Proyecciones

Instituto Geográfico Nacional
Proyecciones Cartográficas
Marcelino Valdés Pérez de Vargas
Proyecciones Cartográficas
El problema que vamos a tratar ahora es la representación
de la superficie terrestre sobre un plano.
2
Proyecciones Cartográficas
El problema de la representación de la superficie terrestre en
un mapa da lugar a las proyecciones cartográficas.
ficas
La Cartografía Matemática es la ciencia que estudia estas
diferentes formas de representar la superficie de la Tierra
sobre una superficie plana.
Además de las coordenadas geográficas (ϕ, λ), de un punto
genérico, referidas en un Sistema de Referencia Geodésico
es necesario también conocer sus coordenadas planas en
una proyección determinada.
Esto se consigue por medio de unas funciones :
E=X = f1 (ϕ, λ)
N=Y = f2 (ϕ, λ)
3
Proyecciones Cartográficas
De la misma forma, existirán otras funciones que harán el
proceso inverso:
ϕ = g1 (X, Y)
λ = g2 (X, Y)
es decir, existe una correspondencia biunívoca
No existe la proyección perfecta, de tal forma que siempre
habrá deformaciones en algún elemento en la transformación
Ángulo
Distancias
Áreas
La proyección dependerá de:
la finalidad y aplicación que se le va a dar al mapa
del área a cartografiar.
de las condiciones de las deformaciones
4
Líneas coordenadas en los mapas
En general se definen en coordenadas cartesianas (planas)
x = f (ϕ, λ) y = g (ϕ, λ)
ϕ λ curvilíneas y superficiales sobre el elipsoide en el
sistema de referencia geodésico
Las líneas de meridianos y paralelos sobre el mapa son, en
forma paramétrica:
meridianos λ=p (constante)
paralelos ϕ=q (constante)
x = f (ϕ, p) y = g (ϕ, p)
x = f (q, λ) y = g (q, λ)
5
Deformación del cuadrilátero infinitesimal en el plano
Elipsoide ó
Esfera
Plano
ds
Mdϕ
Ncosϕdλ
Acimut α
Dir. Merid. 0
Áng. π/2
ds’
ds’m
ds’p
acimut plano β
convergencia γ
i de mer. y par.
e=Xφ2+ Yφ2
f= XφXλ+ YφYλ
g=X λ2+Y λ2
P’’(φ+d ϕ, λ+d λ)
ds'
ds’m
β
γm
i
P’(φ, λ)
ds’p
ds’=(edϕ2+fdϕdλ +gdλ2)1/2
ds’m = √edϕ (Xλ= Yλ=0)
ds’p = √gdλ (Xϕ= Yϕ=0)
cos i = f/√(eg)
6
Elipse de distorsión o de Tissot
7
Proyecciones Cartográficas
Clasificación de las proyecciones
Proyecciones en función de las deformaciones producidas:
Proyección conforme:
conforme conserva los ángulos medidos en
la superficie y en el mapa. Si no, existirá anamorfosis
angular.
Proyección equidistante:
equidistante conserva las distancias medidas
en la superficie y en el mapa. Si no, existirá anamorfosis
lineal. Si simplemente una línea cumple esta propiedad,
se dice que es automecóica.
Proyección equivalente:
equivalente conserva las superficies. Si no,
tendrá anamorfosis superficial.
8
Proyecciones Cartográficas
Ejemplo de CONFORME, observese:
la semejanza de las células entre 2 meridianos y 2 paralelos
CONFORME CÓNICA
9
Proyecciones Cartográficas
Ejemplo de EQUIVALENTE, observese:
el área constante de células entre 2 meridianos y 2 paralelos
el polo norte se representa por un arco de circunferencia
Cónica equivalente
10
Proyecciones Cartográficas
Ejemplo de EQUIDISTANTE, observese:
la escala local es 1:1 en dirección de los meridianos
el polo norte se representa por un arco de circunferencia
Cónica equidistante (meridianos automecoicos)
11
Proyecciones Cartográficas
Proyecciones en función del proceso geométrico:
trico
•
Proyección perspectiva:
perspectiva la superficie es proyectada
sobre un plano tangente o secante en un punto
determinado de la superficie terrestre.
•
Proyección desarrollable o por desarrollo:
desarrollo la
superficie terrestre es proyectada sobre una figura
geométrica que se puede desarrollar en un plano
(cono o cilindro).
