PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL Tema 2. Espacios Vectoriales SUBTEMA. COMBINACIÓN Y DEPENDENCIA LINEAL { } Problema 1: Sea el conjunto A = u , v, w , donde u = ( 2,1) , v = ( 2, 4 ) y w = ( 5, 4 ) . Representar al vector w como combinación lineal de los vectores u y v . SOLUCIÓN: • Con la ecuacion de combinacion lineal: w = α1 u + α 2 v • Sustituyendo valores: ( 5, 4 ) = α1 ( 2,1) + α 2 ( 2, 4 ) ( 5, 4 ) = ( 2α1 , α1 ) + ( 2α 2 , 4α 2 ) ( 5, 4 ) = ( 2α1 + 2α 2 , α1 + 4α 2 ) • Igualando terminos: 2α1 + 2α 2 = 5 α1 + 4α 2 = 4 • Resolviendo el sistema de ecuaciones anterior matricialmente: ⎛2 2 ⎜ ⎝1 4 5⎞ ⎛ 1 4 ⎟→⎜ 4 ⎠ ⎝ 0 −6 4 ⎞ ⎛1 4 4 ⎞ ⎟→ ⎜ ⎟ −3 ⎠ ⎝ 0 1 1/ 2 ⎠ α2 = 1 2 α1 + 4α 2 = 4 → α1 = 4 − 2 → α1 = 2 • Por tanto: 1 w = 2u + v 2 DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Combinación lineal pedida 1 de 5 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS Profra. Norma Patricia López Acosta PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL Tema 2. Espacios Vectoriales Problema 2: Determinar si el siguiente conjunto de vectores de R3: A = {( −1,0, 2 ) , ( 0, − 4, 2 ) , ( 2,0, − 4 )} es linealmente dependiente o independiente. SOLUCIÓN: • Con la ecuacion de dependencia lineal: α u + βv + γ w = 0 • Sustituyendo valores: α ( −1,0, 2 ) + β ( 0, − 4, 2 ) + γ ( 2,0, − 4 ) = 0 ( −α + 2γ, − 4β, 2α + 2β − 4γ ) = ( 0,0,0 ) • Igualando terminos: − α + 2γ = 0 − 4β = 0 2α + 2β − 4γ = 0 • Resolviendo el sistema anterior matricialmente: ⎛1 0 − 2 ⎞ ⎛1 0 − 2 ⎞ ⎛ 1 0 − 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 − 4 0 ⎟ →⎜ 0 1 0 ⎟ → ⎜ 0 1 0 ⎟ ⎜ 2 2 − 4⎟ ⎜ 0 2 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ • De donde se obtiene: 0γ = 0 → γ = a∈R β=0 α − 2γ = 0 → α = 2a • Los escalares α y γ son diferentes de cero, por tanto, el conjunto “A” es linealmente dependiente (es un conjunto generador). DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM 2 de 5 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS Profra. Norma Patricia López Acosta PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL Tema 2. Espacios Vectoriales Problema 3: Determinar si el siguiente conjunto de vectores de R3: B = {(1,0, − 2 ) , ( −4, 2,0 ) , ( 0, 2, − 4 )} es linealmente dependiente o independiente. SOLUCIÓN: • Con la ecuacion de dependencia lineal: α1 b1 + α 2 b 2 + α 3 b3 = 0 • Sustituyendo valores: α1 (1,0, − 2 ) + α 2 ( −4, 2,0 ) + α 3 ( 0, 2, − 4 ) = ( 0,0,0 ) ( α1 − 4α 2 , 2α 2 + 2α3 , − 2α1 − 4α3 ) = ( 0,0,0 ) • Igualando terminos: α1 − 4α 2 = 0 2α 2 + 2α 3 = 0 − 2α1 − 4α 3 = 0 • Resolviendo el sistema anterior matricialmente: ⎛ 1 − 4 0 ⎞ ⎛1 − 4 0 ⎞ ⎛1 − 4 0 ⎞ ⎛1 − 4 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 2 2 ⎟ → ⎜ 0 1 1 ⎟ → ⎜ 0 1 1 ⎟ → ⎜ 0 1 1⎟ ⎜ −2 0 − 4 ⎟ ⎜ 0 − 8 − 4 ⎟ ⎜ 0 0 4 ⎟ ⎜ 0 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ • De donde se obtiene: α3 = 0 α 2 + α3 = 0 → α2 = 0 α1 − 4α 2 = 0 → α1 = 0 • Los escalares