +an-2 + ............................ + a3 + a2 + a1
Sumando estas dos igualdades, tenemos:
2Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + …………… +(an-2 + a2) + (an + a1)
Aplicando la propiedad se llega a: 2Sn = n(a1 + an)
Sn =
n(a1 + a n )
2
3
1. ¿Cuál es la suma de los números
desde 1 hasta 100?
A. 1050
B. 5050
C. 3024
D. 10250
2. ¿Cuál es la suma de los números
desde 1 hasta 200?
A. 10200
B. 30400
C. 20100
D. 10100
3. Una expresión con la cual es posible
determinar la suma desde 1 hasta un
número entero n, es:
A. (2n+1)n
2n(n − 1)
B.
2
n(n + 1)
C.
2
(n − 1)(n + 1)
D.
2
Responder las preguntas 4 y 5 de
acuerdo con la siguiente información:
Las figuras A, B, C, D muestran el
número de líneas que pueden trazarse
cuando se tienen 2, 3, 4, 5 puntos
respectivamente, tales que en ninguna
de ellas hay 3 puntos alineados.
n(n − 1)
2
2n + 1
C.
2
n(n − 2)
D.
2
B.
Responder las preguntas 6 a 8 con la
siguiente información:
Como se muestra en la figura, es
posible construir cuadrados con
fósforos. Usamos 7 fósforos para
construir 2 cuadrados y 10 para
construir 3.
6. ¿Cuántos fósforos se necesitan para
construir 20 cuadrados?
A. 60 fósforos
B. 61 fósforos
C. 70 fósforos
D. 79 fósforos.
7. ¿Cuántos cuadrados es
construir con 28 fósforos?
A. 8
B. 9
C. 10
D. 11
posible
8. Una expresión que permite determinar
el número de fósforos necesarios para
construir n cuadrados, es:
A.
n(n + 1)
2
B. 2n(n-1)
C. 3n+1
4. El número de líneas que pueden
trazase cuando se tienen 8 puntos
es:
A. 14
B. 20
C. 25
D. 28
5. Un expresión que permite determinar el
número de líneas que pueden trazarse
cuando se tienen n puntos, donde n =
2, 3,4, 5, 6, 7…………… es:
A.
n(2n − 1)
2
D.
3n + 1
2
4
Responder las preguntas 9 y 10 de
acuerdo a la siguiente información:
Es posible construir triángulos con
fósforos. Usamos 3 fósforos para
construir 1 triangulo y 5 fósforos para
construir 2 triángulos.
9. ¿Cuántos fósforos se necesitan para
construir 18 triángulos?
A. 28 fósforos
B. 29 fósforos
C. 37 fósforos
D. 43 fósforos.
10. ¿Cuántos
triángulos
es
posible
construir con 51 fósforos?
A. 25
B. 30
C. 33
D. 35
11.
Es posible encontrar la cantidad de
fósforos que se necesitan para armar la
n-èsima figura de la serie anterior que
se muestra mediante la siguiente
expresión: 3n+(n-1). En esta expresión,
¿qué expresa el término (n-1)?
A.
El número de fósforos que se
disponen así:
B.
El número de
disponen así:
fósforos
que
se
C.
El número de
disponen así:
fósforos
que
se
D.
El número de fósforos dispuestos así:
12. A Camilo, Julián y Ángela Patricia les
gusta construir tetraedros (en este caso,
pirámides triangulares) con pelotas de
plástico.(¿Cómo logran mantener sus
pirámides erectas?. Es un secreto). Están
pensando construir un tetraedro (pirámide
triangular). Hay 9 pelotas en cada lado de
la fila inferior. ¿Cuántas pelotas tendrá la
pirámide terminada?
A.
B.
C.
D.
166
165
169
170
13. ¿Cuántas campanadas da un reloj en
24 horas, si no suena más que a la hora
exacta?
A.156
B.126
C.275
D:128
14. Una deuda puede ser pagada en 32
semanas pagando 5 dólares la primera
semana, 8 dólares la segunda semana, 11
dólares
la tercera semana y así
sucesivamente. ¿Cuál es el costo de la
deuda?
A. 1250
B. 1648
C. 15800
D. 12300
15. Un obrero arregla un muro con 5
ladrillos, cobrando un dólar por el primero,
2 dólares por el segundo, 4 dólares por el
tercero y así sucesivamente. ¿Cuántos
serán los honorarios del obrero?
A. 8 dólares.
B. 16 dólares
C. 25 dólares
D. 31 dólares.
16. Si para perforar un pozo de 7 metros
de profundidad, se pidiera 1 dólar por el
primer metro, 2 dólares por el segundo, 4
dólares por el tercero y así sucesivamente.
¿Cuánto se cobrará por la perforación?
A. 529 dólares
B. 281 dólares
C. 127 dólares
D. 54 dólares.
17. ¿Cuántas parejas de conejos se sacan
de una pareja inicial, en el transcurso de un
año sabiendo que cada pareja produce otra
pareja cada mes y las conejas pueden parir
a los dos meses de nacidas?
A. 251
B. 376
C. 325
D. 215
5
REGLAS MULTIPLICATIVAS
INTRODUCCIÓN:
Otra forma notable en la que aparece 264 es al calcular el número de los antepasados de cada
persona, desde el comienzo de la Era Cristiana (precisamente alrededor de 64 generaciones.).
En este lapso, suponiendo que cada persona tiene dos padres, 4 abuelos, 8 bisabuelos, etc.,
cada persona tiene, por lo menos 264 antepasados, o sea poco menos de dieciocho y medio
trillones de parientes!.
TEORÍA.