12
Proyecciones Cartográficas
Dentro de los desarrollos, según la dirección del “eje” de la
figura desarrollable, da lugar a:
• Desarrollo directo:
directo el eje terrestre y el de la figura
desarrollable coinciden.
• Desarrollo transverso:
transverso el eje terrestre y el de la figura
desarrollable son perpendiculares.
• Desarrollo oblicuo:
oblicuo el eje terrestre y el de la figura
desarrollable forman un determinado ángulo.
13
Proyecciones Cartográficas
Proyecciones Perspectivas
Se fundamentan en los principios de la geometría proyectiva
para pasar al plano, denominándose vértice de proyección al
punto desde el que se proyecta y plano del cuadro al plano
sobre el que se proyecta.
Según sea la posición del vértice se clasifican en:
Escenográfica: el vértice de proyección es un punto
cualquiera exterior a la esfera, a una distancia finita de su
centro.
Gnomónica: el vértice está en el centro de la esfera y el
plano, normalmente, es tangente.
Estereográfica: el vértice es un punto de la esfera y el
plano de proyección, normal al diámetro que pasa por el
vértice.
Ortográfica: el vértice de proyección está en el infinito.
14
Proyecciones Cartográficas
Proyecciones Perspectivas
Según el punto de tangencia del plano de proyección se
clasifican en:
Polar: el plano es tangente a uno de los polos.
Meridiana o ecuatorial: el plano es tangente en cualquier
punto del Ecuador.
Horizontal u oblicua: el plano está situado en un lugar
cualquiera de la superficie.
Cualquiera de las proyecciones es una combinación de
ambos conceptos.
15
Proyecciones Cartográficas
Cualquiera de las proyecciones perspectivas es
una combinación de ambos conceptos:
F (V)
Escenográfica
Gnomónica
Estereográfica
Ortográfica
F (pto tg)
Polar
Meridiana, ecuatorial
Horizontal u oblicua
16
Proyecciones Cartográficas
Caso general proy. perspectivas:
Proyección escenográfica oblicua
Si tomamos una esfera de radio unidad.
Llamamos D a la distancia de proyección desde el
centro de la esfera.
Sea ϕ0 la latitud del plano tangente de proyección.
Podemos deducir las ecuaciones generales:
x=
y=
( D + 1) cos ϕ sin λ
D + sin ϕ sin ϕ 0 + cos ϕ cos ϕ 0 cos λ
( D + 1)(sin ϕ cos ϕ 0 − cos ϕ sin ϕ 0 cos λ )
D + sin ϕ sin ϕ 0 + cos ϕ cos ϕ 0 cos λ
El resto de las proyecciones se deducen como
casos particulares de D y ϕ0
17
Proyecciones Cartográficas
Proyección gnomónica polar o directa
cos ϕ sin λ
= cot ϕ sin λ
sin ϕ
− cos ϕ cos λ
= − cot ϕ cos λ
y =
sin ϕ
x =
D = 0, ϕ0 = 90º
Meridianos: rectas convergentes en
el polo.
Paralelos: círculos concéntricos en
el polo.
Apropiadas para representar zonas
polares, ya que las deformaciones
aumentan rápidamente al alejarse
del polo.
18
Proyecciones Cartográficas
Proyección gnomónica meridiana o transversa
D = 0, ϕ0 = 0º
Meridianos: rectas.
Paralelos: hipérbolas.
x = tan λ y = tan ϕ
cos λ
Proyección gnomónica horizontal u oblícua
D = 0, ϕ0 = cualquiera
Meridianos: rectas convergentes en el polo.
Paralelos: elipses, hipérbolas o parábolas
según la latitud.
cos ϕ sin λ
x=
sin ϕ sin ϕ 0 + cos ϕ cos ϕ 0 cos λ
sin ϕ cos ϕ 0 − cos ϕ sin ϕ 0 cos λ
y=
sin ϕ sin ϕ 0 + cos ϕ cos ϕ 0 cos λ
19
Proyecciones Cartográficas
Proyección estereográfica polar
D = 1, ϕ0 = 90º
Meridianos: rectas concéntricas en el polo.