α, β y γ son iguales a cero, por tanto, el conjunto “B” es linealmente independiente (es una base). DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM 3 de 5 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS Profra. Norma Patricia López Acosta PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL Tema 2. Espacios Vectoriales Problema 4: Para el conjunto: A = {( k − 5 ) x 2 + x, 2 x 2 − 2 x + 3, 2 x 2 + 3 x − 3} Obtener el valor de k ∈ R , tal que “A” sea linealmente dependiente. SOLUCIÓN: • Con la ecuacion de dependencia lineal: α a1 + β a 2 + γ a 3 = 0 • Sustituyendo valores: α ⎡⎣( k − 5 ) x 2 + x ⎤⎦ + β ( 2 x 2 − 2 x + 3 ) + γ ( 2 x 2 + 3 x − 3 ) = 0 • Aplicando isomorfismo y realizando operaciones: α ( k − 5,1, 0 ) + β ( 2, − 2,3 ) + γ ( 2,3, − 3 ) = ( 0, 0, 0 ) ( αk − 5α + 2β + 2 γ , α − 2β + 3γ ,3β − 3γ ) = ( 0, 0, 0 ) • Igualando terminos: α ( k − 5 ) + 2β + 2 γ = 0 α − 2β + 3 γ = 0 3β − 3 γ = 0 • Resolviendo el sistema de ecuaciones anterior matricialmente: 3 ⎞ 3 ⎞ − 2 3 ⎞ ( −k + 5) ⎛1 −2 ⎛1 ⎛1 − 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ → ⎜ 0 2 k − 8 − 3k + 17 ⎟ → ⎜ 0 1 −1 ⎟ ⎜ k − 5 2 2⎟ ⎜0 ⎜0 3 − 3 ⎟⎠ 1 − 1 ⎟⎠ ( − 2 k + 8 ) ⎜⎝ 0 0 − k + 9 ⎟⎠ ⎝ ⎝ • Del ultimo renglon de la matriz escalonada anterior se observa que: ( −k + 9 ) γ = 0 • Donde se debe cumplir que: γ≠0 A es linealmente dependiente y −k +9 = 0 • Por tanto, para que A sea linealmente dependiente: k = 9 . DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM 4 de 5 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS Profra. Norma Patricia López Acosta PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL Tema 2. Espacios Vectoriales { } Problema 5: Sea A = u, v, w un conjunto de vectores linealmente independiente de un { } espacio vectorial “V”. Determinar si el conjunto de vectores B = u − 2v + w, u + v, u − v es linealmente dependiente o independiente. SOLUCIÓN: • Ecuacion de dependencia lineal para la base "B": αb1 + βb 2 + γ b3 = 0 • Sustituyendo valores: ( ) ( ) ( ) α u − 2v + w + β u + v + γ u − v = 0 αu − 2α v + α w + βu + βv + γ u − γ v = 0 • Factorizando: ( α + β + γ ) u + ( −2α + β − γ ) v + ( α ) w = 0 ← se obtiene la ecuacion de dependencia lineal para A • "A" es linealmente independiente, por tanto: α+β+ γ = 0 − 2α + β − γ = 0 α=0 • Resolviendo matricialmente: ⎛ 1 1 1 ⎞ ⎛1 1 1 ⎞ ⎛1 1 1 ⎞ ⎛1 1 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 1 1 0 3 1 0 1 1 0 1 1 − − → → → ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 − 1 − 1 ⎟ ⎜ 0 0 − 2 ⎟ ⎜ 0 0 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ • De la matriz escalonada anterior, se obtiene que: γ=0 β+γ = 0 → β = 0 α+β+ γ = 0 → α=0 • Los escalares α, β y γ son iguales a cero, por tanto, el conjunto “B” es linealmente independiente (es una base). DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM 5 de 5 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS Profra. Norma Patricia López Acosta