UNIDAD TRES IDENTIDADES Y ECUACIONES Cuando se relacionan dos o más cantidades con el signo igual (=) se puede obtener una igualdad, una identidad o una ecuación. Una igualdad es la expresión de la equivalencia de dos cantidades numéricas o literales, que simbólicamente se relacionan con el signo igual (=). Por ejemplo: es una igualdad numérica y es una igualdad literal. Cuando una igualdad involucra un término desconocido, o variable, adquiere un sentido más amplio y puede ser identidad o ecuación. Igualdad Identidad Ecuación Una identidad es una igualdad literal que se verifica para cualquier valor de la cantidad desconocida o variable. Por ejemplo, la expresión: es una identidad, ya que si reemplazamos el valor de 1 por algún valor numérico se mantiene la igualdad. Así, si a si se tiene se tiene lo cual comprueba que en general cualquier valor escogido mantiene la igualdad. DERECHOS RESERVADOS GIMNASIO VIRTUAL SAN FRANCISCO JAVIER www.gimnasiovirtual.edu.co Una ecuación es una igualdad en la que se involucran una o más incógnitas, pero solamente es válida para algún o algunos valores de la cantidad desconocida. Por ejemplo: la expresión es una ecuación en la que se verifica la igualdad para ya que la incógnita no se cumple la igualdad. Para cualquier otro valor de Por ejemplo, para en la ecuación anterior se tiene que 9 por lo que no hay igualdad. diferente de Ecuaciones equivalentes Para resolver ecuaciones es necesario aplicar las propiedades de las operaciones y propiedades de las igualdades en el conjunto R. Ecuaciones equivalentes son aquellas que tienen las mismas soluciones, es decir, toda solución de la primera es solución de la segunda y recíprocamente. Por ejemplo, la ecuación que tiene por solución y la ecuación que tiene por solución son ecuaciones equivalentes. La solución es llamada solución extraña porque no soluciona la primera ecuación. Las transformaciones que permiten expresar una ecuación en otra equivalente se estudian a continuación: Si a los dos miembros de una ecuación se les suma un mismo número o un mismo polinomio, la ecuación resultante es equivalente con la primera. Por ejemplo: si a los dos miembros de la ecuación DERECHOS RESERVADOS GIMNASIO VIRTUAL SAN FRANCISCO JAVIER www.gimnasiovirtual.edu.co le sumamos se obtiene que es equivalente con la primera. Es importante observar que si se suma una expresión racional, la ecuación resultante puede no ser equivalente como se ilustra con la ecuación. Soluciones gráficas Este método se emplea principalmente como una ayuda visual por la dificultad en la obtención de la solución. Para resolver gráficamente un sistema de ecuaciones lineales se representan las rectas correspondientes a las dos ecuaciones, se halla el punto común a las dos rectas y se determinan las coordenadas de este punto, que será la solución del sistema. Para graficar un sistema de ecuaciones lineales recurrimos al método de los interceptos, que vimos en la unidad anterior. Es decir, dada la ecuación lineal el intercepto y se encuentra haciendo en la ecuación y el intercepto se encuentra haciendo y Ejemplo: Resolver gráficamente el sistema Hallamos los interceptos de cada una de las ecuaciones. Para si entonces si y entonces DERECHOS RESERVADOS GIMNASIO VIRTUAL SAN FRANCISCO JAVIER www.gimnasiovirtual.edu.co en la ecuación. Los interceptos son y Del análisis de la gráfica se encuentra que las dos rectas se interceptan en Luego: la solución del sistema es Es evidente que cuando la solución toma valores fraccionarios, se requiere mucha precisión para determinar las coordenadas de la intersección. Propiedades de las ecuaciones Las ecuaciones tienen las mismas propiedades que las igualdades. Estas propiedades son fundamentales en el proceso de resolver una ecuación. En el ejemplo anterior, la ecuación más sencilla es es decir que nos muestra directamente la solución, . Otra de esas ecuaciones equivalentes es que ya no es tan trivial pero que se puede convertir en devolviéndose. Para devolverse, se aplican las siguientes propiedades: Se obtienen ecuaciones equivalentes a una ecuación dada con las siguientes operaciones: Sumar o restar el mismo número o término en ambos lados de la ecuación. Multiplicar o dividir los dos lados de la ecuación por el mismo número o término, diferente de cero. Ejercicio a. Escribir cinco ecuaciones equivalentes cuyo conjunto solución sea DERECHOS RESERVADOS GIMNASIO VIRTUAL SAN FRANCISCO JAVIER www.gimnasiovirtual.edu.co