Paralelos: círculos concéntricos en el polo.
x=
y=
2 cos ϕ sin λ
1 + sin ϕ
− 2 cos ϕ cos λ
1 + sin ϕ
Es una proyección conforme
Se utiliza para navegación en las regiones polares, y como
complemento de la UTM para regiones
de latitud mayor de 70º
20
Proyecciones Cartográficas
Proyección estereográfica meridiana o transversa
D = 1, ϕ0 = 0º
x =
2 cos ϕ sin λ
1 + cos ϕ cos λ
y=
2 sin ϕ
1 + cos ϕ cos λ
Merid: elipses excepto meridiano del vértice (recta).
Paral: elipses excepto paralelo del vértice (recta).
Proyección estereográfica oblicua
D = 1, ϕ0 = cualquiera
x =
2 cos ϕ sin λ
1 + sin ϕ sin ϕ 0 + cos ϕ cos ϕ 0 cos λ
y=
2 (sin ϕ cos ϕ 0 − cos ϕ sin ϕ 0 cos λ )
1 + sin ϕ sin ϕ 0 + cos ϕ cos ϕ 0 cos λ
Merid. Y paral son elipses excepto meridiano vértice
21
Proyecciones Cartográficas
Proyección ortográfica ecuatorial o directa o polar
D = ∞, ϕ0 = 90º
•Meridianos: rectas convergentes polos
•Paralelos: círculos concéntricos.
x = cos ϕ sin λ
y = − cos ϕ cos λ
Proyección ortográfica meridiana o transversa
D = ∞, ϕ0 = 0º
•Meridianos: elipses excepto meridiano
del vértice.
x = cos ϕ sin λ
•Paralelos: rectas.
y = sin ϕ
Proyección ortográfica oblicua
D = ∞, ϕ0 = cualquiera
x = cos ϕ sin λ
y = sin ϕ cos ϕ 0 − cos ϕ sin ϕ 0 cos λ
•Merid: elipses excepto meridiano del vértice (recta).
•Paral: elipses excepto paralelo del vértice (recta).
22
Proyecciones Cartográficas
Desarrollos Cónicos
Las proyecciones cónicas se obtienen
proyectando la superficie terrestre sobre
un cono que es tangente a lo largo de un
paralelo de latitud ϕ0, y desarrollando el
cono sobre un plano.
se obtiene una representación donde los
meridianos son rectas convergentes en
un punto (vértice del cono) y los
paralelos
son arcos de circunferencia cuyo centro
es el vértice del cono.
El paralelo de tangencia es automecoico
γ
Rp=ρ
P
Y
X
23
Proyecciones Cartográficas
En estos casos resulta más conveniente el paso intermedio
por coordenadas polares en el plano:
(ϕ, λ) <====> (ρ, γ) <=======> (x, y)
x = ρ sen γ
y = ρ(ϕ0) - ρ cos γ
ρ(φ0) radio del paralelo origen (el más al sur o el central)
Las cónicas se definen ….
ρ=F (ϕ) radio del paralelo de latitud ϕ para todas las long.
γ=α λ
dirección del meridiano λ para todas las latitudes
Las pseudocónicas se definen ….
ρ=F (ϕ)
idem
γ=G (ϕ, λ) separación del meridiano origen variable según
el paralelo
24
Proyecciones Cartográficas
Desarrollos Cónicos
En el desarrollo cónico conforme de Lambert, que es el más usado
Caso
Esfera
r0 = R cot ϕ 0
ζ ⎞
⎛
rp = re ⎜ tan ⎟
2⎠
⎝
n
Normalmente, los modelos de desarrollos cónicos en la realidad se
complican más debido a la elección de varios paralelos secantes en
lugar de uno de tangencia, tierra elipsoidal, etc.
25
La proyección cónica conforme de Lambert (elipsoidal)
En las directas basta
sustituir en las fórmulas
de esférica la
“lat.isométrica esfera” por
la “elipsoidal”
El radio R de la
“isometrica base” pasa a
ser N0cosϕ0
r0 = N 0 cot ϕ 0
n = sin ϕ 0
e
2
⎛
⎜
ζ ⎛ 1 − e cos ζ
rp = re ⎜ tan ⎜⎜
2 ⎝ 1 + e cos ζ
⎜
⎝
δ = nλ
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
ζ 0 ⎛ 1 − e cos ζ 0 ⎞
⎟⎟
r0 = re ⎜ tan ⎜⎜
2 ⎝ 1 + e cos ζ 0 ⎠
⎜
⎝
e
2
⎞
⎟⎟
⎠
n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
26
n
Proyecciones Cartográficas
Desarrollos Cilíndricos
El fundamento es un cilindro tangente a una esfera a lo largo
del Ecuador, estableciendo de alguna forma biunívoca la
correspondencia entre puntos homólogos.