En muchos problemas interesa saber de cuantas maneras es posible realizar determinado
proceso, sin necesidad de especificar cada una del ellas.
PRINCIPIO FUNDAMENTAL:
Si una operación requiere dos etapas para completarse y una de esas etapas puede hacerse
de n maneras y por cada una de estas la segunda etapa puede hacerse de m maneras
entonces la operación tiene n.m maneras de realizarse.
EJERCICIOS:
Responder las preguntas 1 a 3 de acuerdo
con la siguiente información:
Para ir de A a C, es necesario pasar por B;
hay tres rutas distintas entre A y B y cuatro
rutas distintas entre B y C.
1.
¿De cuántas maneras puede una
persona hacer un viaje de A a C?
A. 10
B. 7
C. 12
D. 18
2.
¿De cuántas maneras puede una
persona hacer un viaje de ida y vuelta de A
a C?
A.
14
B.
144
C.
24
D.
18
3.
¿De cuántas maneras puede una
persona hacer un viaje de ida y vuelta de A
a C sin repetir ruta?
A.
B.
C.
D.
12
144
24
72
4.
En un estudio médico se clasifica a
los pacientes de 8 formas, de acuerdo a si
tienen sangre de tipo AB+, AB-, A+, A-, B+,
B-, O+, O- y también de acuerdo a su
presión arterial si es baja, normal o alta. El
número de formas en la que un paciente
pude ser clasificado es:
A.
11
B.
24
C.
120
D.
110
5.
Un estudiante de primer semestre
de universidad debe tomar un curso de
ciencias, uno de humanidades y uno de
matemáticas. Si es posible elegir entre 6
cursos de ciencias, 4 de humanidades y 4
de matemáticas. ¿De cuántas formas
diferentes pude elaborar el estudiante su
horario?
A.
14
B.
24
C.
96
D.
84
6.
El testigo de un accidente de
tránsito en el que el causante se dió a la
fuga le dijo a la policía que las placas del
automóvil tenía las letras ELN seguidas de
tres dígitos, el primero de los cuales era un
3, si el testigo no puede recordar los
últimos dígitos, pero está seguro que todos
los dígitos eran diferentes, el número de
registros de automóviles que la policía
tendrá que revisar es:
A.
56
B.
81
C.
72
D.
64
6
7.
¿De cuántas maneras diferentes es
posible contestar una prueba de verdadero
y falso que consta de 5 preguntas?
A.
120
B.
25
C.
64
D.
32
Responder las preguntas 8 y 9 de acuerdo
con la siguiente información:
Si una prueba de opción múltiple consta de
5 preguntas, cada una de ellas con 4
respuestas posibles,, de las cuales sólo
una es la correcta.
8.
¿De cuántas formas diferentes
puede un estudiante asignar una respuesta
a cada pregunta?
A.
1024
B.
20
C.
64
D.
243
9.
¿De cuántas maneras diferentes
puede un estudiante asignar una respuesta
a cada una de las preguntas y tener todas
las respuestas equivocadas?
A.
1024
B.
243
C.
184
D.
118
10.
El número de formas en el que se
pueden asignar 6 maestros a 4 secciones
de un curso introductorio de sicología, si a
ningún maestro se le puede asignar más de
una sección es:
A.
270
B.
360
C.
256
D.
1296
Responder las preguntas 11 a 14 de
acuerdo con la siguiente información:
Con los números 1, 2, 3, 4, 5
11.
¿Cuántos números de tres dígitos
distintos pueden formarse?
A.
125
B.
12
C.
60
D.
72
12.
¿Cuántos números impares de tres
dígitos distintos pueden formarse?
A.
36
B.
60
C.
10
D.
48
13.
¿Cuántos números pares de tres
dígitos distintos pueden formarse?
A.
24
B.
64
C.
9
D.
36
14.
¿Cuántos números de tres dígitos
distintos que comiencen 1 y terminen en 5
pueden formarse?
A.
24
B.
3
C.
12
D.
36
Responder las preguntas 15 a 17 de
acuerdo con la siguiente información:
Con los números 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6 cuántos
números de tres dígitos pueden formarse
15.
Si cada dígito se puede utilizar una
sola vez.
A.
17
B.
180
C.
216
D.
228
16.
Si los números son impares y cada
dígito se puede utilizar una sola vez.
A.
75
B.
216
C.
120
D.
210
17.
Si los números son mayores que
330 y cada digito se puede utilizar una sola
vez.
A.
15
B.
90
C.
105
D.
120
Responder las preguntas 18 a 20 de
acuerdo con la siguiente información:
Con los números 1, 3, 5, 6, 7, 9
18.
¿Cuántos números de cuatro
dígitos pueden formarse?
A.
270
B.
1296
C.
1180
D.
360
19.
¿Cuántos números pares de cuatro
dígitos pueden formarse?
A.
120
B.
216
C.
180
D.
228
20. ¿Cuántos números impares de cuatro
dígitos pueden formarse?
A. 150
B. 1080
C. 216
D. 1020
7
GLOSARIO:
Pulgada, Serie, Sucesiones, Progresión aritmética, Regla de formación, Pirámide, Tetraedro, Serie
de Fibonacci, Dígito, Par, Impar.
BIBLIOGRAFÍA:
•
•
•
•
Lipschutz, S: Teoria y Problemas de probabilidad. Mc Graw-Hill. México.1971.
Walpole: Probabilidad y Estadística. Mc Graw-Hill. México. 1992
Daniel, W: Bioestadística. Limusa. México.1987.
Newman, J: Matemática e Imaginación. Salvat Editores. Barcelona. 1987.