En cualquier caso, el desarrollo del cilindro en el caso
fundamental de desarrollos cilíndricos directos dará lugar
siempre a que los meridianos estarán representados por
rectas paralelas entre sí cuya distancia será proporcional a la
diferencia de longitud y los paralelos serán rectas normales a
las anteriores paralelas entre sí. Este es el caso más simple de
desarrollo cilíndrico.
La forma de establecer la correspondencia entre los puntos
de la superficie terrestre y los del cilindro dará lugar a
diferentes desarrollos.
27
Proyecciones Cartográficas
Desarrollo Cilíndrico Equivalente de Lambert
En este caso, se supone el cilindro tangente a la Tierra a lo largo del
Ecuador y consideramos las intersecciones de los planos meridianos y
paralelos sobre el cilindro.
Desarrollando posteriormente este, está claro que los meridianos y
paralelos vendrán representados por las rectas de ecuaciones
(supuesta Tierra esférica):
x=Rλ
y = R sen ϕ
El desarrollo es equivalente, con el
Ecuador automecoico y las deform.
aumentan con la latitud,
haciéndose inservible para
latitudes > 60º.
28
Proyecciones Cartográficas
Desarrollo Cilíndrico con meridianos automecóicos
Más simple es el caso de esta proyección, con el mismo cilindro
tangente a lo largo del Ecuador.
En este caso, a cada punto de un meridiano le hacemos
corresponder en la generatriz del cilindro otro llevando la longitud
del arco del meridiano.
Al desarrollar el cilindro, obtenemos la misma red, pero esta vez los
paralelos, si bien siguen siendo rectas entre sí, la distancia entre
dos paralelos equidistantes en la Tierra, equidistan en el mapa.
Está claro que las ecuaciones de los meridianos y paralelos son
(Tierra esférica):
x=Rλ
y=Rϕ
29
Proyecciones Cartográficas
Desarrollo Cilíndrico Conforme (Proyección Mercator)
Es este caso el desarrollo cilíndrico es directo, pero se
impone la condición de que la proyección sea conforme.
El inventor de la proyección fue Gerhard Kremer
(Mercator) en 1569, y fue ideada para la navegación.
Se altera la distancia entre los paralelos de tal forma
que, para un punto, la deformación en el sentido de la ϕ
sea igual a la deformación en el sentido de la λ.
El Ecuador es la única línea automecoica, teniendo los
meridianos la misma forma de ecuación que en los
desarrollos cilíndricos directos.
30
Proyecciones Cartográficas
Desarrollo Cilíndrico Conforme (Proyección Mercator)
Imponiendo la condición de conformidad (a Tierra esférica)
se llega :
x = R ⋅λ
⎛ϕ π⎞
y = R ⋅ ln tan ⎜ + ⎟
⎝ 2 4⎠
Para Tierra elipsoidica:
x = a ⋅λ
⎡
⎛ϕ
⎢
y = a ln tan ⎜ +
⎢
⎝2
⎢⎣
⎤
π ⎞⎛ 1 − e sin ϕ ⎞ ⎥
⎟
⎟⎜
4 ⎠⎜⎝ 1 + e sin ϕ ⎟⎠ ⎥
⎥⎦
e
2
Al valor de y se le denomina ϕ creciente, ya que aumenta la
separación de los paralelos al pasar del Ecuador al polo.
31
Proyecciones Cartográficas
Desarrollo Cilíndrico Conforme (Proyección Mercator)
Aplicación clásica: NAVEGACIÓN
Esta proyección facilita la navegación, ya que si un navío sigue un
determinado rumbo, este se conservará en la carta al ser conforme.
Uniendo dos puntos en la carta con una línea recta, el rumbo será el
ángulo con que los meridianos corten a esa recta.
Esta línea recta entre dos puntos se denomina loxodrómica porque
atraviesa los meridianos bajo el mismo ángulo (acimut), y no es la
distancia más corta.
La distancia más corta es la ortodrómica, pero en esta proyección es
una curva (arco de círculo máximo), sin embargo, por comodidad, se
utiliza en la navegación la loxodrómica en lugar de esta última.
En recorridos largos,
largos lo que se dibujan son cuerdas loxodrómicas del
arco de ortodrómicas, dividiendo el recorrido en trozos y siguiendo
un rumbo constante a lo largo de esos trozos.
32
Proyecciones Cartográficas
Desarrollo Cilíndrico Conforme (Proyección Mercator)
l = R ⋅ ∆ϕ ⋅ sec z
∆λ ⋅ cos ϕ M
tan z =
∆ϕ
33
Para Tierra elipsoídica:
Al valor de y se le denomina ϕ creciente, ya que aumenta la
separación de los paralelos al pasar del Ecuador al polo.
x = a ⋅λ
e
⎡
⎤
2
⎛
⎞
1
e
sin
−
ϕ
ϕ
π
⎞
⎛
⎟⎟ ⎥
y = a ⎢ln tan ⎜ + ⎟⎜⎜
⎢
⎝ 2 4 ⎠⎝ 1 + e sin ϕ ⎠ ⎥
⎣⎢
⎦⎥
34
Mercator
CARTA
NAUTICA
información
marginal
Los encartes
son importantes
Paso a WGS84
35
Proyecciones Cartográficas
Desarrollo Cilíndrico Transverso Conforme de Gauss
Mismo razonamiento que en la proyección Mercator, con la salvedad
de que es transverso, de tal forma que el eje del cilindro está situado
en el plano del Ecuador y esta vez los meridianos y los paralelos
tienen las ecuaciones invertidas (Tierra esférica):
x = R ⋅λ
⎛ϕ π⎞
y = R ⋅ ln tan ⎜ + ⎟
⎝ 2 4⎠
Directo
Tranverso
⎛ H π⎞
x = R ⋅ ln tan ⎜ + ⎟
⎝ 2 4⎠
y = R⋅Z
siendo H y Z las llamadas coordenadas esféricas, análogas a la
longitud y la latitud:
tan Z = tan ϕ ⋅ sec λ
sin H = sin λ ⋅ cos ϕ
Es adecuada para representar países alargados en el sentido de los
meridianos y se suele utilizar en forma de husos, aumentando las
deformaciones al separarse del meridiano central.
36
Proyecciones Cartográficas
Cilíndrica
Transversa
Conforme
de Gauss
tangente a
meridiano
0º
37
Deformaciones en Mercator
(directa y transversa)
38
Proyecciones Cartográficas
La Proyección UTM (Universal Transversal Mercator)
La proyección más utilizada por la cartografía oficial de
muchos los países.
Se basa en el desarrollo cilíndrico conforme de Gauss
Se considera la Tierra como un elipsoide de revolución
tangente a un cilindro cuyo eje está situado en el plano del
Ecuador.
La Tierra se divide en husos de 6º de amplitud en longitud, de
tal forma que existen 60 husos, numerándose del 1 al 60
empezando por el antimeridiano de Greenwich.
La representación es adecuada hasta los ± 80º de latitud.
39
Proyecciones Cartográficas
La Proyección UTM (Universal Transversal Mercator)
EL fundamento matemático es relativamente complejo, pero
las condiciones y propiedades fundamentales de la
proyección son:
La proyección es conforme.
El meridiano central de cada huso es automecoico (?).
El Ecuador y el meridiano central serán líneas rectas.
El origen de coordenadas en la proyección será la intersección
del meridiano central del huso con el Ecuador.
Para evitar coordenadas negativas en cada huso se realiza una
translación de forma que la coordenada X de este origen es
500000 (metros).
Para el hemisferio norte, el origen de Y es el Ecuador, mientras
que en el hemisferio sur, la Y del Ecuador es 10.000.000.
40
Proyecciones Cartográficas
Las proyecciones conformes (p.ej. UTM) se pueden generar
como un función compleja, entre sistemas isométricos
z=x+iy =f(ω)=f(u+iv)=x(u, v)+iy(u, v)
Si x=x(u, v) e y=y(u, v) son diferenciables y sus incrementos se
pueden expresar
∆x =
∂x
∂x
∆ u + ∆v
∂u
∂v
∆y =
∂y
∂y
∆u + ∆v y por tanto
∂v
∂u
f ' (ω ) = lim
∆x + i ∆y
∆ω → 0
∆u + ∆v
Sustituyendo y agrupando el numerador para ∆u e ∆v se tiene
∂x ⎞
∂y ⎞
⎛ ∂y
⎛ ∂x
+ i ⎟∆u + ⎜ − i ⎟∆v
⎜
∆x + i∆y
∂v ⎠
∂u ⎠
⎝ ∂v
⎝ ∂u
(
)
'
ω
lim
lim
∆u → 0 &
∆vtender
→0
=
=
f
para que exista,
con
independencia
de
la
forma
de
∆u + ∆v
∆u + i∆v
Y
cero
a
∂y ⎞ ⎛ ∂y
∂x ⎞ dz
⎛ ∂x
f ' (ω ) = ⎜
+i ⎟=⎜ −i ⎟=
∂u ⎠ ⎝ ∂v
∂v ⎠ dω
⎝ ∂u
Ergo, la función cumple las condiones de Cauchy-Riemann, y es
conforme.
41
Fórmulas de paso de geodésicas a Transversa de MERCATOR
A partir del desarrollo de Taylor de la función y+ix=f(q+iλ)
df
y + ix = B (ϕ ) + i λ
+ (i λ
dq
)
2
(
1 d 2 f
+ (i λ
2 ! dq 2
)
)
3
1 d3 f
+ (i λ
3! dq 3
)
4
1 d 4 f
......
4 ! dq 4
(
)
1
N cos 3 ϕ 1 − t 2 + η 2 + λ5 N cos 5 ϕ 5 − 18t 2 + t 4 + 14η 2 − 58t 2η 2 / 120 +
6
+ λ7 N cos 7 ϕ 61 − 479 t 2 + 179 t 4 − t 6 / 5040 + ....
x = λ N cos ϕ + λ3
(
y = B (ϕ ) + λ 2
+ λ6
+ λ8
)
t
N cos
2
2
ϕ + λ4
t
N cos
24
4
ϕ (5 − t 2 + 9 η
(
2
+ 4η
4
)+
)
t
N cos 6 ϕ 61 − 58 t 2 + t 4 + 270 η 2 − 330 t 2η 2 +
720
t
N cos 8 ϕ 1385 − 3111 t 2 + 543 t 4 − t 6 + .....
40320
(
)
(
siendo ... t = tan ϕ .... η 2 = e'2 cos 2 ϕ .... N = a/ 1 + η 2
)
1/ 2
Desarrollo del arco de meridiano desde el Ecuador: B(para latitud ϕ)
B(ϕ)=Q·(ϕ+u2sin2ϕ+u4sin4ϕ+u6sin6ϕ+u8sin8ϕ+…)
Q=(a+b)/2·(1+n2/4+ n4/64+…) siendo n=(a-b)/(a+b)
u2=-3n/2+9n3/16 u4=15n2/16-15n4/32 u6=-35n3/48
u8=325n4/512
42
PROBLEMA INVERSO
(
)
(
)
t
t
2
4
2
2
2 2
4
2 4
1
5
3
6
6
3
9
−
−
+
+
+
−
−
−
η
η
η
η
η +
x
t
t
t
2
4
2N
24N
t
2
4
2
2 2
4 2
+ x6
−
61
−
90
−
45
−
107
+
162
+
45
η
η
η +
t
t
t
t
6
720 N
t
2
4
6
+ x8
1385
+
3633
+
4095
+
1575
+ .....
t
t
t
8
40320 N
x5
x
x3
2
2
2
4
2
2 2
t
t
t
t
+
−
1
−
2
−
+
5
+
28
+
24
+
6
+
8
λ = λ0 +
η
η
η +
3
5
N cos Φ 6 N cos Φ
120 N cos Φ
x7
+
− 61 − 662t 2 − 1320t 4 − 720t 6 + ......
7
5040 N cos Φ
ϕ = Φ + x2
(
)
(
)
(
(
)
(
)
)
(
y siendo ... t = tan Φ .... η 2 = e'2 cos 2 Φ .... N = a/ 1 + η 2
)
1/ 2
se tiene ...
A=y/Q=> expresión de Q anterior
Φ(B)=A+v2sin2A+v4sin4A+v6sin6A+v8sin8A+…
v2=3n/2-27n3/32 v4=21n2/16-55n4/32
v6=151n3/96
v8=1097n4/512
43
Proyecciones Cartográficas
La Proyección UTM (Universal Transversal Mercator)
El factor de escala o coeficiente de anamorfosis lineal k se
aplica a las distancias para pasarlas a la proyección.
Dist. “geométrica” => D. “reducida | geodésica”=> D. “proyectada”
El k a aplicar a una distancia en dos puntos A y B se suele
tomar de la expresión:
1 1⎛ 1
4
1 ⎞
k
=
⎜⎜
⎟⎟
+
+
6 ⎝ k A kM kB ⎠
se reduce la proyección por un factor (k0=0.9996) de tal forma
que se obtiene (k0k=1) a unos 2º15' a cada lado del meridiano
central del huso.
Si no se utilizara este artificio, las deformaciones lineales en
los bordes de los husos podrían llegar a ser importantes.
44
Proyecciones Cartográficas
La Proyección UTM (concepto de convergencia)
Las formas de meridianos y
paralelos son curvas trascendentes
ortogonales
Los que pasan por un punto P
están girados respecto a los ejes
coordenados (convergencia)
El giro no se aprecia a la vista
pero, además, es distinto en dos
puntos P y Q
45
Proyecciones Cartográficas
La Proyección UTM (Universal Transversal Mercator)
46
Proyecciones Cartográficas
Un problema muy común es que un punto o área próximo al
meridiano de separación de husos tiene coordenadas diferentes
en cada uno.
El paso de las del H a las
de H+1 se hace por una
función de variable compleja
o bien pasando a través de
las geográficas.
47
Proyecciones Cartográficas
Otras proyecciones: la superficie es proyectada de diferentes formas, por
ejemplo dividiendo la superficie en pequeños trapecios esféricos
delimitados por paralelos y meridianos y proyectados sobre un plano
tangente al centro de cada trapecio (proyección poliédrica).
Proyecciones llamadas convencionales: las mallas de meridianos y
paralelos se forman según unas reglas y fórmulas concretas. La
“convención” da lugar, por la forma de esas líneas, a nombres como
Pseudocilíndrica, pseudocónica o circular
Sinusoidal
(pseudocilíndrica, equivalente)
Bonne
(pseudocónica,
equivalente)
48
Ejemplo de proyección convencional: VAN DER GRINTEN
Es una proyección formada
bajo unas reglas ingeniosas.
Especialmente utilizada para
representar planisferios.
No es ni conforme, ni equivalente, ni equidistante.
Meridianos y paralelos son
arcos de circunferencia.
Ecuador y semi-meridiano
central igual a 2π
Reduce las deformaciones en las zonas
polares respecto a la proyección Mercator
49
Proyecciones Cartográficas
Otras Proyecciones: pseudocilíndrica de Robinson
No es ni conforme, ni equivalente, ni equidistante
50
Proyecciones Cartográficas
Otras Proyecciones: Mollweide (pseudocilíndrica)
Ecuador doble longitud que el meridiano central
Paralelos líneas rectas
paralelas entre si
Es
equivalente
Meridianos
elípticos
51
Proyecciones Cartográficas
Otras Proyecciones: Albert
Se supone una superficie cónica tangente a la esfera que representa
la Tierra.
El eje del cono coincide con el eje polar de la esfera.
En esta proyección el eje y se sitúa a lo largo del meridiano central; y
el eje x el perpendicular al eje y, con origen en (0 , 0).
Los paralelos son arcos concéntricos y los meridianos líneas rectas.
La única línea automecoica es el paralelo =0
52
EQUIVOCACIONES
Ejemplo de mezcla de Sistemas y Elipsoides
Se introducen las coordenadas de un punto en sistema distinto pensando que de esa manera se hace el cambio entre sistemas.
Se pasa de geodésicas a planas o viceversa con parámetros de elipsoide equivocado
Sist. y elip. WGS84
φ= 38°45’35”03711n
λ= 0°03’02”02458w
h= 569.836
N= 49.476
H= 520.360
x= 234928.081 H31
y= 4294534.506
x= 756283.183 H30
y= 4294246.144
---------------- Sist. ED50 (e.Intern.)
φ= 38°45’39”38518n
λ= 0°02’57”71514w
----------------h= 499.103
N= -21.252
¡MAL!
H= 520.355
x= 235024.689 H31
234916.174
y= 4294737.349
4294606.750
x= 756394.410 H30
756294.695
y= 4294455.800
4294318.374
53
Sistemas de coordenadas
WGS84 XYZ/ϕλh
Modelo de Geoide
S. G. R.
WGS84 XYZ/ϕλh, H
7P de trf. Datum
ED50 X’Y’Z’
Elipsoide
ED50 ϕ’λ’h’, H
Proyección
ED50 e,n
54